Сушка в условиях внутренней задачи

Постановка задачи

Сушка в условиях внутренней задачи может протекать только при удалении связанной влаги. Зерна (частицы) материала в ПС очень невелики по размерам, поэтому протяженность пути диффундирующей влаги внутри зерна мала; можно было бы предположить, что рассматриваемая стадия — быстрая и не может стать лимитирующей. Однако для ряда ТМ коэффициент внутренней диффузии влаги крайне низок (скажем, для воды в полимерных материалах он находится на уровне 10^-12 – 10^-13 м²/с); поэтому внутренняя диффузия вполне может оказаться лимитирующей стадией несмотря на малые размеры частиц.

Процесс сушки в условиях внутренней задачи сначала рассмотрим качественно. Будем оперировать смешанной концентрацией влаги в материале Проследим за процессом в единичном зерне, приняв его в целях упрощения сферическим, а процесс сушки — симметричным (рис. 11.46). Пусть исходная влажность материала постоянна по объему зерна, а равновесная (с потоком СА) составляет . После внесения зерна в зону сушки на его поверхности мгновенно (в условиях внутренней задачи внешний массообмен подразумевается бесконечно интенсивным) устанавливается и в ходе всего процесса поддерживается равновесная концентрация . Спустя небольшой промежуток времени приповерхностные области зерна теряют влагу (глубинные — еще не затронуты сушкой). К моменту незатронутыми остаются лишь центральные зоны, в остальных влажность заметно меньше. А к моменту концентрация влаги меньше исходной уже во всем объеме зерна; в момент обезвоживание зерна еще глубже: влажность понижена, она стала ближе к равновесной. Если сушка ведется долго (теоретически — бесконечно долго), то влажность во всем объеме зерна стремится к равновесной.

Рис. 11.46. К анализу симметричной сушки сферического зерна в условиях внутренней задачи

Задача анализа применительно к единичному зерну состоит в определении влажности в произвольной точке внутри зерна (на радиальной координате ) в произвольный момент времени .

Задача анализа применительно к псевдоожиженному слою заключается в учете поведения единичного зерна в массе зерен. Для ПС анализ облегчается тем, что зерна (частицы) в нем практически находятся в режиме идеального перемешивания, для которого распределение их по времени пребывания выражается относительно просто.

Представленная качественная картина должна быть интерпретирована количественно. В основе анализа лежит уравнение Фика. Для единичного сферического зерна радиусом при симметричной сушке в случае постоянного коэффициента диффузии влаги в материале () в отсутствие химических превращений (Источников и Стоков) оно записывается в сферических координатах:

(11.36)

Применительно к теплопереносу, для анализа и решения это уравнение более удобно в форме:

(11.36а)

Коэффициент диффузии влаги в материале нередко существенно зависит от ее концентрации в нем: при изменении могут изменяться физическое состояние влаги в материале и характеристики ее диффузии. В этом случае нельзя считать постоянным в ходе процесса сушки (по объему зерна — тоже). Тогда усложняется написание уравнения Фика даже при достаточно простых зависимостях решение такого нелинейного уравнения Фика возможно, как правило, только численными методами. Дополнительное затруднение — в установлении и математическом выражении зависимости от .

Уравнению (11.36а) должны сопутствовать три условия однозначности (поскольку в него входит первая производная по и вторая — по ):

— начальное условие (чтобы подчеркнуть, что речь идет о ситуации до начала процесса, иногда вместо пишут ): исходная концентрация влаги в объеме зерна (на любой радиальной координате ) равна , так что

(11.37)

— граничное условие I рода (оно отвечает внутренней задаче): в любой момент времени концентрация влаги на поверхности зерна есть равновесная концентрация, тогда

(11.38)

— условие симметрии сушки и ограниченности изменения концентрации влаги (по существу это тоже граничное условие):

(11.39)

Справедливость последнего условия ясна из рис. 11.46: касательная к любой кривой изменения концентраций , проведенная в центре сферического зерна, горизонтальна, т.е. параллельна оси иначе: тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс (производная) равен нулю. Это условие характерно для симметричной сушки, в противном случае экстремум пришелся бы на какую-нибудь точку с . Одновременно это условие запрещает безграничное (в том числе симметричное) возрастание концентрации в ходе процесса, например при асимптотическом приближении линий к вертикали (штриховые линии на рис. 11.46).

Зависимость целесообразно для большей общности представить в критериальной форме. Критерии подобия формируются методом масштабных преобразований; проведем их в упрощенном варианте, сопоставив величины в левой и правой частях уравнения Фика:

(д)

После сокращения на С и переноса всех оставшихся величин в одну часть равенства-сопоставления (д) получим безразмерный комплекс . Этот комплекс неудобен: он содержит сразу две независимые переменны - и . Поэтому его преобразуют:

(е)

Каждая из полученных безразмерных величин и содержит по одной переменной. Комплекс выражает соотношение количеств вещества (влаги), переносимого диффузией и аккумулированного зерном; его называют диффузионным критерием Фурье или критерием Фика; иногда его трактуют как безразмерное время. Симплекс представляет собой безразмерную координату; он может изменяться от 0 до 1. Таким образом, в результате решения уравнения Фика концентрация получается в виде функции от и . Очевидно, концентрацию также резонно представить в безразмерной форме. Анализ приводит к обобщенному концентрационному комплексу , изменяющемуся от 1 в начале процесса сушки зерна (когда ) до 0, если сушка ведется бесконечно долго (тогда ). Итак, решение уравнения Фика для симметричной сушки сферического зерна должно привести к зависимости в обобщенной форме:

(11.40)

Подчеркнем, что (11.40) подлежит конкретизации.

Решение задачи

Единичное зерно. Для переноса вещества (влаги) при сушке такая зависимость имеет вид бесконечного ряда:

(11.41)

где — индекс суммирования.

Для наглядности выпишем первые члены рассматриваемого разложения:

(е)

Ряд (11.41) быстро сходится (при не очень малых значениях ), так как от слагаемого к слагаемому быстро нарастает величина , стоящая в экспоненте.

Технологов интересует не столько распределение концентрации влаги по радиусу (объему зерна), сколько средняя влажность зерна: именно она входит в материальные балансы, определяет необходимые затраты теплоты на процесс сушки и вообще устанавливается с течением времени в высушенном зерне при его хранении с целью последующего использования.

Усреднение концентраций ведется по канве. В сферическом зерне на текущей радиальной координате выделяется (см. рис. 11.46) сферический слой бесконечно малой толщины . Количество влаги в этом шаровом слое объемом равно , а в зерне в целом — интегралу от этой величины по объему зерна. С другой стороны, полное количество влаги в зерне выражается как произведение средней ее концентрации на объем зерна . Приравнивая количества влаги в зерне, записанные различным образом, получаем:

и (11.42)

При этом средняя концентрация получается как функция времени; зависимость от утрачивается при интегрировании по параметру и подстановке пределов.

Усреднение концентрации влаги в зерне удобно проводить в безразмерных переменных, отыскивая не , а комплекс Это правомерно, поскольку и однозначно и линейно связаны между собой. Таким образом, в манере (11.42) имеем:

(11.42а)

Для выполнения операции интегрирования надо под интеграл в (11.42а) подставить значение по (11.41):

(ж)

Входящий в (ж) интеграл берется по частям. Обозначим где тогдп В целом:

(з)

поскольку при - целом а последнее слагаемое в фигурных скобках содержит множитель нуль.

Подставим значение интеграла (з) в выражение (ж), внеся знак «минус» в получим в нём множитель В целом:

(и)

При чётном и так что фрагмент При нечётном и так что указанный фрагмент тоже равен 1. Поэтому окончательно

(11.43)

Для наглядности выпишем несколько первых членов разложения (11.43):

(к)

Этот ряд при не очень малых значениях быстро сходится, так как при увеличении номера члена ряда показатель степени быстро растет. Например, при второе слагаемое составляет от первого лишь 1,3 %, а сумма всех последующих не превышает 0,005 %. Поэтому при для технических расчетов вполне можно ограничиться первым членом разложения, т.е. вместо (11.43) записать:

(11.43а)

При меньших значениях второй и последующие члены ряда (11.43), (к) становятся соизмеримыми с первым, и для расчета приходится брать больше слагаемых: их число при определенном значении зависит от требуемой точности расчета. Значения в зависимости от (или от )табулированы в специальной литературе.

Псевдоожиженным слой. Разные зерна в непрерывно работающем ПС (т.е. с постоянным вводом и выводом твердого материала) имеют различное время пребывания в зоне сушки; поэтому и значения средней влажности для них будут разными. Чтобы определить получающуюся усредненную влажность зерен на выходе из псевдоожиженного слоя , необходимо учесть их распределение по времени пребывания — соответственно выражению:

и (л)

Поскольку перемешивание зерен (частиц) в ПС чрезвычайно интенсивное, то в качестве плотности распределения используется формула для систем идеального перемешивания: здесь среднее время пребывания зёрен в зоне сушки (смысл и ясен из рис. 11.41). Подставив во второе из выражений (л) значение по (11.43), имеем:

(м)

Возьмем интеграл , содержащийся в (м), раскрыв запись и изменив знак (и пределы интегрирования) в ходе преобразований:

(н)

Подставив теперь значение в (м) и внеся множитель в знаменатель, получим:

(о)

Обозначим и будем трактовать этот комплекс как усредненный диффузионный критерий Фурье (Фика), базирующийся на среднем времени пребывания зерен в рабочей зоне (). Тогда окончательно:

(11.44)

Это решение представляет собой медленно сходящийся ряд (даже при высоких значениях ): в самых благоприятных условиях второе слагаемое составляет более 6% от первого, а третье — более 1,2 %. Здесь даже для техническихрасчетов приходится брать несколько членов ряда (их число определяется необходимой точностью расчетов).

Формула (11.44) позволяет решать задачи эксплуатации и проектирования.

В задаче эксплуатации известны массовая производительность по высушиваемому материалу и масса материала в слое . Это позволяет рассчитать и найти величину . Далее по (11.44) определяют значение концентрационного комплекса и для известных и — искомую концентрацию . Затем по материальному балансу (11.30) при известных и рассчитывают выходное влагосодержание . Трудный момент здесь — в неопределенности величины , поскольку в начале расчета неизвестно (концентрацию обычно без существенной погрешности можно считать равновесной с ). Это затруднение разрешается путем применения итерационной процедуры — до приемлемой сходимости равновесных величин

В задачах проектирования заданы значения , (или ) и (или ); неизвестна масса твердого материала в ПС, обеспечивающая получение заданного значения . Сначала определяют концентрационный комплекс , причем сложностей с концентрацией нет, так как (при известном потоке ) отыскивается из материального баланса (11.30). Далее по (11.44) находят . Здесь возможны чисто технические затруднения, так как входит в несколько слагаемых в правой части. Эти затруднения разрешаются использованием ЭВМ или предварительным табулированием функции (11.44): . По найденному рассчитывают и при известной производительности вычисляют искомое . При меньших значениях не удастся получить высушенный материал с обусловленной выходной влажностью (или ) — влажность будет выше.

На практике удобно оперировать не массой , а необходимой высотой псевдоожиженного слоя . Ее определяют на основе очевидного соотношения:

(п)

в качестве конечного результата принимают высоту ПС не менее рассчитанной по (п): при меньших глубина сушки будет недостаточной.

Подход к определению сечения аппарата изложен в разд. 11.8.2.

Контрольные вопросы

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: