Матрица, виды матриц. Определитель матрицы.

Справочный материал

§ Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов.

-элемент матрицы, расположенный на пересечении строки и столбца.

Если , то матрица называется квадратной.

Элементы квадратной матрицы, где , образуют главную диагональ.

Квадратная матрица у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали – нули, а среди элементов, лежащих на главной диагонали, есть ненулевые, называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы, называется единичной матрицей.

Матрица все элементы которой нули называется нулевой.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е.

§ Суммой матриц размера называется матрица размера , определяемая формулами

§ Произведением матрицы размера , на число называется матрица размера , определяемая формулами

§ Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , определяемая формулами: ,

§ Матрица называется транспонированной матрицей по отношению к матрице , если столбцы матрицы являются строками матрицы , занумерованными в том же порядке.

§ Элементарные преобразования матриц:

– перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

– умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

– прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

§ Определители.

Квадратной матрице порядка n можно сопоставить число или , называемое определителем, следующим образом:

1. n =1.

2. n =2.

Схема вычисления определителя 2-го порядка:

3. n =3.

Вычисление определителя 3-го порядка иллюстрируется схемой:

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

§ Матрица называется обратной к матрице , если выполняется условие:

Где - единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

А * - матрица, союзная матрице А.

Где есть алгебраическое дополнение. есть минор - определитель полученный из исходного определителя путем вычеркивания i строки и j столбца.

Примеры

1. Найти определитель матрицы 2А, если .

Решение. .

Определитель найдем по правилу треугольников.

2. Дана матрица В = . Найти В

Решение.

Найдем матрицу , обратную для матрицы В по формуле: , где - определитель матрицы В, В * - матрица, союзная матрице В.

По правилу треугольников вычислим определитель матрицы В.

Обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы В.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим В * по формуле:

.

.

= .

Проверим правильность составленной обратной матрицы .

Умножим на В:

=

=

(получили единичную матрицу, значит, обратная матрица найдена правильно).

3.Найти , если , , .

Решение.

Найдем сумму произведений соответствующих элементов строк матрицы А и столбцов матрицы В.

= .

Отнимем элементы, стоящие на одинаковых местах.

Поменяем местами строки и столбцы полученной матрицы .

.

= + = .

Ответ. .

4. Завод производит швейные машины. Каждая машина может находиться в одном из двух состояний: 1) работает хорошо; 2) требует регулировки. В момент изготовления р % машин работают хорошо, (1- р)% требуют регулировки. Статистические исследования показали, что из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 70% будут работать хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 60% будут работать хорошо, 40% потребуют регулировки. Каковы доли машин, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через месяц после их изготовления?

р= 80%

Решение.

р= 80%; 0,8 – доля машин, которые работают хорошо в момент изготовления;

1-0,8 =0,2 – доля машин, которые требуют регулировки в момент изготовления;

Имеем: .

Из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 0,7(доля) будут работать хорошо, а 0,3 (доля) потребуют регулировки.

Из тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 0,6 (доля) будут работать хорошо, 0,4 (доля) потребуют регулировки.

Имеем:

.

.

0,68 – доля машин, которые будут работать хорошо через месяц;

0,32 – доля машин, которые потребуют регулировки через месяц.

Задания для самостоятельного решения

№1. По заданной матрице вычислить , и обратную матрицу , если она существует.Выполнить проверку правильности вычисления обратной матрицы.

№2. Вычислить определители.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

№3. Вычислить определители матриц

1) ; 2) .

№4. Придумать матрицу четвертого порядка, отличную от диагональной, убедиться, что det A ¹ 0. Найти А^-1, проверить, что А^-1. А = А ^. А^-1 = Е.

№5. Вычислить , где .

№6.Найти матрицу , обратную к матрице , если .

№7. Решить матричное уравнение.

1) ;

2) ;

№8. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го вида на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа, записанное матрицей . Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.

, .

Ответы.

№2.1) -7; 2) -36; 3) -5; 4) 204; 5) 0;

№3.1) -3; 2) -1.

№5.

№6.

№7. 2)

№8.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: