Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса.





Справочный материал

§ Система линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных:

где - коэффициенты системы,

§ Матричная форма записи: где

- основная матрица системы.

- вектор- столбец неизвестных.

- вектор-столбец свободных членов.

- расширенная матрица системы.

§ Упорядоченная совокупность чисел называется решением системы, если она обращает все ее уравнения в тождества.

§ Система совместна, если она имеет хотя бы одно решение и несовместна, если она не имеет ни одного решения.

§ Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

§ Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

§ Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, порожденного данной матрицей.

§ Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Примеры

3.Решите систему линейных уравнений:

1) методом Крамера;

2) матричным методом.

 

Решение.

1) Составим определители .

- расширенная матрица системы.

Вычислим определители по правилу треугольников.

 

Заменим первый столбец на столбец свободных членов:

 

Заменим второй столбец на столбец свободных членов:

 

Заменим третий столбец на столбец свободных членов:

По формулам Крамера:

; ; .

; .

(2; -1; -3) – решение системы.

2) Составим матричное уравнение: , где



.

Умножим матричное уравнение на слева: ;

 

Т.к. - единичная матрица, то

;

- решение матричного уравнения.

Вычислим по формуле: , где - определитель матрицы А,

А* - матрица, союзная матрице А.

 

Обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим А* по формуле:

.

 

.

= .

Проверим правильность составленной обратной матрицы .

Умножим на А:

 

=

=

 

 

= =

 

Т.е.

(2; -1; -3)

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Составим расширенную матрицу системы:

Поменяем местами 1 и 2 строки

Первую строку: умножим на -2 и сложим со второй; умножим на -1 и сложим с третьей строкой:

Сложим вторую строку с третьей (третью нулевую строку отбросим)

 

Перешли к системе содержащей 2 уравнения и 4 переменные.

Выберем свободные переменные .

Составим уравнение по второй строке:

Составим уравнение по первой строке:

x1+2(

x1= =

( ) - общее решение.

Задания для самостоятельного решения

1)Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей .

Задания для самопроверки

1.Дана матрица .Тогда элемент матрицы В=А2 равен…

1) 3; 2) -9; 3) 9; 4)2.

 

2. Матрица не имеет обратной при k равном …

1) 3; 2) 4; 3) -4; 4) 2.

 

3.Дана матрица , тогда сумма равна …

1) 1; 2) 7; 3) -2; 4) -7.

 

4. Если определитель квадратной матрицы А третьего порядка равен -2, то определитель обратной матрицы А-1 равен…

 

5.Укажите соответствие между определителем матрицы и результатом его вычисления.

1) 42; 2) 36; 3) -36; 4) 0; 5) 54.

 

6. Укажите систему линейных уравнений подготовленную для обратного хода метода Гаусса.

7. Установите соответствие между и значениями определителя

а) =1; в) =-4 ; с) =2; d) = 3.

 

8.Заданы матрицы Тогда решением матричного уравнения является…

 

9.Дана система уравнений Для того, чтобы найти значение переменной У при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…

10.Для матриц А и В найдено произведение АВ, причем Тогда матрица В должна иметь…

1) 2 строки; 2) 1 строку; 3) 3 строки; 4) 4 строки.

 

11.Членами определителя второго порядка являются следующие произведения (без учета знака произведения)…

Ответы.

1. 2)
2. 2)
3. 4)
4. 3)
5. а) – 1); в) – 4); с) – 5); d) – 3)
6. 3)
7. а) – 6); в) – 4); с) – 3); d) – 1)
8. 4)
9. 3)
10. 2)
11. 3); 4)

Контрольные задания

Раздел 2.
Аналитическая геометрия.

2.2. Прямоугольная система координат. Различные способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Справочный материал

§ Расстояние между двумя точками плоскости:

§ Если точка делит отрезок АВ в соотношении l/m, то ее координаты:

§ Координаты середины отрезка:

§ Уравнения прямой на плоскости.

Общее уравнение: , – нормальный вектор прямой.

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках: , где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки :


Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку : .

§ Расстояние от точки с координатами до прямой (заданной уравнением ):

§ Взаимное расположение двух прямых ( и ):

Прямые пересекаются, если .

Прямые параллельны, если

Прямые совпадают, если

§ Угол между прямыми:

Примеры

1.Даны точка А и прямая L на плоскости. Найти:

1) уравнение перпендикуляра к прямой L, проходящего через точку А,

2) проекцию точки А на прямую L,

3) расстояние от точки А до прямой L,

4) точку, симметричную точку А относительно прямой L.

Решение.

– угловой коэффициент прямой L

1) АС – искомая прямая. АСL .

По формуле уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку: – координаты т. А.

или –уравнение АС.

2) Проекция т.А на прямую L – основание перпендикуляра АС.

С – точка пересечения прямых АС и L. Ее координаты найдем из условия:

Первое уравнение умножим на -4, второе - на 3 и сложим их:

Из первого уравнения: .

С(1; 2) - проекция т. А на прямую L.

3) Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, т.е. длина отрезка АС

=

4) В – точка, симметричная точке А относительно L.

В лежит на прямой, перпендикулярной L, т.е. на прямой АС, причем С – середина АВ

В(-2; -2) - точка, симметричная точке А относительно L.

2.Даны три точки . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнение прямой ; 3) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой ; 4) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ; 5) угол между прямыми и ; 6) площадь треугольника, образованного осями координат и прямой ; 7) расстояние от точки до прямой .

 

 

Решение.

.

1) .

 

2) уравнение прямой :

 

; ; 16(y-4)=-5(x+4)

3) Т.к. прямая (А3С) перпендикулярна , то их угловые коэффициенты обратны и противоположны, т.е. .

Уравнение прямой :

.

 

4) Т.к. прямая (А3L) параллельна , то их угловые коэффициенты равны, т.е . Уравнение прямой А3L: ; ; .

5) - уравнение прямой

;

y=-x+11 - ( )

- угловой коэффициент прямой

;

6) Найдем точки пересечения прямой ( ) скоординатными осями.

С Ох: у=0; ; ; ( длина ОВ)

С Оу: х=0; ; ( длина ОА)

7) d - расстояние от т.А3 до прямой ( )

.

 

Кривые второго порядка.

Справочный материал

 

§ Кривыми второго порядка называют линии, уравнения которых являются уравнения второй степени с двумя переменными (уравнения вида где – действительные числа).

§ Канонические уравнения кривых второго порядка:

1) уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:

.

уравнение окружности с центром в точке координат и радиусом R:

 

2) уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями :

, а – большая полуось, b – малая полуось

уравнение эллипса с центром в точке и полуосями :

3) уравнение гиперболы с центром в начале координат и полуосями :

, а – действительная полуось, b – мнимая полуось

уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями :

4) уравнение параболы с центром в начале координат и осью симметрии Ох:

Примеры

№2. Построить кривые второго порядка:

а) ;

Решение.

Эта кривая – окружность, т.к. коэффициенты при одинаковые (они равны 1).

Для построения окружности приведем данное уравнение к каноническому виду уравнения окружности: ( в этом уравнении: ( ) – координаты центра окружности; - радиус окружности; –переменные).

Преобразуем левую часть уравнения: .

В скобках выделим полный квадрат по формуле квадрата разности:

(чтобы дополнить до формулы: прибавили и отняли число ).

.

Получили уравнение: ;

( или ).

Сопоставим с формулой : .

Для нашей окружности: - координаты центра; - радиус.

б) .

- разделили обе части на -4 и поменяли их местами

Эта кривая – парабола, ветви которой направлены в левую сторону.

Установили вид кривой - парабола, т.к. отсутствует (формула канонического уравнения такой параболы: , где - координаты вершины параболы; р – положительное число, параметр ) и определили направление ветвей по знаку «минус» перед .

Для построения параболы приведем данное уравнение к каноническому виду уравнения параболы:

Преобразуем левую часть уравнения: .

Выделим полный квадрат по формуле квадрата разности:

(чтобы дополнить до формулы: прибавили и отняли число ).

Подставим найденное выражение в уравнение:

 

и перенесем свободное слагаемое в правую часть.

 

Получили уравнение: ;

Сопоставим с формулой: .

- в правой части вынесли за скобки .

координаты вершины.

Для построения возьмем дополнительные точки:

1) Пусть , тогда ;

По формуле корней уравнения: , .

Т.к. , то .

или

- точки параболы

2) Пусть , тогда ;

Т.к. , то .

или

 

- точки параболы.

Задания для самопроверки

1. Точка В симметрична точке относительно оси ординат. Тогда расстояние равно…

2. Общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой , имеет вид…

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку перпендикулярно прямой , имеет вид…

4. Расстояние от точки до прямой равно…

5. Центр симметрии эллипса имеет координаты …

6. Координаты фокусов гиперболы равны …

Ответы.

1. 2)
2. 2)
3. 4)
4. 2)
5. 4)
6. 3)

 

Контрольные задания

1. Дан с вершинами . Найти:

1) уравнение и длину стороны АС;

2) уравнения медианы и высоты треугольника, проведенных из вершины В;

3) длину высоты треугольника, проведенной из вершины В;

4) площадь треугольника.

2. Построить кривую по заданному каноническому уравнению:

1) ;

2)

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.