Б. Численное решение задачи.

Для численного решения задачи определения оптимальной цены и партии изделий требуется построить график зависимости прибыли S от размера партии Q по формуле (1).

Оптимальные значения количества изделий Q _m и цены C _m соответствуют точке максимума на графике прибыли S(Q).

Задача 2. Оптимальная стратегия продажи заданной партии товара

Рыночная практика показывает, что крупную партию товара обычно продают по частям, начиная с высокой цены и постепенно снижая цену по мере насыщения рынка и уменьшения спроса. Т.е. в отличие от первой задачи цена является величиной переменной.

В этой задаче считается заданным размер партии товара Q_п = Q _m, который необходимо продать так, чтобы получить максимальную прибыль. Функции спроса (2) и удельных издержек (3) остаются неизменными из задачи 1.

Вначале для простоты всю партию товара Q_п разделим надве части Q₁ и Q₂ (рис.1):

Q_п = Q₁ + Q₂ , (7)

которые продаются в два приема по ценам C₁ и C₂ . Требуется определить оптимальные размеры частей Q₁ и Q₂ и их цены C₁ и C₂ , обеспечивающие максимальный размер получаемой в результате продажи суммарной прибыли S. Задачу требуется решить аналитическим и численным методами.

Рис.1

А. Аналитическое решение задачи.

В данной задаче общая прибыль S складывается из прибылей S₁ и S₂ , полученных от продажи двух частей партии товара. При расчетах будем считать, что удельные затраты C _{e п} зависят только от размера партии товара Q_п и не зависят от размера частей партии.

S = S₁(Q₁ , C₁)+ S₂ (Q₂ , C₂ ) =

= Q₁ C₁ + (Q_п – Q₁ ) C₂ – C _{e п} Q_п =.. (далее записать самостоятельно). (8)

Б. Численное решение задачи.

Для численного решения поставленной задачи требуется построить график зависимости прибыли S от размера части партии Q₁ по формуле (8). Для этого необходимо заполнить табл.1, в которой следует изменять значение Q₁ от 0 до Q_п. Из графика и таблицы 1 определить Q₁, Q₂, C₁ и C₂, обеспечивающие максимум прибыли S.

Т а б л и ц а 1

Q_п =...; C _{е п}=...; C₂ =...

Порядок выполнения работы.

1. В соответствии с формулами (2), (3) построить совмещенный график спроса и удельных издержек (себестоимости). Определить две точки безубыточности, определяющие объем производства продукции и объем продаж.

2. Получить решение задачи 1 аналитическим и численным методами. Полученную оптимальную точку нанести на совмещенный график спроса – себестоимости.

3. Получить решение задачи 2 аналитическим и численным методами.

4. Сделать выводы и рекомендации по оптимизации объема производства и стратегии сбыта продукции.

Задание для самостоятельной работы.

Получить формулу для расчета оптимальных размеров Q_i (i=1,2,3,…,n) для общего случая деления партии товара на n - частей:

Варианты исходных данных

Т а б л и ц а 2

Лабораторная работа № 4

ПОСТРОЕНИЕ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ

ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Цель работы: Изучение способа построения имитационной модели сложной системы по результатам полного факторного эксперимента. Анализ точности полученных моделей.

Теоретические положения.

1. Значения факторов в имитационном эксперименте. Планирование эксперимента – это процедура выбора количества и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи получения регрессионной модели системы с требуемой точностью. Для дальнейшего изложения методики получения РМ сложных систем, воспользуемся моделью «черного ящика» (ЧЯ), с которым мы и будем проводить имитационные эксперименты.

		Стрелки изображают численные характеристики целей исследования. Их называют параметрами оптимизации или выходами «черного ящика».

Рис. 1

Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение системы. Все способы таких воздействий обозначим Эти входные воздействия x_j называются факторами или входами «черного ящика».

Задача планирования эксперимента возникает в связи с необходимостью построения имитационной или регрессионной модели (РМ) исследуемой системы. Под РМ понимается уравнение, связывающее параметр оптимизации с входными факторами системы. В общем виде это уравнение можно записать так:

(1)

Функция φ называется функцией отклика системы.

Каждый фактор x_j может принимать в опыте одно или несколько значений. Такие значения будем называть уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний системы («черного ящика»). Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов.

Пусть на предварительных этапах исследования установлена область изменения факторов x_j:

(2)

и координаты нулевого (основного) уровня

(3)

которые должны лежать внутри области изменения (или определения) факторов. Построение плана имитационного эксперимента сводится к выбору экспериментальных значений факторов x_j, симметричных относительно центра эксперимента x_{j 0} (основного уровня). Для каждого фактора выберем два уровня (верхний и нижний), которые он будет принимать в эксперименте. Для этого зададимся интервалом варьирования факторов.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных введем нормированные значения факторов так, чтобы верхний уровень соответствовал значению +1, нижний –1, а основной имел нулевое значение (см. рис.2), т.е.:

(4)

где – нормированное значение фактора; – натуральное значение фактора; – натуральное значение основного уровня; – интервал варьирования фактора; j – номер фактора ().

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается +1, а другой –1.

На выбор величины интервалов варьирования накладываются естественные ограничения. интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует значение фактора. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровень фактора оказались за пределами области определения.

Если интервал варьирования выбирать достаточно малым и считать, что каждый фактор принимает только два значения, соответствующих верхнему и нижнему уровню:

(5)

то методика решения поставленной задачи построения РМ значительно упрощается. Но при этом возможно сильное увеличение размерности задачи.

При решении задачи оптимизации для первой серии экспериментов стремятся выбрать такую подобласть, которая давала бы возможность пошагового движения к оптимуму. В задачах же интерполяции интервал варьирования охватывает всю область определения фактора.

Таким образом, вся область определения факторов разбивается на ряд интервалов. Полученные для каждого интервала решения (уравнения регрессии) «сшиваются» между собой за счет приравнивания граничных условий в местах стыковки соседних интервалов.

2. Полный факторный эксперимент. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов.

Если число значений каждого фактора равно двум (x_j= ±1), то мы имеем ПФЭ типа . Тогда, число опытов N, необходимое для реализациивсех возможных сочетаний значений k – факторов, определяется по формуле

В табл.1 представлена матрица планирования ПФЭ для двух факторов.

Номер опыта y   +1 –1 +1 –1 +1 –1 +1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8

Условия опыта	Результаты опыта
Номер опыта			y
	+1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1	y 1 y 2 y 3 y 4

Для построения матриц планирования ПФЭ с большим числом факторов, чтобы запланировать все возможные реализации факторов, можно использовать правило чередования знаков. Для первого фактора знаки меняются поочередно. Для второго они чередуются через два, для третьего – через четыре, для четвертого – через восемь и т.д. по степеням двойки. Как это выглядит для ПФЭ типа показано в табл.2.

3. Полный факторный эксперимент и уравнение регрессии. Применение методики ПФЭ позволяет достаточно просто и эффективно количественно оценить все линейные эффекты факторов и их взаимодействия («перекрестные связи»). взаимодействие возникает в том случае, если эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Вначале рассмотрим методику получения линейной РМ.

Линейная регрессионная модель. Уравнение регрессии – это формула статистической связи между зависимыми и независимыми переменными. Если это уравнение линейное, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией, зависимость от нескольких переменных – множественной регрессией.

Установление формы связи (6) начинают, как правило, с рассмотрения линейной регрессии вида

. (6)

Целью исследования является определение неизвестных коэффициентов линейной модели (6) по результатам эксперимента.

Используя метод наименьших квадратов (МНК) с учетом свойств ПФЭ типа 2 ^k для линейной РМ получим простую формулу

(7)

где индекс относится к фиктивному фактору который во всех опытах принимает значение +1, т.е. и вводится для удобства пользования формулой (7).

Пример. подсчитаем коэффициенты для линейной двухфакторной РМ

.

Для этого воспользуемся значениями из таблицы 1 для ПФЭ типа 2². По формуле (7) получим:

Коэффициент есть среднее арифметическое значение параметра оптимизации, а коэффициенты указывают на силу влияния факторов x_j.

Нелинейная регрессионная модель. Если при проверке гипотезы о линейности РМ устанавливается, что статистический материал (или результат ПФЭ) не может быть описан линейным уравнением, то переходят к поиску нелинейной модели. Пользуясь результатами ПФЭ можно достаточно просто построить нелинейную модель, включающую эффекты взаимодействия («перекрестные связи») факторов: парные (), тройные () и т.д. К сожалению, для других видов нелинейностей простой способ построения РМ на основе матрицы ПФЭ типа 2 ^k не проходит и следует использовать другие более сложные методы, основанные на использовании нелинейного регрессионного анализа.

Максимальное число всех возможных эффектов (всех членов уравнения регрессии, включая ), линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, можно определить по формуле числа сочетаний

где k – число факторов, m – число элементов во взаимодействии, N – количество опытов в эксперименте (число строк в матрице планирования ПФЭ).

Для определения коэффициентов в модели при парных взаимодействиях надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. Для вычисления коэффициента при соответствующем эффекте взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора.

В табл. 3 представлена матрица планирования ПФЭ типа 2 ² с учетом перекрестных связей между факторами.

Т а б л и ц а 3

Номер опыта					y
	+1 +1 +1 +1	+1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1	+ 1 –1 –1 +1	y 1 y 2 y 3 y 4

Полная нелинейная РМ в данном случае имеет следующий вид:

(8)

Коэффициент вычисляется по правилу формулы (7) с помощью таблицы 3:

(9)

Для определения коэффициентов в РМ при тройных взаимодействиях и взаимодействиях более высокого порядка поступают аналогично.

Практическая часть.

Для ПФЭ типа 2 ³ (т.е. k =3) в табл. 4 заданы результаты эксперимента .

Требуется:

1) Записать матрицу планирования ПФЭ типа 2 ³ с учетом перекрестных связей между факторами.

2) По результатам ПФЭ составить линейную имитационную модель исследуемой системы .

3) По результатам ПФЭ составить полную нелинейную имитационную модель исследуемой системы .

4) Рассчитать значения функции y по линейной и нелинейной модели и сравнить их с результатами эксперимента.

5) Сделать выводы о степени точности полученных моделей.

Варианты исходных данных

Т а б л и ц а 4

Лабораторная работа № 35

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: