Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Логический анализ деревьев отказов





Аппарат логического анализа

Цель этого раздела состоит в изложении процедуры анализа логической структуры процессов. Методология такого анализа основана на понятиях булевой алгебры или алгебры логики (Arnold, Bradford H., 1962).

В алгебре логики переменные, обозначаемые заглавными буквами, имеют, как правило, смысл некоторых событий или фактов. Например, можно обозначить символом A событие, состоящее в повреждении некоторой детали машины. Если это происходит, то мы говорим, что A = T или что A истинно. Если событие не происходит, говорим, что – A=F или что A ложно. Для удобства в алгебре логики принято обозначать символом 1 истину (появление) и символом 0 ложь (непоявление). Вообще говоря, такие высказывания справедливы для некоторого определенного интервала времени и вероятности, связанной с появлением события.

Переменные в алгебре логики принимают два значения: истина или ложь (появление или непоявление). Аналогично и функции прини-

мают два значения в зависимости от комбинации логических переменных. Функции образуются с помощью операций И, ИЛИ и НЕ. Смысл этих операций определяется таблицами истинности 2.11, 2.12 и 2.13 соответственно.

Истинностное значение функции задается значениями переменных, входящих в неё. Например, пусть функция A имеет вид

.

Чтобы определить истинное значение A, надо знать истинностные значения четырёх переменных.

Вычисление значения отдельных членов ведется в следующем порядке: 1 – НЕ, 2 – И и 3 – ИЛИ.

Таким образом, если B = ЛОЖЬ, С = ИСТИНА, D = ИСТИНА и E = ЛОЖЬ, то, используя таблицы 2.10, 2.11 и 2.12 получим

.

Таблица 2.11   Таблица 2.12   Таблица 2.13
Оператор И   Оператор ИЛИ   Оператор НЕ

 



X Y XY X Y X+Y X (не X)
T T T T T T T F
T F F T F T F T
F T F F T T
F F F F F F

*T – ИСТИНА (появление), F – ЛОЖЬ (непоявление).

Порядок выполнения операций может быть изменен применением скобок, причём выражения внутренних скобок вычисляются первыми.

Например,

При некотором навыке записывать каждый шаг необязательно.

Поскольку таких значений всего два, то нетрудно перебрать все возможные варианты и доказать справедливость каждого выражения с помощью правил выполнения операций, приведённых в табл. 2.11, 2.12 и 2.13.

Пусть, например, X, Y и Z – некоторые три логические переменные. Правила упрощения выражений, приведённые для этого случая в табл. 2.14 могут быть легко получены подстановкой всех возможных значений переменных.

Таблица 2.14

Правила упрощения логических выражений

I
II
III
IV
V
VI

Преобразование сложных логических выражений с помощью основных правил, приведённых в разделе 2.11.1, становится весьма трудоёмким процессом. Когда число переменных не превышает шести, широко применяется и дает хорошие результаты метод карт.

Преобразование логических выражений

Методом карт

Карты алгебры логики представляют собой табличное изображение всех возможных событий. Рассмотрим представление на карте двух событий A и B.

Карта событий A и B может быть представлена в двух видах (рис. 2.27а и рис. 2.27б).

 

  A 0
B A не появляется и B не появляется A появляется и B не появляется
A не появляется и B появляется A появляется и B появляется

а

AB      
         

б

Рис. 2.27. Варианты карт для событий A и B

Пример 2.11.1. Представить на карте функцию T = A + B.

Согласно правилу IV таблицы 2.13 . Для полного представления события A необходимо учесть как член AB, так и член .

  A 0  
B     T=A
   

 

AB        
      T=A
           

 

 

  A 0  
B       T=B
 

 

AB        
      T=B
           

 

 

  A 0  
B     T=A+B
 

 

AB        
    T=A+B
           

 

Рис. 2.28. Карта функций T=A+B

Представим функции T=A, T=B и T=A+B в виде таблиц (рис.2.28). Функция T=A+B представлена на нижней карте.

Карты двух переменных легко обобщаются на случай трёх и четырёх переменных. Каждый раз при появлении новой переменной число ячеек удваивается. Если карта двух переменных состояла из четырёх ячеек, то карта трёх переменных будет состоять из восьми ячеек (рис. 2.29), а карта четырёх переменных из 16 ячеек (рис.2.30). Другими словами, число ячеек равно 2n, где n – число переменных.

AB        
C       T=A+BC
    1,2 1 2

Рис. 2.29. Карта событий для трёх переменных

AB      
CD     1,2
    1,2
    1,3 1,3
     

Рис. 2.30. Карта событий для четырёх переменных

Правила отображения логических функций на картах состоят в следующем:

Шаг 1. Представляем функцию в виде суммы произведений;

Шаг 2. Выбираем поочерёдно произведения и вписываем единицы в ячейки карты, соответствующие каждому произведению.

Для каждого из произведений рассматриваются входящие в него переменные. Если переменная входит без отрицания, то она может попасть в таблицу функции. Однако в таблицу попадут лишь те из них, на которые не влияют ограничения, накладываемые другими произведениями.

Пример 2.11.2. Рассмотрим функцию T=A+BC, образованную слагаемыми A и BC. Слагаемое A входит без отрицания и вносится в карту. Это слагаемое не зависит от других переменных, которые должны быть представлены на карте всеми значениями. Это показано символами 1 на рис. 2.29. Во втором члене BC переменная B также становится кандидатом на внесение в ячейки таблицы, но она уже связана с переменной C. Следовательно, только в тех ячейках B появятся единицы, для которых C не имеет отрицания. Это обозначено символом 2 в ячейках таблицы рис. 2.29.

Процедура для двух переменных выглядит довольно просто. При построении карты для четырёх и пяти переменных уже требуется соблюдение регулярных правил заполнения ячеек.

Пример 2.11.3. Рассмотрим функцию , приведенную на рис. 2.30.

Единицы, принадлежащие A, попадут в ячейки, связанны с A, всех других переменных. Для отображения отбираются сначала восемь ячеек, связанных с переменной A, а затем выделяют четыре из них, связанные с величиной C (обозначено на карте символом 2). Для третьего члена ABC сначала выделяют ячейки переменной A без отрицания, затем из них выбирают ячейки с переменной C и далее те из выбранных ячеек, которые содержат величину D, не имеющую отрицания. Четвёртый член займет ячейку на пересечении столбца – 00 со строкой CD – 11.

Пример 2.11.4. Рассмотрим функцию произведения сумм T=(A+B)(C+D), которая часто встречается при анализе деревьев отказов.

Возможны два способа решения этой задачи.

Первый – предусматривает непосредственное построение карты по заданной функции, Для этого берутся все ячейки, соответствующие члену A+B, означающему все A или все B. Затем из них выделяются ячейки, соответствующие C+D, означающие все C или все D. Описанная процедура проиллюстрирована на рис. 2.31а.

 

AB    
CD          
     
         
         

а – T=(A+B)(C+D)

Другой путь заключается в почленном логическом перемножении переменных и представлении функции в виде T=AC + AD + BC + BD.

Далее заполняется карта, как показано на рис. 2.31б.

Второй метод предпочтительнее из-за своей простоты и последовательности. (Решить задачу 3).

AB      
CD        
    2,4
    2,4 1,2,3,4 1,2
    1,3

б – T=AC + AD + BC + BD

1 2 3 4

Рис. 2.31. Карта функции T=(A+B)(C+D) и T=AC + AD + BC + BD









Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.