Билет №10 «МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕД-СТИ. ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЕ МОНОТОННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ».

ОПР1: Последовательность {Xn} называется возрастающей, если Xn<Xn+1, n

Пример: {Xn}={n}={1,2,3,..} возрастающая

ОПР2: Послед. {Xn} называется неубывающей, если Xn ≤ Xn+1, n Пример:

ЗАМЕЧАНИЕ: возраст. послед. является неубывающей. Неубывающая может не быть возрастающей.

ОПР3: послед. {Xn} называется убывающей, если Xn>Xn+1, n

Пример:

ОПР4: Послед. {Xn}называется невозрастающей, если Xn ≥ Xn+1, n Пример:

ЗАМЕЧАНИЕ: убывающая послед. является невозрастающей, НО не каждая невозрастающая послед. является убывающей.

Пример: {Xn}={n}={1,2,3,..}

ОПР: возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей послед. называются монотонные последовательности.

ТЕОРЕМА!!! Пусть {Xn} - неубывающая (невозраст) послед. и она ограничена сверху (снизу), тогда она имеет конечный предел, т.е. {Xn} – сходящаяся послед.

ДОК-ВО!!! Пусть, например, {Xn} – неубывающая и ограниченная сверху послед,

1)

2) для заданного

Т.к {Xn} – неубывающая

Т.О. ч.т.д.

ЗАМЕЧАНИЕ: из ДОК-ВА!!! если {Xn} –неубывающая и ограниченная сверху, то

Доказывая, что если {Xn} – невозрастающая и ограниченна снизу, то её .

БИЛЕТ №11 «ЧИСЛО e. Доказательства и теоремы».

ТЕОРЕМА!!! имеет конечный предел.

ДОК-ВО!!! Достаточно д-ть,что послед. возраст. и ограничена сверху.

1) Д-м,что возрастающая. Используем Беном-Ньютона:

Сравним Xn и Xn+1. Сравним соответствующие слагаемые в n-ом элементе и n+1 элементе.

Билет № 11 стр2

2-е слагаемое:

3-е слагаемое:

И так далее!

Кроме того в Xn+1 есть ещё одно положительное слагаемое. Таким образом

2)Д-м, что -ограничена сверху

- ограничена сверху.

Из (1) и (2) ч.т.д.

Обозначаем

Из ДОК-ВА!!! из свойств пределов получаем:

Билет № 13 «ПОДПОСЛЕД-СТИ, ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СВЯЗЬ ПРЕДЕЛА ПЛОСКОСТИ С ЧАСТИЧНЫМ ПРЕДЕЛОМ».

Подпоследовательности

Пусть дана послед.{X_n}. Выберем в ней эл-ты с номерами n₁ < n₂ < n₃ < … < n_k. Тогда числа {X_n1, X_n2, …, X_nk} образуют подпослед. {X_nk}.

Пример: . Выберем ел-ты, стоящие на четных местах.

.

У любой послед. есть бесконечное множество подпослед.

УТВ: Для того, чтобы последовательность сходилась к числу а необходимо и достаточно, чтобы все подпослед. данной последовательности сходились к числу а.

ó

ДОК-ВО!!!

=>

Рассм. послед. подпослед.

Т.О.

<= для

НО

Замечание1: аналогично УТВ справедливо для б.б.послед, т.е. послед. явл. б.б. тогда и только тогда, если явл б.б.

Замечание2: Пусть послед. {X_nk} имеет 2 сходящиеся подпоследовательности {X_nk’} и {X_nk”}, такие что . Тогда

Билет № 13 стр2

Предположим противное, т.е. тогда по теореме

Пример:

ОПР: Конечный или бесконечный предел определенного знака подпослед. послед. {X_n} называется частичным пределом последовательности {X_n}.

Пример1: число (-1) – частичный предел послед. кроме того число 1 – частичный предел послед.

Связь предела плоскости с частичными пределами.

Различают 2 вида пределов послед: верхний предел и нижний предел.

Множество действительных чисел R, дополненное эл-ми называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой). Обозначается .

ОПР: Наибольший в частичный предел последовательности называется ее верхним пределом и обозначается

ОПР: Наименьший в частичный предел последовательности называется ее нижним пределом и обозначается

Пример1:

Пример2:

БИЛЕТ №12 «ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ».

Последовательность отрезков называется послед-стью вложенных отрезков, если ,

ЛЕММА!!! Пусть послед. вложенных отрезков, причем . Тогда

ДОК-ВО!!! Обозначим множество левых концов отрезка. множество правых концов отрезка.

Заметим, что . Докажем, что

1)

2)

Сл-но, A, B – не пустые множества, такие что

Сл-но, по св-ам действительных чисел

В частности, при

Д-м, что с – единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

Предположим, что

Пусть, например, с’<c

по св-ам пределов

противоречит выбору c’, так как единст.т. . ч.т.д.

ЗАМЕЧАНИЕ: заметим, что

Д-м, что

верхняя грань А. нужно доказать, что с – наименьшая верхняя грань А.

Предположим, что с – не наименьшая верхняя грань А, т.е. верхняя грань

повторяя ДОК-ВО!!! Леммы (см.c’ и c) получаем, что противоречит выбору . Следовательно с – наименьшая верхняя грань А, т.е.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: