|
Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция
Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией Решение. Графиком функции Получаем: Рис. 3 Площадь фигуры находим по формуле (5):
Если функция
В случае, если функция
Рис. 4 Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью
Рис. 5 Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей
Таким образом, площадь
Рис. 6 Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7 Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью
Рис. 8
![]() Рис. 9 В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси
Решение. Сделаем чертеж (рис. 11). Из условия задачи следует, что
Рис. 10
Рис. 11 Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке
![]() Рис. 12 Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х 2 = 4 у, у = 4, х = 0 (рис. 13). Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования:
Рис. 13 Длина дуги плоской кривой Пусть кривая
Рис. 14 Определение. Под длиной дуги Если функция
Пример 15. Вычислить длину дуги кривой Решение. Из условия задачи имеем
4. Несобственные интегралы При введении понятия определённого интеграла а) пределы интегрирования а и б) подынтегральная функция Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным. Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Определение. Пусть функция
называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода). Если Геометрически несобственный интеграл Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15 Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся. Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
где с – любая точка интервала
Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы: а) Решение. а) б)
в)
г)
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно
![]() ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|