Поперечная сила Q и изгибающий момент М. Эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Цели занятий: Рассмотреть деформацию изгиб, где в технике встречается данный вид деформации, какие внутренние силовые факторы возникают при изгибе, показать, каким образом они определяются.

1. Основные понятия и определения прямого изгиба.

2. Определение значений поперечных сил Q и построение эпюры поперечных сил Q.

3. Определение значений изгибающих моментов М и построение эпюры изгибающих моментов М.

Если на стержень действуют силы перпендикулярные оси, то такое нагружение называется изгибом. Первоначально прямая ось искривляется. Мы будем рассматривать в этой лекции случай, когда силы лежат в одной плоскости. Изгиб называется чистым изгибом, если в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор – изгибающий момент.

Если помимо изгибающих моментов возникают еще и поперечные силы, то изгиб называется поперечным.

Стержень, работающий на изгиб называется балками.

Поперечная сила Q – это алгебраическая сумма всех сил, действующих относительно рассматриваемого сечения.

Изгибающий момент М – это алгебраическая сумма всех изгибающих моментов, действующих относительно рассматриваемого сечения.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов – это графики распределения поперечных сил и изгибающих моментов по длине бруса.

1. Какие внутренние силовые факторы возникает при изгибе?

3. Как обозначается поперечная сила и в каких единицах она измеряется?

5. Как обозначается изгибающий момент и в каких единицах он измеряется?

1. Ознакомить с дифференциальной зависимостью при изгибе между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью распределённой нагрузки q, где применяется данная дифференциальная зависимость.

2. Рассмотреть деформацию чистый изгиб, практическое применение чистого изгиба.

1. Дифференциальная зависимость при изгибе между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью распределённой нагрузки q.

Дифференциальные зависимости при изгибе между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью распределённой нагрузки q.

Рассмотрим балку, загруженную произвольной распределенной нагрузкой. Двумя сечениями, отстоящими друг от друга на малую величину

, выделим элементы. Внутренние силы, действующие в сечениях статически эквивалентны изгибающему моменту и поперечной силе. Мы рассматриваем

как функции z. При изменении независимой переменной на малую величину

получат приращения, которые можно рассматривать как дифференциалы данных функций. Рассмотрим равновесие элемента.

Производная от поперечной силы по координате равняется по модулю интенсивности нагрузки, действующей на балку.

Пренебрегая малой второго порядка малости, получаем:

Производная от изгибающего момента по координате равняется поперечной силе.

При помощи данных формул проверяется правильность вычислений поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Допустим, что в данном случае в поперечных сечениях действуют лишь нормальные напряжения.

Рассмотрим балку, загруженную таким образом, что возникает нагружение чистого изгиба.

1. Рассмотрим вначале статическую сторону задачи.

Из 6 уравнений 3 удовлетворяются тождественно при любых значениях

Напряжения, рассматриваемые как функция координат:

должны удовлетворять статическим уравнениям (1-3).

Однако статических уравнений недостаточно для того, чтобы получить решение для напряжений. Надо рассмотреть еще деформации и принять закон, связывающие деформации и напряжения.

Характер деформации балки можно было бы наблюдать на модели из сильно деформируемого материала, например резины.

Изгибая резиновый брус с сеткой нанесенной на боковой поверхности мы бы увидели картину, похожую на ту, что показана на рисунке.

Мы видим, что поперечные сечения, оставаясь прямыми и нормальными к искривленным поперечным линиям, наклоняются друг к другу.

Этот факт был замечен еще в 1705 г. Я.Бернулли, многократно подтвержден экспериментами и сформулирован в форме гипотезы плоских сечений, положенный в основу технической теории изгиба:

Сечения плоские и нормальные к оси балки до изгиба остаются плоскими и нормальными к изогнутой оси балки.

Пользуясь этой гипотезой, мы установим закон изменения удлинений волокон по высоте балки (под волокном понимаем мыслимый геометрический объект, а отнюдь не настаиваем на волокнистом строении материала).

Рассмотрим малый элемент. Очевидно, что верхние и нижние

волокна будут иметь разные по знаку деформации (в случае, показан-

ном на рисунке верхние волокна будут сжиматься, а нижние растягиваться), и т.к. деформация по своей сути – величина непрерывная, то

безусловно, где-то будет находиться слой не испытывающий деформации – нейтральный слой.

Пусть

- радиус кривизны нейтрального слоя, а

- координата, отсчитываемая от нейтрального слоя.

Удлинение произвольного волокна равняется:

(Напомним, что кривизна положительна, когда положительна координата кривизны). Чтобы привести знаки в соответствие с физическим смыслом запишем

аналитическая запись гипотезы плоских сечений.

Мы уже не раз говорили о том, что между напряжениями и деформациями существует связь, которая может быть установлена экспериментальным путем. Примем эту связь простейшей, т.е. будем считать, что материал линейно упруг, т.е. следует закону Гука.

Допустим, что волокна не давят друг на друга, а это для случая чистого изгиба совершенно точный факт, подтвержденный точным решением методами теории упругости, то тогда оказывается, что каждое волокно работает либо на растяжение, либо на сжатие, и в этой ситуации можно применить закон Гука:

Вернемся к статическим уравнениям (1-3) и подставим в них

выражение (5). Мы получим 3 уравнения, содержащие одну неизвестную величину

Эта система будет совместна только при некоторых условиях.

Подставим в (1):

, т.к.

(балка деформировалась и кривизна отлична от нуля), то

, т.е. если поместить начало координат в центр тяжести сечения, то первое условие совместности будет удовлетворительно. Вспомним, что координата отсчитывалась от нейтрального слоя. Отсюда вывод: при изгибе нейтральный слой проходит через центр тяжести. Подставим в (2):

т.е. оси, в которых рассматривается изгиб, должны быть главными.

Итак! Приняв оси

за главные, центральные оси мы удовлетворяем уравнениям (1) и (2).

Произведение модуля упругости на момент инерции называется жесткостью при изгибе.

Основную зависимость при изгибе можно сформулировать: кривизна прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости при изгибе.

Обратим внимание. Если чистый изгиб, то М-const и тогда изогнутая ось – дуга окружности. Подставим выражение для

в (5) и получим закон распределения нормальных напряжений:

Чаще всего в дальнейшем мы знаки напряжений будем расставлять по физическому смыслу и запишем, как это обычно принято в сопротивлении материалов.

Проанализируем полученный закон распределения нормальных напряжений.

1. Мы видим, что напряжения не зависят от координаты

, следовательно, по ширине сечения распределяются равномерно.

2. По высоте сечения нормальные напряжения распределяются линейно. На уровне центра тяжести они равны нулю, а максимальны по модулю в точке наиболее удаленной от нейтральной оси (следа на плоскости сечения нейтрального слоя). Если обозначить

, где

- расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки, то максимальное по модулю напряжение в сечении находится по формуле:

1. Чему равна интенсивность распределённой нагрузки?

3. Какой внутренний силовой фактор возникает при чистом изгибе?

4. Какое напряжение возникает при чистом изгибе?

5. По какой формуле определяется напряжение при чистом изгибе?

7. Где при чистом изгибе напряжение имеет максимальное и минимальное значения?

1. Рассмотреть деформацию поперечный изгиб, практическое применение поперечного изгиба.

2. Ознакомить с условием прочности и жёсткости при изгибе.

При поперечном изгибе, помимо изгибающего момента, в поперечном сечение имеется также и поперечная сила, которая является результирующей элементарных усилий, действующих в плоскости сечения. Т.е. помимо нормальных напряжений возникают и касательные напряжения.

Касательные напряжения искривляют поперечные сечения и гипотеза плоских сечений, вообще говоря, не выполняется. Однако если длина велика по сравнению с высотой балки, то искривления по

перечных сечений и возникающее в случае поперечного изгиба взаимное нажатие волокон не оказывают существенного влияния на величину нормальных напряжений, и нормальные напряжения при поперечном изгибе будут определяться по тем же формулам, что и при чистом изгибе.

Дадим грубую оценку касательных напряжений при изгибе.

Если сечение не является тонкостенным, то площадь его отличается от величины

числовым множителем порядка единицы. Тогда среднее касательное напряжение в сечении имеет порядок

Наибольший момент имеет порядок

, а момент сопротивления порядок

(например для прямоугольного сечения

). Таким образом нормальное напряжение имеет следующий порядок:

, откуда видно, что если длина стержня

велика по сравнению с характерным размером поперечного сечения

, то касательные напряжения при расчетах на прочность обычно не принимаются во внимании. Однако, исключения составляют случаи:

2. В случае конструкций, выполненных из материалов с малым сопротивлением межслойному сдвигу, например, древесина, или, получающие в настоящее время большое распространение армированные пластики, когда касательные напряжения могут оказаться более опасными, чем нормальные.

3. Для расчета соединений (поясных швов, заклепок) в металлических балках составного сечения.

Имея это ввиду, мы приведем формулу для определения касательных напряжений при изгибе, полученную нашим соотечественником Д.И.Журавским в середине прошлого века.

, где

- касательные напряжения в слое, отстоящим от нейтральной оси

на расстоянии

- статический момент части сечения, расположенной выше слоя в котором определяются касательные напряжения относительно оси

Следует иметь ввиду, что формула приближена и дает приемлемые результаты для высоких узких сечений.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: