Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1) разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;

2) в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

3) найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;

4) составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке[а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5) найдем предел интегральной суммы, когда .

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтег-ральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.

Основные свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Если , то, по определению, полагаем

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6. Если функция интегрируема на и , то

.

7. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность принято записывать следующим образом:

,

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором –находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ;3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:

.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

.

Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)

Доказательство

Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

,

откуда

.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим

.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Полагая , определяем . Следовательно:

[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] = =

.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Определенный интеграл

1. Вычислить определенные интегралы:

a) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) .

2. Применяя метод замены переменной, вычислить следующие интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

3. Применяя метод интегрирования по частям, вычислить следующие интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Лекция 2. ПРИМЕНЕНИЕ оПРЕДЕЛЕННЫХ иНТЕГРАЛОВ.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

План

1. Площадь криволинейной трапеции.

2. Объем тела вращения.

3. Длина дуги плоской кривой.

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Ключевые понятия

Тело вращения. Плоская кривая. Несобственные интегралы. Бесконечные пределы интегрирования. Неограниченная функция. Сходящиеся несобственные интегралы. Расходящиеся несобственные интегралы.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: