Вычисление геометрических характеристик для простых фигур.

Цели занятия: Ознакомить с вычислением основных геометрических характеристик для простых фигур.

План занятия:

1. Вычисление геометрических характеристик для прямоугольника.

2. Вычисление геометрических характеристик для круга.

3. Вычисление геометрических характеристик для кольцевого сечения.

1.Прямоугольник.

Выделим в прямоугольнике полосу шириной b и бесконечно малой толщиной dy

dy → 0

Определим осевой момент инерции относительно оси x.

h/2

J_X =ʃ y²·dS

-h/2

где dS – площадь выделенной полосы

dS = b·dy

h/2 h/2 h/2

J_X =ʃ y²·b·dy = b ʃ y²dy = (b· y³ /3) | = [ b· (h/2)³ /3] – [ b· (-h/2)³ /3] = ( b·h³ ) /12

-h/2 -h/2 -h/2

Относительно оси у осевой момент инерции выводится аналогично

J_X = ( h·b³ ) /12

Полярный момент инерции вычисляется по формуле:

J_ρ = β·h·b³

где β – коэффициент, определяется по справочным таблицам.

Центробежный момент инерции для прямоугольника относительно осей х и у равен нулю, т. к. эти оси являются осями симметрии прямоугольника.

J_XУ = 0

Определим осевой момент сопротивления относительно осей x,у.

W_X = J_X / у_max

где J_X = ( b·h³ ) /12

у_max = h /2

Получаем

W_X = ( b·h²) /6

W_У = J_У / х_max

где J_У = ( h·b³ ) /12

x_max = b /2

Получаем

W_У = ( h·b²) /6

Полярный момент сопротивления вычисляется по формуле:

W_ρ = α·h·b²

где α – коэффициент, определяется по справочным таблицам.

2. Круг.

Выделим в круге кольцо с внутренним радиусом ρ и бесконечно малой шириной dρ

dρ → 0

Сначала определим полярный момент инерции относительно начала координат (центра тяжести круга).

d/2

J_ρ = ʃ ρ²·dS

где dS – площадь выделенного кольца

dS = 2·π·ρ·dρ

d/2 d/2 d/2

J_ρ = ʃ ρ²·2·π·ρ·dρ = 2·π ʃ ρ³·dρ = (2·π· ρ⁴ /4) | = 2·π·(d/2)⁴ /4 = π· d⁴ /32

0 0 0

Определим осевой момент инерции относительно осей x,у.

Применим формулу J_ρ = J_У + J_X

Для круга J_Х = J_У = J_ρ /2 = (π· d⁴ /32) /2 = π· d⁴ /64

Центробежный момент инерции для круга относительно осей х и у равен нулю, т. к. эти оси являются осями симметрии круга.

J_XУ = 0

Определим осевой момент сопротивления относительно осей x,у.

Для круга W_X = W_X = J_X / у_max = J_У / х_max

где J_X = J_У = π· d⁴ /64

у_max = х_max = d /2

Получаем

W_X = W_У = π· d³ /32

Определим полярный момент сопротивления относительно начала координат (центра тяжести круга)

W_ρ = J_ρ / ρ_max

где J_ρ = π· d⁴ /32

ρ_max = d /2

Получаем

W_ρ = π· d³ /16

3. Кольцевое сечение.

У кольцевого сечения имеется параметр с.

с = d / D, отсюда

d = с·D

Определим осевой момент инерции относительно осей х,у.

J_X = J_У = (π· D⁴ /64) – (π· d⁴ /64)

Учтя, что d = с·D, получим

J_X = J_У = (π· D⁴ /64)·(1 – c⁴ )

Определим полярный момент инерции относительно начала координат (центра тяжести кольцевого сечения).

J_ρ = (π· D⁴ /32) – (π· d⁴ /32)

Учтя, что d = с·D, получим

J_ρ = (π· D⁴ /32)·(1 – c⁴ )

Центробежный момент инерции для кольцевого сечения относительно осей х и у равен нулю, т. к. эти оси являются осями симметрии кольцевого сечения.

J_XУ = 0

Определим осевой момент сопротивления относительно осей x,у.

Для кольцевого сечения W_X = W_X = J_X / у_max = J_У / х_max

где J_X = J_У = (π· D⁴ /64)·(1 – c⁴ )

у_max = х_max = D /2

Получаем

W_X = W_У = (π· D³ /32)·(1 – c⁴ )

Определим полярный момент сопротивления относительно начала координат (центра тяжести кольцевого сечения).

