|
Билет № 14 «ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА». ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 ТЕОРЕМА!!! Из всякой ограниченной послед действительных чисел можно выделить сходящуюся подпослед. ДОК-ВО!!! Дана ограниченная послед {Xn} => a ≤ Xn ≤ b . Делим отрезок [ a, b ] пополам и через σ1 (сигма) обозначим ту его половину, которая содержит бесконечное число членов послед {Xn}. Выберем какой-либо член послед, принадлежащий σ1, и обозначим его Х1. Отрезок σ1 делим пополам и через σ2 обозначаем ту его половину, которая содержит бесконечное число членов послед. Выберем элемент Хn2 последовательности {Xn} так, чтобы: Хn2 σ2 и n2 > n1. И т.д. Получаем послед вложенных отрезков {σn} и послед {Xnk} послед {Xn}, причем Xnk σk . Заметим, что длины отрезков σk: Тогда по лемме о вложенных отрезках: Докажем, что . Обозначим . Послед левых концов отрезков { ak } является неубывающей (т.к. { σk} – послед вложенных отрезков) и ограниченной сверху: ak ≤ c ( k). Тогда существует , причем C другой стороны, => Аналогично для
Для подпослед{Xnk} справедливо неравенство ak ≤ Xnk ≤ bk. Тогда по свойствам пределов последовательностей
Билет № 16 «ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ: 2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ИХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ». ОПР: (опр функции) Пусть . Если ставится в соответствии опред. , то говорят, что на мн-ве Е задана ф-ия. При этом Е наз-ся областью опред-я ф-ии, х - наз-ся независимой переменной или аргументом, у – значение ф-ии. Любой интервал, содержащий точку а, наз-ся окрестностью точки а и обознач . Мн-во наз-ся проколотой окрестностью точки а. Пусть определена в . ОПР_1 = ОПР_по Коши Число в наз-ся пределом ф-ии при , если Заметим, что даже если не опред в т. а. Пример: ОПР_2 = ОПР_по Гейне Число в наз-ся пределом ф-ии при , если для ТЕОРЕМА!!! ОПР_1 ó ОПР_2 ДОК-ВО!!! (=>) рассм Н.Д, что Фиксир. . Т.к. выполнено ОПР_1 => для данного
Билет № 16 стр2
Т.к. для данного (<=) д-м от противного, т.е. предполагаем, что Рассм Для каждого Получаем послед б.м. , причем Т.к. С др. стороны, для данной послед. Противоречит, т.к. . Т.О. выполнено ОПР_1.
Сформулируем ОПР предела ф-ии при . при , если ОПР_1’ число b наз-ся пределом ф-ии Обозначаем ОПР_2’ число b называется пределом ф-ии при , если для б.б. послед Билет № 15 «КРИТЕРИЙ КОШИ. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕД». ОПР: Послед называется фундаментальной если ТЕОРЕМА!!! Послед сходится ó когда она фундаментальна. ДОК-ВО!!! (=>) послед сходится Д-м, что - фундаментальная. Фиксир. Т.О., фундаментальная послед. (<=) Послед-ть фундаментальна => ограниченная . В частности для
Пусть огранич, => по ТЕОРЕМЕ Б-В из можно выделить сходящ. подпослед . Обозначим Д-м, что . Фиксир фундамент => для Выберем какой-либо номер для данного и для Т.О. Билет № 17 Арифметические свойства пределов функций ТЕОРЕМА!!! П усть f(x) и g(x) опр в
Тогда 1) 2) 3) Если кроме того с¹0, то ДОК-ВО!!! Для суммы Используем ОПР по ТЕйне Þ рассмотрим " ,Xn¹a "n Þ (по опр2) для данной {Xn} Þ (по опр2) для данной {Xn} Тогда по св-ву пределов послед-ти Опр 2
Билет 18 свойства пределов функций(а) единственность предела. Б) ограниченность функций имеющих предел.) Единственность предела ТЕОРЕМА!!! Если ф-я имеет предел при К®0, то он единств ДОК-ВО!!! (от противного)
Пусть и где в ¹с Рассм X n ¹a "n Т.к Þ для дан {Xn} послед-сть Þ для данной { Xn} послед-сть Т.о. ( f(x)-ч.п-ть)противор.т.к не может иметь b¹c 2 различн предела Þ в = с .с Ограниченность функций имеющих предел ТЕОРЕМА!!! Если ф-я имеет предел при Х®а, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. ДОК-ВО!!! Þ (по Коши) для e= 1 >0 " Х 0 < , |f(x)-b|>=|f(x)|-|b| => |f(x)|<|b|+1 для люб.х из окрестн. т.а.=> f(x)-огр. В прокол.окр-ти т.а.
БИЛЕТ20.Односторонние пределы и связь с пределом ф-ии. 1 3 2 Бил20стр2 ТЕОРЕМА!!! сущ.
Следствия Вопрос № 22 2ой замечательный предел Следствия (ан-но ах=lna) Бил22стр4
билет 24 бб функции и их связсь с бм Билет26.эквивалентность бм ф-ий.(таблица,т.) билет26стр.2 Билет25.Сравнение бм ф-ий.
Билет28.Непр-ть ф-ии в точке.2св-ва ф-ии непр-ной в т. бил.28
Бил28 БИЛЕТ 30.классификация точек разрыва функции (определение и примеры) Пусть f(x) опр. в некот. U(a) (м.б. искл. Саму т.а.). т.а. наз-ся точкой разрыва ф-ии f(x),если f не явл-ся непр-ной в т.а. пусть т.а.-точка разрыва ф-ии f(x). Опр. 1) т.а.-точка разрыва 1-го рода, если (т.е. сущ. конечные односторонние) 2) Если,кроме того, ,то т.а- точка устранимого разрыва. 3) т.а.- точка разрыва 2-го рода,если она не явл-ся т.разрыва 1-го рода. Примеры. 1)y=sgn(x). x=0-т.р.1-го рода,т.к. 2)y= , x=0 –т. устр.раз-ва,т.к. 3) y= x=0 –т.р.2-го рода,т.к. 2). . , - точка разрыва 2-го рода. 3). , х=0- точка разрыва 2-го рода. 4).
не существует точка х=0- точка разрыва 2-го рода. , . Точка х=0- точка разрыва 2-го рода. Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|