Билет № 14 «ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА».

ТЕОРЕМА!!! Из всякой ограниченной послед действительных чисел можно выделить сходящуюся подпослед.

ДОК-ВО!!! Дана ограниченная послед {X_n} => a ≤ X_n ≤ b . Делим отрезок [ a, b ] пополам и через σ₁ (сигма) обозначим ту его половину, которая содержит бесконечное число членов послед {X_n}.

Выберем какой-либо член послед, принадлежащий σ₁, и обозначим его Х₁. Отрезок σ₁ делим пополам и через σ₂ обозначаем ту его половину, которая содержит бесконечное число членов послед. Выберем элемент Хn₂ последовательности {X_n} так, чтобы: Хn₂ σ₂ и n₂ > n₁. И т.д.

Получаем послед вложенных отрезков {σ_n} и послед {X_nk} послед {X_n}, причем X_nk σ_k .

Заметим, что длины отрезков σ_k:

Тогда по лемме о вложенных отрезках:

Докажем, что . Обозначим .

Послед левых концов отрезков { a_k } является неубывающей (т.к. { σ_k} – послед вложенных отрезков) и ограниченной сверху: a_k ≤ c ( k).

Тогда существует , причем

C другой стороны, =>

Аналогично для

Для подпослед{X_nk} справедливо неравенство a_k ≤ X_nk ≤ b_k. Тогда по свойствам пределов последовательностей

Билет № 16 «ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ: 2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ИХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ».

ОПР: (опр функции)

Пусть . Если ставится в соответствии опред. , то говорят, что на мн-ве Е задана ф-ия. При этом Е наз-ся областью опред-я ф-ии, х - наз-ся независимой переменной или аргументом, у – значение ф-ии.

Любой интервал, содержащий точку а, наз-ся окрестностью точки а и обознач . Мн-во наз-ся проколотой окрестностью точки а. Пусть определена в .

ОПР_1 = ОПР_по Коши

Число в наз-ся пределом ф-ии при , если

Заметим, что даже если не опред в т. а.

Пример:

ОПР_2 = ОПР_по Гейне

Число в наз-ся пределом ф-ии при , если для

ТЕОРЕМА!!! ОПР_1 ó ОПР_2

ДОК-ВО!!!

(=>) рассм

Н.Д, что

Фиксир. . Т.к. выполнено ОПР_1 => для данного

Билет № 16 стр2

Т.к. для данного

(<=) д-м от противного, т.е. предполагаем, что

Рассм

Для каждого

Получаем послед

б.м.

, причем

Т.к.

С др. стороны, для данной послед.

Противоречит, т.к. . Т.О. выполнено ОПР_1.

Сформулируем ОПР предела ф-ии при .

при , если

ОПР_1’ число b наз-ся пределом ф-ии

Обозначаем

ОПР_2’ число b называется пределом ф-ии при , если для б.б. послед

Билет № 15 «КРИТЕРИЙ КОШИ. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕД».

ОПР: Послед называется фундаментальной если

ТЕОРЕМА!!! Послед сходится ó когда она фундаментальна.

ДОК-ВО!!! (=>) послед сходится

Д-м, что - фундаментальная.

Фиксир.

Т.О., фундаментальная послед.

(<=) Послед-ть фундаментальна => ограниченная

.

В частности для

Пусть

огранич, => по ТЕОРЕМЕ Б-В из можно выделить сходящ. подпослед . Обозначим

Д-м, что . Фиксир

фундамент => для

Выберем какой-либо номер для данного и для

Т.О.

Билет № 17 Арифметические свойства пределов функций

ТЕОРЕМА!!! П усть f(x) и g(x) опр в

Тогда

1)

2)

3) Если кроме того с¹0, то

ДОК-ВО!!! Для суммы

Используем ОПР по ТЕйне Þ рассмотрим " ,X_n¹a "_n

Þ (по опр2) для данной {X_n}

Þ (по опр2) для данной {X_n}

Тогда по св-ву пределов послед-ти

Опр 2

Билет 18 свойства пределов функций(а) единственность предела. Б) ограниченность функций имеющих предел.)

Единственность предела

ТЕОРЕМА!!! Если ф-я имеет предел при К®0, то он единств

ДОК-ВО!!! (от противного)

Пусть и

где в ¹с

Рассм X _n ¹a "_n

Т.к Þ для дан {X_n} послед-сть

Þ для данной { X_n} послед-сть

Т.о. ( f(x)-ч.п-ть)противор.т.к не может иметь

b¹c 2 различн предела Þ в = с

.с

Ограниченность функций имеющих предел

ТЕОРЕМА!!! Если ф-я имеет предел при Х®а, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

ДОК-ВО!!!

Þ (по Коши) для e= 1 >0

" Х 0 <

, |f(x)-b|>=|f(x)|-|b| => |f(x)|<|b|+1 для люб.х из окрестн. т.а.=> f(x)-огр. В прокол.окр-ти т.а.

БИЛЕТ20.Односторонние пределы и связь с пределом ф-ии.

1 3 2

Бил20стр2
БИЛЕТ 21. первый замечательный предел

ТЕОРЕМА!!! сущ.

Следствия

Вопрос № 22 2ой замечательный предел

Следствия

(ан-но а^х=lna)

Бил22стр4
Билет 23 свойства бм функции

билет 24 бб функции и их связсь с бм

Билет26.эквивалентность бм ф-ий.(таблица,т.)

билет26стр.2

Билет25.Сравнение бм ф-ий.

Билет28.Непр-ть ф-ии в точке.2св-ва ф-ии непр-ной в т.

бил.28

Бил28

БИЛЕТ 30.классификация точек разрыва функции (определение и примеры)

Пусть f(x) опр. в некот. U(a) (м.б. искл. Саму т.а.). т.а. наз-ся точкой разрыва ф-ии f(x),если f не явл-ся непр-ной в т.а. пусть т.а.-точка разрыва ф-ии f(x).

Опр. 1) т.а.-точка разрыва 1-го рода, если (т.е. сущ. конечные односторонние)

2) Если,кроме того, ,то т.а- точка устранимого разрыва.

3) т.а.- точка разрыва 2-го рода,если она не явл-ся т.разрыва 1-го рода.

Примеры. 1)y=sgn(x). x=0-т.р.1-го рода,т.к.

2)y= , x=0 –т. устр.раз-ва,т.к.

3) y= x=0 –т.р.2-го рода,т.к.

2). .

,

- точка разрыва 2-го рода.

3).

,

х=0- точка разрыва 2-го рода.

4).

не существует точка х=0- точка разрыва 2-го рода.

, . Точка х=0- точка разрыва 2-го рода.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: