Сиразетдинов Т.К., Родионов В.В.,

Им. А.Н.ТУПОЛЕВА

Сиразетдинов Т.К., Родионов В.В.,

Ультриванов И.П.

Математические методы исследования экономических систем

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Казань 2007

УДК 330.4 (075.8)

ББК 65.050я73

Сиразетдинов Т.К., Родионов В.В., Ультриванов И.П. Математические методы исследования экономических систем: Лабораторный практикум для студентов института экономики. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2007. 40 с.

Приводятся задания, методические указания и варианты исходных данных для шести лабораторно–практических работ.

Предназначено для студентов очной и заочной формы обучения, обучающихся по специальностям «Экономика и управление на предприятиях», «Прикладная информатика в экономике» и изучающих курсы «Математические методы в исследовании экономических систем» и «Имитационное моделирование экономических процессов».

Табл.. Ил..

Рецензенты: ЗАО «ДЕКО–Вакуум», ген.директор к.т.н. Конев С.А.,

к.э.н., доцент кафедры макроэкономики экономической теории Сидракова М.М.

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим центром

КГТУ им. А.Н.Туполева

Лабораторная работа № 1

РАСЧЕТ СЕБЕСТОИМОСТИ ИЗДЕЛИЯ. ОЦЕНКА ПРИБЫЛЬНОСТИ

И ОКУПАЕМОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ

Цель работы: изучение математических методов расчета себестоимости единицы изделия, прибыльности и оценки времени окупаемости вложенных инвестиций. Закрепление теоретического материала решением задач по определению себестоимости, прибыли и времени окупаемости.

Расчет производственной себестоимости изделия

Для оценки будущих доходов (прибыли или заработной платы) необходимо определить себестоимость изделия. Себестоимость изделия складывается из всех видов затрат при его производстве. Зная конструкцию изделия и технологию его изготовления, состояние рынка материалов и комплектующих изделий, рынка труда, всегда можно оценить себестоимость производимого изделия. Для этого произведем сначала расчет составляющих частей себестоимости и потом, суммируя все составляющие затрат, получим себестоимость. Все оценки затрат произведем в денежных единицах на единицу изделия.

Пусть х_м' (руб.) - затраты на приобретение материалов и комплектующих изделий в расчете на единицу готовой продукции.

Через х_с' (руб.) обозначим часть фонда заработной платы, приходящуюся на оплату изготовления единицы продукции (сдельная оплата труда). Заметим, что при выплате зарплаты из фонда еще будут вычитаться различные налоги и отчисления, т.е. на руки выдается меньшее количество денег, чем размер фонда заработной платы, т.к. он включает в себя подоходный и другие налоги, различные отчисления в расчете на единицу продукции.

Введем величинух_о' = х_м' + х_с', представляющую собой долю затрат на изготовление одного изделия, которая не зависит от объема производства, т.е. от количества изготавливаемых изделий в единицу времени (например, за месяц).

Далее рассмотрим те расходы на изготовление единицы продукции, которые зависят от объема производства.

Пусть х_н' (руб./мес.) - среднемесячные накладные расходы. Накладные расходы складываются из арендной платы за помещение, затрат на электро-, тепло- и водоснабжение, канализацию, экологию, охрану и безопасность, транспортных и других расходов. Эти затраты не зависят от объемов производства и сбыта (реализации), а имеют постоянный характер. Поэтому накладные расходы удобно рассчитывать на единицу времени (например, один месяц).

Введем х_от' (руб./мес.) - среднемесячный фонд оплаты труда (ФОТ), в который включены все виды отчислений от заработной платы.. Из этого фонда будет производиться оплата труда работников предприятия (кроме сдельной оплаты).

Среднемесячные расходы относятся к постоянным затратам. Обозначим их х_п', определяются они из выражения х_п' = х_н' + х_от'. Найдем долю постоянных затрат, приходящихся на производство одного изделия. Для этого сначала введем в рассмотрение величину V(количество/мес.) - среднемесячный объем выпуска продукции, т.е. количество (в штуках, килограммах, литрах и т.д.) изготавливаемых изделий в месяц. Тогда доля постоянных затрат х_пи', приходящаяся на изготовление единицы изделия определится по формуле х_пи' = х_п'/V. Отсюда следует, что доля постоянных расходов, приходящаяся на единицу изделия, уменьшается с увеличением количества изготавливаемых в месяц изделий, т.е. чем больше объем производства, тем дешевле обходится изготовление продукции.

Себестоимость изготовления изделия (или затраты на производство одного изделия) определяется по формуле

С_и = х_о'+ х_п'/V. (1)

Оценка затрат на реализацию и расчет полной себестоимости

Пусть для реализации, т.е. продажи (розничной или оптовой) готового изделия потребуются дополнительно еще С_р(руб./мес.) затрат на одно изделие. Это могут быть транспортные расходы, арендная плата за место торговли, оклады продавцам, расходы на рекламу и т.д. Расходы С_рвычисляются аналогично расчету себестоимости изготовления единицы изделия.

Введем х_о" = х_м" + х_с " ,где х_м" - затраты на упаковку и другие аналогичные расходы при реализации единицы изделия; х_с"- фонд сдельной оплаты при реализации единицы готовой продукции.

Введем также величину х_п" = х_н" + х_от", где х_н" - среднемесячные накладные расходы, связанные с реализацией товара, расходы на рекламу и т.д.; х_от" - среднемесячный фонд оплаты труда (кроме сдельной) при реализации единицы продукции.

Тогда затраты на реализацию единицы продукции составят C_р = х_о" + х_п"/V, где V - ежемесячный объем продаж.

Таким образом, если каждый месяц производится и реализуется продукция в объеме V, то расходы, включая фонд заработной платы, составят

C = C_и + C_р = х_о + х_п /V, (2)

где х_о = х_о'+х_о", х_п = х_п'+ х_п". Величину C можно назвать полной себестоимостью, так как она включает в себя все затраты на изготовление продукции и расходы на ее реализацию.

Оценка безубыточного объема производства

При продаже изделия по цене P_р (руб.) c учетом НДС на руки мы получим сумму

P_п = P_р – Н_д, (5)

или, учитывая соотношение (4),

P_п = (1 – К_д) P_р + К_д х_м / (1+ К_д). (6)

Определим объем производства V_б/у, при котором предприятие при существующих издержках на производство единицы изделия С, будет безубыточно. Это будет иметь место, если вырученные от реализации единицы продукции денежные средства в количестве P_п будут равны себестоимости С, т. е. P_п = С. Это точка пересечения кривой издержек C=C(V) и прямой, задаваемой выражением (6). Учитывая формулу (2), получим

V_б/у = х_п / (P_п – х_о). (7)

Значение V= V_б/у называется точкой безубыточности. Если ежемесячный объем производства и реализации продукции V будет меньше, чем V_б/у, то наше дело убыточное и мы не сможем скомпенсировать свои затраты. Если V= V_б/у, то убытка производство нам не принесет (мы скомпенсируем свои затраты и выплатим предусмотренную зарплату своим сотрудникам), но дополнительной прибыли мы также не получим. Чтобы получить прибыль, необходимо выполнение условия V > V_б/у.

Оценка будущей прибыли

Допустим, что спрос на ваш товар высокий и мы продаем его по рыночной цене P_р, превышающей полную себестоимость C, т.е. получаемая нами сумма P_п больше, чем C (P_п >C). В этом случае у нас образуется прибыль. В соответствии с действующим законодательством за полученную прибыль мы обязаны платить налог на прибыль, т.е. разность (P_п – C) еще не будет нашим дополнительным доходом или чистой прибылью. Из этой суммы необходимо уплатить налог на прибыль.

Пусть K_п - ставка налога на прибыль. Тогда величина налога на прибыль составит

Н_п = K_п (P_п – С) (8)

и наша прибыль на единицу изделия Р_пр будет равна

Р_пр = (1 – K_п) (P_п – С). (9)

Полная прибыль P_v от реализации продукции в объеме V равняется

P_v= V P_пр. (10)

Практическая часть работы

Заданы: затраты при производстве и реализации изделия: х_м', х_с', х_м", х_с"(тыс. руб.), х_н', х_от', х_н", х_от"(тыс. руб./мес.); ставки налога на добавленную стоимость К_д и налога на прибыль К_п; цена P_р (тыс. руб.), по которой реализуются изделия; единовременные капитальные вложения (инвестиции) Y_и (тыс. руб.), расходы х_ои, х_ми, х_пи (тыс. руб.), количество продукции V_и (штук/месяц) после модернизации. (При расчетах принимать V_и = r V, где r – заданный безразмерный коэффициент.)

Требуется:

1. Определить налог на добавленную стоимость Н_д по формуле (4) и точку безубыточности V_б/у по формуле (7);

2. Для значений V₁ = 0.5 V_б/у, V₂ = 0.8 V_б/у, V₃= V_б/у, V₄ = 1.5 V_б/у, V₅ = 2 V_б/у, V₆ = 2.5 V_б/у (размерность V_i – шт./мес.) вычислить и построить графики зависимостей:

- C = C(V) по формуле (2);

- Р_пр = Р_пр(V) по формуле (9);

- P_v = P_V(V) по формуле (10);

- Т₁ = Т₁(V) по формуле (11).

- Т₂ = Т₂(V) по формуле (13).

- Т₃ = Т₃(V) по формуле (14).

3. На основе графиков Т₁(V) и Т₂(V) сделать вывод о поведении точки безубыточности V_б/у за счет сделанных инвестиций.

Расчеты по работе необходимо свести в табл.1.

Т а б л и ц а 1

Пояснительная записка к лабораторным работам должна содержать:

1. Ф.И.О. студента, номер группы.

2. Название темы лабораторной работы. Номер варианта.

3. Постановка задачи. Исходные данные.

4. Описание методики решения задачи. Расчетные формулы.

5. Решение задачи. Результаты расчетов в виде таблиц и графиков.

6. Выводы и рекомендации по результатам выполненной работы.

Варианты исходных данных представлены в табл.2.

Варианты исходных данных

Т а б л и ц а 2

Лабораторная работа №2

И ЕЕ ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Цель работы:построение математической модели и решение оптимизационной задачи линейного программирования.

Нередко на практике возникают задачи оптимизации какого-либо процесса по выбранному критерию. В данной работе рассматривается задача построения математической модели и её оптимизация графическим методом линейного программирования.

Постановка задачи.

Рис.1

Небольшое предприятие (рис.1) выпускает два вида изделий Е и I. Продукция обоих видов поступает в продажу. Для производства требуется два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов на складе предприятия составляют b₁и b₂ соответственно.

Расходы продуктов А и В на единицу соответствующего изделия приведены в табл.1.

Т а б л и ц а 1

Цена одной единицы изделия Е равна С_e и С_i для I.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделие I никогда не превышает спроса на изделие Е более чем на b₃. Кроме того, установлено, что спрос на изделие I никогда не превышает b₄.

Каков должен быть объем производства каждого вида изделия в сутки, чтобы доход от реализации был максимальным?

Варианты исходных данных

Т а б л и ц а 3

Лабораторная работа №3

НА КОНКУРЕНТНОМ РЫНКЕ

Цель работы: изучение математических моделей и методов оптимизации стратегий продаж товара при известной кривой спроса. Закрепление теоретического материала оптимизации цены и количества продукции.

Теоретические положения.

В связи с переходом к рыночным отношениям в экономике, процесс назначения цены на произведенную продукцию и математическое моделирование этого процесса стало еще более актуальной проблемой, чем это было при централизованном планировании народного хозяйства. Возникла необходимость исследования реального процесса ценообразования, его моделирования и изучения моделей.

Обычно при назначении цены вычисляют производственные, транспортные и прочие затраты на данное изделие. К этим затратам делается некоторая надбавка, которая определяет прибыль, т.е. цена в основном определяется издержками на изделие. Но этот способ определяет только наименьшее значение цены, ниже которой производство этого изделия становится убыточным. Такая теоретическая или затратная цена может значительно отличаться от реальной или рыночной цены. Здесь прежде всего не учитывается один из самых главных факторов: найдутся ли покупатели на это изделие по назначенной цене, т.е. имеется ли спрос на данный товар по такой цене.

Таким образом, при назначении цены продукции нельзя ограничиваться только расчетом издержек, а необходимо провести маркетинговое исследование рынка. Изучение возможностей рынка – это адаптивный процесс. Приемлемое значение цены удается установить только путем пробного маркетинга, наблюдения за процессом торговли и принятия решения по ситуации.

Рыночная цена изделия, вообще говоря, не зависит от затрат на его производство, а определяется наличием покупателей, причем число потенциальных покупателей будет зависеть от назначенной цены на продукцию. Зависимость числа покупателей, следовательно, и количества потенциально реализуемых изделий Q от назначенной цены C _d называется кривой спроса (demand). Кривая спроса записывается в виде функции C _d = C _d (Q) и является, обычно, убывающей функцией и в дальнейшем предполагается, что она существует, единственная и монотонно убывающая положительная функция. Таким образом, ввиду монотонности, каждому значению Q>0 соответствует единственное значение C _d >0 и, наоборот, значению C _d из интервала C _а >C _d >0 соответствует единственное значение Q> 0. Здесь величина C _а - максимальная цена из множества всех цен, по которым товар в регионе может быть реализован. Это означает, что только при C _d < C _а найдется хотя бы один покупатель на товар. Здесь исключается абсолютно неэластичный спрос (кривая спроса вида Q=сonst).

Зависимость затрат (себестоимости) на производство единицы изделия от количества произведенной продукции назовем кривой издержек (expenses) и обозначим C _е = C _е (Q). Эту функцию будем считать заданной. В дальнейших выкладках и расчетах налоги не учитываются.

Переменная величина Q входит в выражения для кривых спроса и издержек. В этих зависимостях Q, вообще говоря, обозначает разные величины. В кривой спроса – это количество потенциально реализуемой продукции по соответствующей цене, а в кривой издержек – количество произведенной продукции. Будем предполагать, что процессы производства и реализации идут непрерывно, а произведенная за некоторый промежуток времени продукция полностью реализуется за этот же промежуток времени (т.е. производится столько товаров, сколько может быть реализовано по назначенной цене – это так называемое идеальное производство).

Рассмотрим варианты определения оптимальной цены, когда кривая спроса и кривая издержек известны априори. В данной работе рассматриваются две самостоятельные задачи.

Задача 1. Оптимизация цены и размера партии товара

Порядок выполнения работы.

1. В соответствии с формулами (2), (3) построить совмещенный график спроса и удельных издержек (себестоимости). Определить две точки безубыточности, определяющие объем производства продукции и объем продаж.

2. Получить решение задачи 1 аналитическим и численным методами. Полученную оптимальную точку нанести на совмещенный график спроса – себестоимости.

3. Получить решение задачи 2 аналитическим и численным методами.

4. Сделать выводы и рекомендации по оптимизации объема производства и стратегии сбыта продукции.

Задание для самостоятельной работы.

Получить формулу для расчета оптимальных размеров Q_i (i=1,2,3,…,n) для общего случая деления партии товара на n - частей:

Варианты исходных данных

Т а б л и ц а 2

Лабораторная работа № 4

Теоретические положения.

1. Значения факторов в имитационном эксперименте. Планирование эксперимента – это процедура выбора количества и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи получения регрессионной модели системы с требуемой точностью. Для дальнейшего изложения методики получения РМ сложных систем, воспользуемся моделью «черного ящика» (ЧЯ), с которым мы и будем проводить имитационные эксперименты.

		Стрелки изображают численные характеристики целей исследования. Их называют параметрами оптимизации или выходами «черного ящика».

Рис. 1

Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение системы. Все способы таких воздействий обозначим Эти входные воздействия x_j называются факторами или входами «черного ящика».

Задача планирования эксперимента возникает в связи с необходимостью построения имитационной или регрессионной модели (РМ) исследуемой системы. Под РМ понимается уравнение, связывающее параметр оптимизации с входными факторами системы. В общем виде это уравнение можно записать так:

(1)

Функция φ называется функцией отклика системы.

Каждый фактор x_j может принимать в опыте одно или несколько значений. Такие значения будем называть уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний системы («черного ящика»). Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов.

Пусть на предварительных этапах исследования установлена область изменения факторов x_j:

(2)

и координаты нулевого (основного) уровня

(3)

которые должны лежать внутри области изменения (или определения) факторов. Построение плана имитационного эксперимента сводится к выбору экспериментальных значений факторов x_j, симметричных относительно центра эксперимента x_{j 0} (основного уровня). Для каждого фактора выберем два уровня (верхний и нижний), которые он будет принимать в эксперименте. Для этого зададимся интервалом варьирования факторов.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных введем нормированные значения факторов так, чтобы верхний уровень соответствовал значению +1, нижний –1, а основной имел нулевое значение (см. рис.2), т.е.:

(4)

где – нормированное значение фактора; – натуральное значение фактора; – натуральное значение основного уровня; – интервал варьирования фактора; j – номер фактора ().

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается +1, а другой –1.

На выбор величины интервалов варьирования накладываются естественные ограничения. интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует значение фактора. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровень фактора оказались за пределами области определения.

Если интервал варьирования выбирать достаточно малым и считать, что каждый фактор принимает только два значения, соответствующих верхнему и нижнему уровню:

(5)

то методика решения поставленной задачи построения РМ значительно упрощается. Но при этом возможно сильное увеличение размерности задачи.

При решении задачи оптимизации для первой серии экспериментов стремятся выбрать такую подобласть, которая давала бы возможность пошагового движения к оптимуму. В задачах же интерполяции интервал варьирования охватывает всю область определения фактора.

Таким образом, вся область определения факторов разбивается на ряд интервалов. Полученные для каждого интервала решения (уравнения регрессии) «сшиваются» между собой за счет приравнивания граничных условий в местах стыковки соседних интервалов.

2. Полный факторный эксперимент. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов.

Если число значений каждого фактора равно двум (x_j= ±1), то мы имеем ПФЭ типа . Тогда, число опытов N, необходимое для реализациивсех возможных сочетаний значений k – факторов, определяется по формуле

В табл.1 представлена матрица планирования ПФЭ для двух факторов.

Номер опыта y   +1 –1 +1 –1 +1 –1 +1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8

Условия опыта	Результаты опыта
Номер опыта			y
	+1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1	y 1 y 2 y 3 y 4

Для построения матриц планирования ПФЭ с большим числом факторов, чтобы запланировать все возможные реализации факторов, можно использовать правило чередования знаков. Для первого фактора знаки меняются поочередно. Для второго они чередуются через два, для третьего – через четыре, для четвертого – через восемь и т.д. по степеням двойки. Как это выглядит для ПФЭ типа показано в табл.2.

3. Полный факторный эксперимент и уравнение регрессии. Применение методики ПФЭ позволяет достаточно просто и эффективно количественно оценить все линейные эффекты факторов и их взаимодействия («перекрестные связи»). взаимодействие возникает в том случае, если эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Вначале рассмотрим методику получения линейной РМ.

Линейная регрессионная модель. Уравнение регрессии – это формула статистической связи между зависимыми и независимыми переменными. Если это уравнение линейное, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией, зависимость от нескольких переменных – множественной регрессией.

Установление формы связи (6) начинают, как правило, с рассмотрения линейной регрессии вида

. (6)

Целью исследования является определение неизвестных коэффициентов линейной модели (6) по результатам эксперимента.

Используя метод наименьших квадратов (МНК) с учетом свойств ПФЭ типа 2 ^k для линейной РМ получим простую формулу

(7)

где индекс относится к фиктивному фактору который во всех опытах принимает значение +1, т.е. и вводится для удобства пользования формулой (7).

Пример. подсчитаем коэффициенты для линейной двухфакторной РМ

.

Для этого воспользуемся значениями из таблицы 1 для ПФЭ типа 2². По формуле (7) получим:

Коэффициент есть среднее арифметическое значение параметра оптимизации, а коэффициенты указывают на силу влияния факторов x_j.

Нелинейная регрессионная модель. Если при проверке гипотезы о линейности РМ устанавливается, что статистический материал (или результат ПФЭ) не может быть описан линейным уравнением, то переходят к поиску нелинейной модели. Пользуясь результатами ПФЭ можно достаточно просто построить нелинейную модель, включающую эффекты взаимодействия («перекрестные связи») факторов: парные (), тройные () и т.д. К сожалению, для других видов нелинейностей простой способ построения РМ на основе матрицы ПФЭ типа 2 ^k не проходит и следует использовать другие более сложные методы, основанные на использовании нелинейного регрессионного анализа.

Максимальное число всех возможных эффектов (всех членов уравнения регрессии, включая ), линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, можно определить по формуле числа сочетаний

где k – число факторов, m – число элементов во взаимодействии, N – количество опытов в эксперименте (число строк в матрице планирования ПФЭ).

Для определения коэффициентов в модели при парных взаимодействиях надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. Для вычисления коэффициента при соответствующем эффекте взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора.

В табл. 3 представлена матрица планирования ПФЭ типа 2 ² с учетом перекрестных связей между факторами.

Т а б л и ц а 3

Номер опыта					y
	+1 +1 +1 +1	+1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1	+ 1 –1 –1 +1	y 1 y 2 y 3 y 4

Полная нелинейная РМ в данном случае имеет следующий вид:

(8)

Коэффициент вычисляется по правилу формулы (7) с помощью таблицы 3:

(9)

Для определения коэффициентов в РМ при тройных взаимодействиях и взаимодействиях более высокого порядка поступают аналогично.

Практическая часть.

Для ПФЭ типа 2 ³ (т.е. k =3) в табл. 4 заданы результаты эксперимента .

Требуется:

1) Записать матрицу планирования ПФЭ типа 2 ³ с учетом перекрестных связей между факторами.

2) По результатам ПФЭ составить линейную имитационную модель исследуемой системы .

3) По результатам ПФЭ составить полную нелинейную имитационную модель исследуемой системы .

4) Рассчитать значения функции y по линейной и нелинейной модели и сравнить их с результатами эксперимента.

5) Сделать выводы о степени точности полученных моделей.

Варианты исходных данных

Т а б л и ц а 4

1234Следующая ⇒ Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: Результаты эксперимента                     y 1     -2   -5     -1     y 2   -4     -2 -7     -3   y3   -8 -7 -6 -7         -5 y 4             -3     -2 ©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.