Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Формула полной вероятности. Формула Байеса





Если известно, что событие может произойти вместе с одним из событий (гипотез), образующими полную группу событий, то вероятность события равна

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 17. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна наудачу взятая болванка не имеет дефектов.

Решение. Введем обозначения: ={болванка без дефектов},

={материал из 1-го цеха},

={материал из 2-го цеха}.

Тогда по условию = 0,7, = 1 - 0,1 = 0,9;

= 0,3, = 1 - 0,2 = 0,8.

Значит, по формуле полной вероятности получаем:

= 0,7 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,87.

Ответ: 0,87.

Условная вероятность события в предположении, что событие уже произошло, определяется по формуле Байеса:

,

где вычисляют по формуле полной вероятности.

Пример 18.Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что наудачу взятая не имеющая дефектов болванка из первого цеха.

Решение. Введем обозначения: ={болванка без дефектов},

={материал из 1-го цеха},

={материал из 2-го цеха}.

Тогда по условию = 0,7, = 1 - 0,1 = 0,9;

= 0,3, = 1 - 0,2 = 0,8.

И значит, по формуле Байеса проверим первую гипотезу: , где вычислили в примере 17.

Ответ: 0,724.

Повторные испытания. Формула Бернулли

Если производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события одна и та же и равна ( ), то вероятность того, что событие появится в этих испытаниях ровно раз можно вычислить по формуле Бернулли:

, где .

Пример 19. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна . Найти вероятность выиграть по двум билетам из пяти.



Решение. По условию = , значит = ; = 5, = 2. Тогда по формуле Бернулли получаем

P5(2) = = = 0,1285.

Ответ: 0,1285.

Замечание: если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа.

 

Тема 2. Элементы математической статистики

Основные понятия и определения

Современная статистикаразрабатывает планирование эксперимента, занимается последующим анализом и др. Если требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака, то на практике не изучают каждый элемент, а случайно отбирают ограниченное число объектов и изучают их.

Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности.

Наиболее удобно выборку записывать в виде таблицы:

 

 

где наблюдаемые значения называются вариантами (каждое из наблюдалось раз), а указанная последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом, частоты.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значение признака выборки

,

где – объем выборки.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения :

,

где – объем выборки.

Выборочное среднее квадратическое отклонение .

Исправленная дисперсия .

Исправленное среднее квадратическое отклонение .

Аналогично теории вероятностей справедлива теорема о формуле для подсчета дисперсии.

Теорема: , где вычисляют по формуле:

.

Для упрощения счета числовых характеристик можно воспользоваться следующими формулами:

, , , , , где с – варианта, имеющая максимальную частоту, h – шаг таблицы, т.е. интервал между соседними вариантами.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

При этом если , то ,

если , то .

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки , ,…, , где – варианты выборки, – соответствующие частоты.

Пример 20. По данной выборке решить следующие подзадачи:

1. Получить статистическое распределение выборки;

2. Найти среднюю арифметическую , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;

3. Найти моду и медиану .

Решение.Составим вариационный ряд:

 

Объем выборки равен: .

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Дисперсия : .

Среднеквадратичное отклонение : .

Мода: . Медиана: .

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.