Теоремы сложения вероятностей

Суммой нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совершении хотя бы одного из этих событий. Если, например, событие А – выпадение орла, а событие В – выпадение орешки, то событие (А+В) состоит в том, что фиксируется любой результат. Для обозначения суммы случайных событий чаще всего используют обозначение (А+В), а также (А или В) и (АÈВ).

Произведением нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Помимо обозначения (А*В) или просто (АВ), используют обозначения (А и В) и (АÇВ).

Сумму и произведение случайных событий можно интерпретировать графически как показано на рис. 2.35.

Для несовместимых событий А и В в соответсвии с уравнением (2.12.1) можно написать:

, где M₁ – число случаев, благоприятствующих событию A, M₂ – число случаев, благоприятствующих событию В, N – общее число случаев.

Тогда сумма случайных несовместимых событий может быть определена как:

Формула (2.12.6) легко обобщается для любого числа несовместимых событий:

Из правила сложения несовместимых событий (2.12.6) вытекает третья аксиома теории вероятностей «взаимного исключения» или несовместимости. Любые два события являются несовместимыми тогда и только тогда, когда представления их на карте оказываются неперекрывающимися выборочными пространствами. Это значит, что два события не должны иметь общих подмножеств. Если два события A₁ и A₂ несовместимы, то

P(A₁+A₂) = P(A₁) + P(A₂).
Это правило будет очень часто использоваться при расчете надёжности систем.

В разделе 2.11 введено понятие двоичного или биномиального события, называемого также булевским событием. Очевидно, что если рассматривается выборочное пространство события A, то

Это соответствует правилам табл. 2.13. События A и

не могут перекрываться. Поэтому, применяя 2.12.7, запишем

что равно единице согласно 2.12.2. Следовательно

Таким образом, если вероятность некоторой булевской переменной известна, то вероятность ее дополнения легко определяется вычитанием из 1.

Сумма случайных совместимых событий А и В определяется формулой

Рис. 2.36. Графическая интерпретация суммы (А+В) и произведения (А*В)

Действительно, обозначим через М' число случаев, в которых события А и В появляются совместно, т. е. Когда имеем их произведение (А*В). Тогда , , Р(АВ)= М'/N. Событию (А+В) благоприятны M₁ случаев, в которых появляется событие А и в которые уже вошли М' случаев, благоприятных совмещению событий (АВ), а также (М₂- М') случаев, в которых появляется событие В. Таким образом, событию (А+В) благоприятны М₁+(М₂- М') случаев.

Выражение (2.12.10) легко доказывается с помощью карт. Рассмотрим простое логическое уравнение T=A+B. Карта для этого выражения представлена на рис 2.28. Если события А и В не совместимы, то в соответствии с выражением (2.12.6) Р(А+В) = Р(А)+Р(В). Но если события перекрываются, как на рис.2.28, то такое сложение приведет к двойному учету вероятности Р(АВ). Общее выражение может быть получено для Р(А+В) из(2.12.6) поправкой на величину «лишней» вероятности Р(АВ). Для получения общего выражения эту вероятность надо вычесть из суммы вероятностей Р(А)+Р(В), т.е. мы получим уравнение Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ). Таким образом, мы подтвердили справедливость уравнения (2.12.10) с помощью карт.

Формула (2.12.6) может быть обобщена на любое число несовместимых событий. Рассмотрим вероятность события Р(А₁+ А₂) Представим событие А₂ в виде двух несовместимых событий В₁ и В₂. Тогда в соответствии с (2.12.6) получим

На основании последнего выражения можно обобщить формулу для любого числа n несовместимых событий

Если А и В являются несовместимыми событиями, как, например, одновременное выпадение орла и орешки, то произведение их вероятностей Р(АВ)=0. В этом случае уравнение (2.12.10) преобразуется в уравнение (2.12.6).

Из теоремы сложения вытекают два следствия.

Следствие 1: Если несовместимые события образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице:

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Используя правила, представленные в табл.2.14 функцию T=A+B можно представить несколькими эквивалентными выражениями:

Выражения (2.12.15 – 2.12.17) не проще выражения 2.12.14, но они выражены в формах несовместимых событий. Появляется простая возможность вычислить вероятность функции суммированием вероятностей слагаемых. Таким образом, мы получаем возможность использовать три эквивалентные формы для вычисления вероятностей:

Возможность использования эквивалентных выражений предоставляет большие удобства при анализе деревьев отказов.

До сих пор мы не принимали во внимание зависимость одного события от другого. При рассмотрении вопросов безопасности и оценки риска приходится рассматривать причины возникновения опасных ситуаций и их последствия. В одних случаях причиной возникновения опасной ситуации могут послужить какие-то совершенно независимые события, в других же – одни события могут возникнуть в зависимости от наличия других событий.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: