МАТЕМАТИКА: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

МАТЕМАТИКА: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения

первого курса экономических специальностей МИППС

Краснодар

2010

Составители:канд. техн. наук, доцент Л.М. Данович;

ст. преп.О.В. Коренева;

ст. преп. А.А. Хромых;

ст. преп. О.В. Пергун

УДК 512.642+514.12(07)

МАТЕМАТИКА: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ: методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения первого курса экономических специальностей МИППС / Сост.: Л.М. Данович, О.В. Коренева, А.А. Хромых, О.В. Пергун: Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. прикладной математики. – Краснодар.: Изд. КубГТУ, 2010 – 55 с.

Изложена программа дисциплины; приведен краткий теоретический материал в рамках программы курса. Предложены варианты контрольных индивидуальных заданий для самостоятельного решения, а также примеры выполнения; даны требования к оформлению контрольных работ и рекомендуемая литература.

Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.

Рецензенты: канд. техн. наук, доц. кафедры ПМ КубГТУ Н. А. Наумова;

зав. кафедрой математики и информатики КВВУЛ канд. физ.-

мат. наук, доцент В. В. Жучкова

© КубГТУ, 2010

Содержание

Введение

В процессе изучения курса «Математика: элементы теории вероятностей, математической статистики и линейного программирования» студент должен знать математические методы и их применение:

Ø в теории вероятностей и математической статистике;

Ø в линейном программировании.

Приобрести знания, умения и выработать навыки в соответствии со следующими требованиями:

Ø знать основные элементы теории вероятностей – случайные события и величины, операции над ними;

Ø знать основные понятия и формулы математической статистики;

Ø знать алгоритмы решения задач линейного программирования.

1 Программа дисциплины

Тема 1. Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и операции над ними. Полная группа случайных событий. Определение вероятности. Комбинаторика.

Свойства вероятностей. Теорема сложения. Статистическое определение вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Схема Бернулли повторных испытаний, наивероятнейшее число появлений событий. Локальная и интегральная предельные теоремы и их применение.

Тема 2. Элементы математической статистики

Основные понятия. Генеральная и выборочная совокупности. Оценки параметров распределения выборки, методы их получения.

Тема 3. Линейное программирование

Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Графический способ решения ЗЛП. Алгоритм решения ЗЛП симплекс-методом. Транспортная задача.

Тема 1. Теория вероятностей

Элементы комбинаторики

Комбинаторика – наука, изучающая количества комбинаций, подчиненных определенным условиям.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающихся только порядком их следования. Число всех перестановок без повторений равно

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число один раз?

Решение. .

Ответ: 6 чисел (123, 213, 231, 132, 312, 321).

Размещениями называются комбинации, составленные из элементов по элементов в каждой, которые отличаются либо составом, либо их порядком.

Число всех размещений без повторений равно

.

Пример 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра входит в изображение числа один раз?

Решение. .

Ответ: 12 чисел (12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43).

Сочетаниями называются комбинации, составленные из элементов по элементов в каждой, которые отличаются только составом.

Число всех сочетаний без повторений равно

.

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две цифры из четырех?

Решение. (первая и вторая, первая и третья, первая и четвертая, вторая и третья, вторая и четвертая, третья и четвертая).

Ответ: шестью способами.

Правило суммы. Если множество можно выбрать n способами, а множество – способами, то множество «либо , либо » можно выбрать способами.

Пример 4. Если в комнате находятся два кресла и три стула, то вошедший может присесть 2 + 3 = 5 способами: либо на первое кресло, либо на второе, либо на первый стул, либо на второй, либо на третий.

Правило произведения. Если множество можно выбрать n способами, а множество – способами, то пара может быть выбрана (n×m) способами (одновременное выполнение).

Пример 5. Из Киева до Чернигова можно добраться пароходом, поездом, автобусом или самолетом. Из Чернигова до Ново-Северского пароходом или автобусом. Таким образом, путешествие из Киева до Ново-Северского можно осуществить 4 × 2 = 8 способами:

пароход

Киев поезд пароход

ЧерниговНово-Северский

Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже произошло.

Теорема 3 (умножения)

Вероятность совместного появления двух событий и равна

(причем неважно, которое из событий считать первым, а которое – вторым).

Если события и независимы, то теорема умножения примет вид:

.

Аналогично теорема умножения распространяется на случай нескольких событий:

для зависимых: ,

для независимых: .

Пример 13. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения первым равна 0,8, а вторым – 0,7.

Решение. Обозначим: А={поражение первым орудием}, В={поражение вторым орудием}. Тогда = 0,8 × 0,7= 0,56 по теореме умножения для независимых событий.

Ответ: 0,56.

Пример 14. Два орудия произвели залп по цели. Вероятность поражения цели одним из них равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти вероятность того, что цель была поражена только одним орудием.

Решение. По условию = 0,8 = 0,2; = 0,7 = 0,3.

Очевидно, что , где ={цель поражена только одним орудием}, ={цель поражена только первым}, ={цель поражена только вторым}. По теореме сложения для несовместных событий . Причем , a – по теореме умножения для независимых событий. Тогда = 0,8 × 0,3 + 0,2 × 0,7 = 0,38.

Ответ: 0,38.

Пример 15. Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула окажется в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула окажется:

1) только в одном справочнике;

2) только в двух справочниках;

3) во всех трех справочниках.

Решение. По условию ;

;

.

1. Пусть ={формула только в одном справочнике}, тогда

=0,6 × 0,3 × 0,2 + 0,4 × 0,7 × 0,2 + 0,4 × 0,3 × 0,8= = 0,188.

2. Пусть ={формула только в двух справочниках}, тогда =0,6 × 0,7 × 0,2+0,4 × 0,7 × 0,8 + 0,6 × 0,3 × 0,8 = =0,452.

3. Пусть ={формула во всех трех справочниках}, тогда

= 0,6 × 0,7 × 0,8 = 0,336.

Ответ: 1) 0,188; 2) 0,452; 3) 0,336.

Теорема 4 (вероятность появления хотя бы одного события).

Пусть известны вероятности появления каждого из независимых событий: , , …, , тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна , где .

Пример 16. Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула окажется в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что формула окажется хотя бы в одном справочнике.

Решение. По условию ;

;

.

Пусть ={формула хотя бы в одном справочнике}, тогда

=1 – 0,4 × 0,3 × 0,2 = 0,976.

Ответ: 0,976.

Основные понятия и определения

Современная статистика разрабатывает планирование эксперимента, занимается последующим анализом и др. Если требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака, то на практике не изучают каждый элемент, а случайно отбирают ограниченное число объектов и изучают их.

Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности.

Наиболее удобно выборку записывать в виде таблицы:

		…
		…

где наблюдаемые значения называются вариантами (каждое из наблюдалось раз), а указанная последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом, – частоты.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значение признака выборки

,

где – объем выборки.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения :

,

где – объем выборки.

Выборочное среднее квадратическое отклонение .

Исправленная дисперсия .

Исправленное среднее квадратическое отклонение .

Аналогично теории вероятностей справедлива теорема о формуле для подсчета дисперсии.

Теорема: , где вычисляют по формуле:

.

Для упрощения счета числовых характеристик можно воспользоваться следующими формулами:

, , , , , где с – варианта, имеющая максимальную частоту, h – шаг таблицы, т.е. интервал между соседними вариантами.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

При этом если , то ,

если , то .

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки , ,…, , где – варианты выборки, – соответствующие частоты.

Пример 20. По данной выборке решить следующие подзадачи:

1. Получить статистическое распределение выборки;

2. Найти среднюю арифметическую , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;

3. Найти моду и медиану .

Решение. Составим вариационный ряд:

Объем выборки равен: .

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Дисперсия : .

Среднеквадратичное отклонение : .

Мода: . Медиана: .

Замечание

1. Для удобства вычислений обычно выбирают .

2. Если в процессе решения какая-нибудь строка полностью

обнулится, то её вычеркиваем.

3. Если в процессе решения получим строку, у которой все

элементы кроме свободного члена, отличного от нуля, равны нулю, то такая система решения не имеет.

4. Если в разрешающей строке какой-либо элемент равен нулю,

то весь столбец, в котором стоит этот элемент, в новую таблицу переписывается без изменения.

5. Если в разрешающем столбце какой-либо элемент равен нулю,

то строка, в которой стоит этот элемент, в новую таблицу переписывается без изменений.

Переменные, которым соответствуют единичные векторы, называют базисными.

Переменные, которые не входят в базис, называют свободными.

Решения, полученные при приравнивании к нулю свободных переменных, называются базисными.

Те базисные решения, которые не содержат отрицательных переменных () называются опорными.

Теорема

1. Если число базисных переменных равно общему числу переменных системы, то система имеет единственное решение.

2. Если число базисных переменных меньше общего числа переменных системы, то система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Решить систему методом Жордана–Гаусса

Решение.

1-й шаг. По данным системы составим таблицу. Выбираем разрешающий элемент , для удобства вычислений берем . Все элементы первой строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

базис       -1 1     -2               -2         -1       -6 -1     -3   -1 -1 -1   -3 -10       -2     -4           -5     -3       -2           -1

Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленным суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис. Переходим к следующему шагу.

2-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из второй и третьей строчки, для удобства вычислений берем . Все элементы второй строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

Третий столбец в новую таблицу можно переписать без изменений, так как в разрешающей стоке в третьем столбце стоит ноль. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис. Переходим к следующему шагу.

3-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из третьей строчки, т.к. в этой третьей строке только один элемент отличный от нуля, то в качестве разрешающего элемента выбираем этот элемент . Все элементы третьей строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

Первый, третий и контрольный столбцы в новую таблицу можно переписать без изменений, так как в разрешающей стоке в первом, третьем и контрольном столбцах стоят нули. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленным суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.

Поскольку все строки побывали разрешающими и система приведена к единичному базису, то выписываем ответ:

Ответ: .

Транспортная задача

Задание 4. Решить транспортную задачу.

Транспортная задача - это задача о перевозке некоторого груза от m поставщиков к n потребителям. Обычно условия транспортной задачи задаются в таблице.

А\В				……
				……..
				…….
……	…….	…….	…….	…….	…….
				…….

В этой таблице:

- запас груза у поставщика , где i=1, 2,…, m;

- потребность в грузе у потребителя , где j=1, 2,…, n;

- стоимость перевозки единицы груза от i- гопоставщика к j -му

потребителю (тариф перевозки).

Если суммарный запас равен суммарным потребностям, т.е. , то имеем закрытую модель транспортной задачи. Если нет, то открытую модель.

Рассмотрим решение закрытой модели транспортной задачи.

1. Как и при решении ЗЛП симплексным методом, определение оптимального плана транспортной задачи начинают с нахождения исходного опорного плана. Этот план наиболее рационально находить методом минимального элемента (существуют и другие методы его нахождения). Для этого в таблице тарифов выбираем минимальный (например ) и в клетку, которая ему соответствует, помещаем наименьшее из чисел и . Затем из рассмотрения исключаем либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены. Так на каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если клетка подлежит заполнению, но запасы равны нулю, то на этом шаге в соответствующую клетку заносится базисный нуль (0^*). Из оставшейся части таблицы снова выбираем минимальный тариф и т.д. до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а потребители удовлетворены. Если минимальных элементов несколько, то выбираем ту клетку, которой соответствует наибольшая перевозка. Таким образом, находим исходный опорный план. Этот опорный план должен содержать занятую клетку.

2. Для проверки найденного плана на оптимальность используется метод потенциалов.

2.1 Для «заняты х» клеток составляем систему уравнений

, где - потенциалы поставщиков, - потенциалы потребителей. Получаем линейных уравнений с неизвестными. Такая система имеет множество решений. Чтобы найти любое из них, надо одной из переменных дать произвольное значение (например ). Находим значения остальных потенциалов.

2.2 Для «свободных» клеток находим числа .

Если все , то найденный опорный план будет оптимальным. Если есть хотя бы один , то найденное решение не оптимально. Среди всех положительных находим одно максимальное (например ) и делаем перераспределение поставок груза относительно свободной клетки . Если среди всех положительных имеется несколько одинаковых максимальных, то выбираем любое.

Перераспределение поставок в таблице условий транспортной задачи производится по циклу.

Цикл – это цепь, многоугольник, все вершины которого находятся в занятых клетках, углы прямые, число вершин четное. После того как цикл пересчета построен, в вершинах цикла, начиная со свободной клетки , ставим поочередно «+» и «–». Далее в «–» клетках находим минимальный груз , который прибавляем к грузам в «+» клетках и отнимаем от грузов в «–» клетках. Таким образом, свободная клетка становится занятой с грузом, а одна занятая клетка освобождается. Общее число занятых клеток в новом опорном плане должно сохраняться, т.е. .

Этот новый план распределения поставок проверяем на оптимальность (переходим к пункту 2). Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим, что все . После того как оптимальный план перевозок будет найден, выписываем опорный план и находим минимальную стоимость перевозок.

Пример. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i= 1, 2, 3, 4, j= 1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, при условии: – пункт

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: