|
|
Билет № 2 «ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВ ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНЕЙ МНОЖЕСТВА.Стр 1 из 4Следующая ⇒ Билет № 2 «ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВ ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНЕЙ МНОЖЕСТВА. ОПР1. М – верхняя грань мн-ва А ó если ОПР2. наименьшая из всех верхних граней мн-ва А, наз-ся точной верхней гранью и обозначается sup A. ОПР2’. Число М наз-ся точной вехней гранью мн-ва А, если УТВ. ОПР2. ó ОПР2’. => выполнено ОПР2, т.е.М = sup A – наименьш.из всех верхних граней => М – верхняя грань мн-ва А => Д-м 2) от противного,т.е.
<= выполнено ОПР2’, т.е.
Н.д, что М – наименьшая верхняя грань. Д-м от противного, т.е. Пусть М – не наименьшая верх грань Т.к. M’ по выору верх. Грань мн-ва А, сл-но, М – наименьшая верхняя грань мн-ва А => выполняется ОПР2.
Билет № 2 стр2
ОПР3. m – нижняя грань мн-ва А ó если ОПР4. наибольшая из всех нижних граней мн-ва А, наз-ся точной нижней гранью и обозначается inf A. ОПР4’. Число m наз-ся точной нижней гранью мн-ва А, если УТВ. ОПР4. ó ОПР4’ Доказывается аналогично с УТВ. ОПР2. ó ОПР2’. ТЕОРЕМА!!! Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) мн-во имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. ДОК-ВО!!! Непустое мн-во А – огранич. сверху, тогда мн-во А имеет хотя бы одну верхнюю грань. Пусть Y – мн-во всех верхних граней мн-ва А, т.е. Т.О. непустые мн-ва А и Y и Замечание: если мн-во А не ограничено сверху => у него нет верхних граней => нет точной верхней грани. В этом случае иногда полагают, что
Билет №1 «ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ПРИМЕРЫ». ОПР1: мн-во А назыв. ограниченным сверху, если Пример: ОПР2: мн-во А назыв. ограниченным снизу, если Пример:
ОПР3: мн-во А назыв. ограниченным, если оно ограниченно сверху и снизу, т.е. ОПР3’: мн-во А назыв. ограниченным, если ДОКАЖЕМ,ЧТО ОПР3 ó ОПР3’ => Н.Д. ОПР3 => ОПР3’ Имеем: Т.е. выполнено ОПР3’ <= Н.Д. ОПР3’ => ОПР3 Имеем: ОПР4. Мн – во А называется неограниченным, если
Билет № 3 «ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДВАТЕЛЬНОСТИ». ОПР. Если к каждому натур числу ставить в соответствии действит число Пример: ОПР. Число а наз-ся пределом послед. Обозначается: Пример: Обознач:
Билет № 4 «Б.М. ПОСЛЕД И ИХ СВ-ВА (2 ТЕОРЕМЫ)». ОПР. Послед
Пример: СВ-ВА: ТЕОРЕМА_1!!! пусть 1) Послед 2) Послед ДОК-ВО!!! 1) дано:
Д-м, что Выберем Т.к.
Пусть Т.О. для Т.к. 2) Д-м, что Выбираем
Пусть
Билет № 4 стр2
Т.О. для Т.к. ТЕОРЕМА_2!!! Пусть ОПР. Послед. ДОК-ВО!!! Фиксируем
Т.О. Следствие: Пусть Действительно, рассм. послед.
Пример:
Т.О. по ТЕОРЕМЕ_2!!! Замечание: Из ТЕОРЕМЫ_1!!! Следует, что 1) сумма любого конечного числа б.м. послед. есть б.м.послед. 2) произведение любого конечного числа б.м. послед. есть б.м. послед.
Билет № 5 «ББ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВЯЗЬ С БМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ». ОПР. пусть Обозначим ТЕОРЕМА!!! Пусть ДОК-ВО!!! Фиксир. Т.О. СВЯЗЬ ББ С БМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ.
Билет 18 свойства пределов функций(а) единственность предела. Б) ограниченность функций имеющих предел.) Единственность предела ТЕОРЕМА!!! Если ф-я имеет предел при К®0, то он единств ДОК-ВО!!! (от противного)
Пусть где в ¹с Рассм Т.к
b¹c 2 различн предела Þ в = с
Следствия
Бил22стр4
билет 24 бб функции и их связсь с бм Билет26.эквивалентность бм ф-ий.(таблица,т.)
Билет25.Сравнение бм ф-ий.
Билет28.Непр-ть ф-ии в точке.2св-ва ф-ии непр-ной в т.
Бил28 БИЛЕТ 30.классификация точек разрыва функции (определение и примеры) Пусть f(x) опр. в некот. U(a) (м.б. искл. Саму т.а.). т.а. наз-ся точкой разрыва ф-ии f(x),если f не явл-ся непр-ной в т.а. пусть т.а.-точка разрыва ф-ии f(x). Опр. 1) т.а.-точка разрыва 1-го рода, если 2) Если,кроме того, 3) т.а.- точка разрыва 2-го рода,если она не явл-ся т.разрыва 1-го рода. Примеры. 1)y=sgn(x). x=0-т.р.1-го рода,т.к. 2)y= 3) y=
2).
х=0- точка разрыва
Билет № 2 «ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВ ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНЕЙ МНОЖЕСТВА. ОПР1. М – верхняя грань мн-ва А ó если ОПР2. наименьшая из всех верхних граней мн-ва А, наз-ся точной верхней гранью и обозначается sup A. ОПР2’. Число М наз-ся точной вехней гранью мн-ва А, если УТВ. ОПР2. ó ОПР2’. => выполнено ОПР2, т.е.М = sup A – наименьш.из всех верхних граней => М – верхняя грань мн-ва А => Д-м 2) от противного,т.е.
<= выполнено ОПР2’, т.е.
Н.д, что М – наименьшая верхняя грань. Д-м от противного, т.е. Пусть М – не наименьшая верх грань Т.к. M’ по выору верх. Грань мн-ва А, сл-но, М – наименьшая верхняя грань мн-ва А => выполняется ОПР2.
Билет № 2 стр2
ОПР3. m – нижняя грань мн-ва А ó если ОПР4. наибольшая из всех нижних граней мн-ва А, наз-ся точной нижней гранью и обозначается inf A. ОПР4’. Число m наз-ся точной нижней гранью мн-ва А, если УТВ. ОПР4. ó ОПР4’ Доказывается аналогично с УТВ. ОПР2. ó ОПР2’. ТЕОРЕМА!!! Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) мн-во имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. ДОК-ВО!!! Непустое мн-во А – огранич. сверху, тогда мн-во А имеет хотя бы одну верхнюю грань. Пусть Y – мн-во всех верхних граней мн-ва А, т.е. Т.О. непустые мн-ва А и Y и Замечание: если мн-во А не ограничено сверху => у него нет верхних граней => нет точной верхней грани. В этом случае иногда полагают, что
  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
(т.е. выполнено 1) ОПР2’).
верхняя грань мн-ва А, причем 
М – не наименьшая верхняя грань – противоречие, т.к.М – верхняя грань => выполнено св-во 2) ОПР2’.
. Обознач. 
по св-ву 2) для данного 
противоречие.
.
, причем мн-во Y непустое, т.к. хотя бы одна верхняя грань у мн-ва А есть.
по св-ву непрерыв. действ. чисел 
т.е. 
верхняя грань мн-ва А. М = sup А.
. Аналогично, если мн-во А не огранич. снизу, то иногда полагают, что 
А ограничено сверху. М = 3 – верхняя грань. Любое число больше 3 – верхняя грань.
N – ограниченно снизу. m = 1 – нижняя грань. Любое число меньше 1 будет нижней гранью.
.
Пусть 
,т.е. 
выполнено ОПР3.
по некоторому закону, то занумер мн-во чисел 
, наз-ся числовой послед. обозначим числ послед. 
; числа 
) 
окрестность т.а. 
наз-ся бесконечно малой (б.м.), если
б.м.послед.
- б.м. послед, тогда:
б.м.послед.
б.м.послед.
б.м, т.е. 
б.м, т.е. 
б.м. послед, т.е. 
и обозначим его 
.
,
полож число => выполняется опр. б.м. для 
, т.е. 
,
, т.е. 
б.м.
огранич. положительная послед, тогда 
б.м.положительная послед.
б.м.
б.м.послед. Тогда для 
послед 
б.м.
огр. послед. 
б.м, т.к 
огран.
б.б.послед., 
Тогда 
б.м.послед.
Послед 
б.м. послед.
б.м. послед. Обратная зависимость.
и 
X n ¹a "n
Þ для дан {Xn} послед-сть 
Þ для данной { Xn} послед-сть 
Т.о. 
( f(x)-ч.п-ть)противор.т.к не может иметь
Вопрос № 22 2ой замечательный предел
Следствия 
(ан-но ах=lna)
билет26стр.2 
бил.28 
(т.е. сущ. конечные односторонние)
,то т.а- точка устранимого разрыва.
, x=0 –т. устр.раз-ва,т.к. 
x=0 –т.р.2-го рода,т.к. 
.
, 
- точка разрыва 
2-го рода.
3). 
4). 
не существует 
точка х=0- точка разрыва