|
Понятие определенного интеграла
Пусть функция 1) разобьем отрезок 2) в каждом из частичных отрезков 3) найдем произведения 4) составим сумму
которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке[а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма 5) найдем предел интегральной суммы, когда Рис. 1 Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка Таким образом, В этом случае функция Теорема 1. Если функция
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке Рис. 2 Определенный интеграл
Основные свойства определенного интеграла 1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Если 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
6. Если функция
7. (теорема о среднем). Если функция
Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов. Теорема 2. Если функция
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность
где символ Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную Пример 1. Вычислить интеграл Решение. Для подынтегральной функции Пример 2. Вычислить интеграл Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования На практике часто вместо подстановки Пример 3. Вычислить интеграл Решение. Введем новую переменную по формуле
Пример 4. Вычислить интеграл Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим
Пример 5. Вычислить интеграл Решение. Положим
Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть функции
Доказательство Так как
откуда
Пример 6. Вычислить Решение. Положим
Пример 7. Вычислить Решение. Пусть
Пример 8. Вычислить Решение. Полагая
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Определенный интеграл
1. Вычислить определенные интегралы: a) д) и)
2. Применяя метод замены переменной, вычислить следующие интегралы: а) д)
3. Применяя метод интегрирования по частям, вычислить следующие интегралы: а) г) Лекция 2. ПРИМЕНЕНИЕ оПРЕДЕЛЕННЫХ иНТЕГРАЛОВ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ План
1. Площадь криволинейной трапеции. 2. Объем тела вращения. 3. Длина дуги плоской кривой. 4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 5. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Ключевые понятия
Тело вращения. Плоская кривая. Несобственные интегралы. Бесконечные пределы интегрирования. Неограниченная функция. Сходящиеся несобственные интегралы. Расходящиеся несобственные интегралы.
![]() ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|