W_ρ = J_ρ / ρ_max

где J_ρ = (π· D⁴ /32)·(1 – c⁴ )

ρ_max = D /2

Получаем

W_ρ = (π· D³ /16)·(1 – c⁴ )

Основная литература: 1;2

Дополнительная литература: 1;2

Контрольные вопросы.

1. Выведите основные геометрические характеристики для прямоугольника.

2. Выведите основные геометрические характеристики для круга.

3. Выведите основные геометрические характеристики для кольца.

Лекция №10.

КРУЧЕНИЕ.

Цели занятия: Рассмотреть деформацию кручение, где в технике встречается данный вид деформации, какие внутренние силовые факторы и напряжения возникают при кручении, какие деформации возникают при кручении, как формулируется условие прочности и жёсткости при кручении.

План занятия:

1. Основные понятия и определения кручения.

2. Условие прочности при кручении.

3. Условие жёсткости при кручении.

Кручением называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса возникает лишь один внутренний силовой фактор – крутящий момент Т.

Будем рассматривать случай (так называемого) нестесненного кручения, когда деформации стержня в направлении его оси не затруднены. В таком случае в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения. Этот факт можно принять за первое допущение, используемое нами в дальнейшем выводе.

Второе допущение имеет геометрический характер и состоит в том, что поперечные сечения при кручении остаются плоскими и их радиусы не искривляются.

Как показывает точное решение задачи методами теории упругости, для круглых поперечных сечений эта гипотеза выполняется абсолютно точно.

Нашей задачей будет определение напряжений и перемещений в закручиваемом стержне.

Рассмотрим произвольный стержень круглого поперечного сечения.

Выделим кольцеобразный малый элемент, а из него в свою очередь элемент m, npо который в пределе можно считать плоским. Данный элемент содержит точку, напряженное состояние которой мы исследуем. Полярный радиус исследуемой точки .

Основываясь на первом принятом допущении, заключаем, что элемент mnpq испытывает чистый сдвиг.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи.

При кручении поперечные сечения, между которыми заключен элемент повернутся друг относительно друга на малый угол d . Очевидно, что угол сдвига будет равен .

Величину называем относительным углом закручивания. Тогда (11).

Рассмотрим физическую сторону задачи. Будем полагать материал линейно упругим и примем закон Гука (12).

Подставим (1) в (2): (13).

Мы видим, что касательные напряжения по радиусу меняются линейно, но величина Q нам еще не известна.

Обратимся к статической стороне задачи и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня

Интеграл - полярный момент инерции.

В результате получаем так называемую основную зависимость при кручении (14)

Величина называется жесткостью при кручении.

Подставим (14) в (13) и получим закон распределения касательных напряжений (15)

Как мы выяснили ранее, закон распределения напряжений линейных и наибольшие касательные напряжения возникают на контуре сечения при (16)

Где полярный момент сопротивления.

Выразим и через диаметр

Само собой, что закон распределения касательных напряжений осесимметричный и по каждому из радиусов напряжения распределяются одинаково.

Формула (6) дает возможность рассчитывать на прочность стержни, работающие на кручение, которые называют валами.

Условия прочности при кручении выглядит:

где [ -допускаемое напряжение на кручение.

Может стоять задача определения коэффициента запаса по текучести. Тогда , где предел текучести при кручении.

При кручении возникают угловые перемещения.

- угол взаимного поворота сечений, т.е. угол на который повернутся два каких-либо сечения друг относительно друга. Пусть у стержня одно сечение заделано, а на конце приложен момент. Очевидно, что крутящий момент по длине меняться не будет

На основании (4) имеем (17)

Если, как это имеет место в нашем случае, то (18) Угол закручивания определяем на всей длине l. Расчет на жесткость заключается в ограничении углов закручивания. , где - допускаемый угол закручивания, задаваемый обычно на длине 1м.

Основная литература: 1;2

Дополнительная литература: 1;2

Контрольные вопросы.

1. Какой внутренний силовой фактор возникает при кручении?

2. Какое напряжение возникает при кручении?

3. По какой формуле определяется напряжение при кручении?

4. Какие деформации возникают при кручении?

5. По каким формулам вычисляется деформация при кручении?

6. Как обозначается жёсткость при кручении?

7. Сформулируйте условие прочности при кручении?

8. Сформулируйте условие жёсткости при кручении?

9. Что такое эпюра крутящих моментов?

10. Что такое эпюра касательных напряжений?

Лекция №11,12.

ПРЯМОЙ ИЗГИБ.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: