Билет № 2 «ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВ ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНЕЙ МНОЖЕСТВА.

Билет № 2 «ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВ ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНЕЙ МНОЖЕСТВА.

ОПР1. М – верхняя грань мн-ва А ó если .

ОПР2. наименьшая из всех верхних граней мн-ва А, наз-ся точной верхней гранью и обозначается sup A.

ОПР2’. Число М наз-ся точной вехней гранью мн-ва А, если

УТВ. ОПР2. ó ОПР2’.

=> выполнено ОПР2, т.е.М = sup A – наименьш.из всех верхних граней => М – верхняя грань мн-ва А => (т.е. выполнено 1) ОПР2’).

Д-м 2) от противного,т.е. верхняя грань мн-ва А, причем М – не наименьшая верхняя грань – противоречие, т.к.М – верхняя грань => выполнено св-во 2) ОПР2’.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Н.д, что М – наименьшая верхняя грань.

Д-м от противного, т.е. Пусть М – не наименьшая верх грань . Обознач. по св-ву 2) для данного противоречие.

Т.к. M’ по выору верх. Грань мн-ва А, сл-но, М – наименьшая верхняя грань мн-ва А => выполняется ОПР2.

Билет № 2 стр2

ОПР3. m – нижняя грань мн-ва А ó если .

ОПР4. наибольшая из всех нижних граней мн-ва А, наз-ся точной нижней гранью и обозначается inf A.

ОПР4’. Число m наз-ся точной нижней гранью мн-ва А, если

УТВ. ОПР4. ó ОПР4’

Доказывается аналогично с УТВ. ОПР2. ó ОПР2’.

ТЕОРЕМА!!! Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) мн-во имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

ДОК-ВО!!! Непустое мн-во А – огранич. сверху, тогда мн-во А имеет хотя бы одну верхнюю грань. Пусть Y – мн-во всех верхних граней мн-ва А, т.е. , причем мн-во Y непустое, т.к. хотя бы одна верхняя грань у мн-ва А есть.

Т.О. непустые мн-ва А и Y и по св-ву непрерыв. действ. чисел т.е. верхняя грань мн-ва А. М = sup А.

Замечание: если мн-во А не ограничено сверху => у него нет верхних граней => нет точной верхней грани. В этом случае иногда полагают, что . Аналогично, если мн-во А не огранич. снизу, то иногда полагают, что

Билет №1 «ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ПРИМЕРЫ».

ОПР1: мн-во А назыв. ограниченным сверху, если . В этом случае М – верх. грань мн-ва А.

Пример: А ограничено сверху. М = 3 – верхняя грань. Любое число больше 3 – верхняя грань.

ОПР2: мн-во А назыв. ограниченным снизу, если . В этом случае m – нижняя. грань мн-ва А.

Пример:

N – ограниченно снизу. m = 1 – нижняя грань. Любое число меньше 1 будет нижней гранью.

ОПР3: мн-во А назыв. ограниченным, если оно ограниченно сверху и снизу, т.е. .

ОПР3’: мн-во А назыв. ограниченным, если

ДОКАЖЕМ,ЧТО ОПР3 ó ОПР3’

=> Н.Д. ОПР3 => ОПР3’

Имеем: Пусть

Т.е. выполнено ОПР3’

<= Н.Д. ОПР3’ => ОПР3

Имеем: ,т.е. выполнено ОПР3.

ОПР4. Мн – во А называется неограниченным, если

Билет № 3 «ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДВАТЕЛЬНОСТИ».

ОПР. Если к каждому натур числу ставить в соответствии действит число по некоторому закону, то занумер мн-во чисел , наз-ся числовой послед. обозначим числ послед. ; числа - элементы послед.

Пример:

ОПР. Число а наз-ся пределом послед. , если (для любого полож числа )

Обозначается:

Пример:

Обознач: окрестность т.а.

Билет № 4 «Б.М. ПОСЛЕД И ИХ СВ-ВА (2 ТЕОРЕМЫ)».

ОПР. Послед наз-ся бесконечно малой (б.м.), если

Пример: б.м.послед.

СВ-ВА:

ТЕОРЕМА_1!!! пусть и - б.м. послед, тогда:

1) Послед б.м.послед.

2) Послед б.м.послед.

ДОК-ВО!!!

1) дано: б.м, т.е.

б.м, т.е.

Д-м, что б.м. послед, т.е.

Выберем и обозначим его .

Т.к. б.м. => для числа ,

б.м. => для числа

Пусть

Т.О. для

Т.к. полож число => выполняется опр. б.м. для , т.е. б.м.

2) Д-м, что б.м.послед.

Выбираем и обозначим его .

б.м. => для числа ,

б.м. => для числа

Пусть

Билет № 4 стр2

Т.О. для

Т.к. полож число => выполняется опр. б.м. для , т.е. б.м.

ТЕОРЕМА_2!!!

Пусть б.м.послед, огранич. положительная послед, тогда б.м.положительная послед.

ОПР. Послед. огранич. если

ДОК-ВО!!!

Фиксируем .

огранич. =>

б.м.послед. => для

Т.О. б.м.

Следствие:

Пусть б.м.послед. Тогда для послед б.м.

Действительно, рассм. послед.

огр. послед. б.м, т.к б.м.

Пример:

огран.

Т.О. по ТЕОРЕМЕ_2!!!

Замечание:

Из ТЕОРЕМЫ_1!!! Следует, что

1) сумма любого конечного числа б.м. послед. есть б.м.послед.

2) произведение любого конечного числа б.м. послед. есть б.м. послед.

Билет № 5 «ББ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВЯЗЬ С БМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ».

ОПР. пусть наз-ся б.б.послед, если

Обозначим

ТЕОРЕМА!!! Пусть б.б.послед., Тогда б.м.послед.

ДОК-ВО!!!

Фиксир. Послед

Т.О. б.м. послед.

СВЯЗЬ ББ С БМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ.

б.б. послед. б.м. послед. Обратная зависимость.

Билет 18 свойства пределов функций(а) единственность предела. Б) ограниченность функций имеющих предел.)

Единственность предела

ТЕОРЕМА!!! Если ф-я имеет предел при К®0, то он единств

ДОК-ВО!!! (от противного)

Пусть и

где в ¹с

Рассм X _n ¹a "_n

Т.к Þ для дан {X_n} послед-сть

Þ для данной { X_n} послед-сть

Т.о. ( f(x)-ч.п-ть)противор.т.к не может иметь

b¹c 2 различн предела Þ в = с

.с

Следствия

Вопрос № 22 2ой замечательный предел

Следствия

(ан-но а^х=lna)

Бил22стр4
Билет 23 свойства бм функции

билет 24 бб функции и их связсь с бм

Билет26.эквивалентность бм ф-ий.(таблица,т.)

билет26стр.2

Билет25.Сравнение бм ф-ий.

Билет28.Непр-ть ф-ии в точке.2св-ва ф-ии непр-ной в т.

бил.28

Бил28

БИЛЕТ 30.классификация точек разрыва функции (определение и примеры)

Пусть f(x) опр. в некот. U(a) (м.б. искл. Саму т.а.). т.а. наз-ся точкой разрыва ф-ии f(x),если f не явл-ся непр-ной в т.а. пусть т.а.-точка разрыва ф-ии f(x).

Опр. 1) т.а.-точка разрыва 1-го рода, если (т.е. сущ. конечные односторонние)

2) Если,кроме того, ,то т.а- точка устранимого разрыва.

3) т.а.- точка разрыва 2-го рода,если она не явл-ся т.разрыва 1-го рода.

Примеры. 1)y=sgn(x). x=0-т.р.1-го рода,т.к.

2)y= , x=0 –т. устр.раз-ва,т.к.

3) y= x=0 –т.р.2-го рода,т.к.

2). .

,

- точка разрыва 2-го рода.

3).

,

х=0- точка разрыва 2-го рода.

4).

не существует точка х=0- точка разрыва 2-го рода.

, . Точка х=0- точка разрыва 2-го рода.

Билет № 2 «ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВ ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНЕЙ МНОЖЕСТВА.

ОПР1. М – верхняя грань мн-ва А ó если .

ОПР2. наименьшая из всех верхних граней мн-ва А, наз-ся точной верхней гранью и обозначается sup A.

ОПР2’. Число М наз-ся точной вехней гранью мн-ва А, если

УТВ. ОПР2. ó ОПР2’.

=> выполнено ОПР2, т.е.М = sup A – наименьш.из всех верхних граней => М – верхняя грань мн-ва А => (т.е. выполнено 1) ОПР2’).

Д-м 2) от противного,т.е. верхняя грань мн-ва А, причем М – не наименьшая верхняя грань – противоречие, т.к.М – верхняя грань => выполнено св-во 2) ОПР2’.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Н.д, что М – наименьшая верхняя грань.

Д-м от противного, т.е. Пусть М – не наименьшая верх грань . Обознач. по св-ву 2) для данного противоречие.

Т.к. M’ по выору верх. Грань мн-ва А, сл-но, М – наименьшая верхняя грань мн-ва А => выполняется ОПР2.

Билет № 2 стр2

ОПР3. m – нижняя грань мн-ва А ó если .

ОПР4. наибольшая из всех нижних граней мн-ва А, наз-ся точной нижней гранью и обозначается inf A.

ОПР4’. Число m наз-ся точной нижней гранью мн-ва А, если

УТВ. ОПР4. ó ОПР4’

Доказывается аналогично с УТВ. ОПР2. ó ОПР2’.

ТЕОРЕМА!!! Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) мн-во имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

ДОК-ВО!!! Непустое мн-во А – огранич. сверху, тогда мн-во А имеет хотя бы одну верхнюю грань. Пусть Y – мн-во всех верхних граней мн-ва А, т.е. , причем мн-во Y непустое, т.к. хотя бы одна верхняя грань у мн-ва А есть.

Т.О. непустые мн-ва А и Y и по св-ву непрерыв. действ. чисел т.е. верхняя грань мн-ва А. М = sup А.

Замечание: если мн-во А не ограничено сверху => у него нет верхних граней => нет точной верхней грани. В этом случае иногда полагают, что . Аналогично, если мн-во А не огранич. снизу, то иногда полагают, что

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: