Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса.

Справочный материал

§ Система линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных:

где - коэффициенты системы,

§ Матричная форма записи: где

- основная матрица системы.

- вектор- столбец неизвестных.

- вектор-столбец свободных членов.

- расширенная матрица системы.

§ Упорядоченная совокупность чисел называется решением системы, если она обращает все ее уравнения в тождества.

§ Система совместна, если она имеет хотя бы одно решение и несовместна, если она не имеет ни одного решения.

§ Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

§ Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

§ Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, порожденного данной матрицей.

§ Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Примеры

3. Решите систему линейных уравнений:

1) методом Крамера;

2) матричным методом.

Решение.

1) Составим определители .

- расширенная матрица системы.

Вычислим определители по правилу треугольников.

Заменим первый столбец на столбец свободных членов:

Заменим второй столбец на столбец свободных членов:

Заменим третий столбец на столбец свободных членов:

По формулам Крамера:

; ; .

; .

(2; -1; -3) – решение системы.

2) Составим матричное уравнение: , где

.

Умножим матричное уравнение на слева: ;

Т.к. - единичная матрица, то

;

- решение матричного уравнения.

Вычислим по формуле: , где - определитель матрицы А,

А * - матрица, союзная матрице А.

Обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим А* по формуле:

.

.

= .

Проверим правильность составленной обратной матрицы .

Умножим на А:

=

=

= =

Т.е.

(2; -1; -3)

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Составим расширенную матрицу системы:

Поменяем местами 1 и 2 строки

Первую строку: умножим на -2 и сложим со второй; умножим на -1 и сложим с третьей строкой:

Сложим вторую строку с третьей (третью нулевую строку отбросим)

Перешли к системе содержащей 2 уравнения и 4 переменные.

Выберем свободные переменные .

Составим уравнение по второй строке:

Составим уравнение по первой строке:

x₁ +2(

x₁ = =

( ) - общее решение.

Задания для самостоятельного решения

1)Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей .

Задания для самопроверки

1. Дана матрица . Тогда элемент матрицы В=А² равен…

1) 3; 2) -9; 3) 9; 4)2.

2. Матрица не имеет обратной при k равном …

1) 3; 2) 4; 3) -4; 4) 2.

3. Дана матрица , тогда сумма равна …

1) 1; 2) 7; 3) -2; 4) -7.

4. Если определитель квадратной матрицы А третьего порядка равен -2, то определитель обратной матрицы А^-1 равен…

5. Укажите соответствие между определителем матрицы и результатом его вычисления.

1) 42; 2) 36; 3) -36; 4) 0; 5) 54.

6. Укажите систему линейных уравнений подготовленную для обратного хода метода Гаусса.

7. Установите соответствие между и значениями определителя

а) =1; в) =-4; с) =2; d) = 3.

8. Заданы матрицы Тогда решением матричного уравнения является…

9. Дана система уравнений Для того, чтобы найти значение переменной У при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…

10. Для матриц А и В найдено произведение АВ, причем Тогда матрица В должна иметь…

1) 2 строки; 2) 1 строку; 3) 3 строки; 4) 4 строки.

11. Членами определителя второго порядка являются следующие произведения (без учета знака произведения)…

Ответы.

Контрольные задания

Раздел 2.
Аналитическая геометрия.

2.2. Прямоугольная система координат. Различные способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Справочный материал

§ Расстояние между двумя точками плоскости:

§ Если точка делит отрезок АВ в соотношении l/m, то ее координаты:

§ Координаты середины отрезка:

§ Уравнения прямой на плоскости.

Общее уравнение: , – нормальный вектор прямой.

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках: , где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки :

Примеры

1. Даны точка А и прямая L на плоскости. Найти:

1) уравнение перпендикуляра к прямой L, проходящего через точку А,

2) проекцию точки А на прямую L,

3) расстояние от точки А до прямой L,

4) точку, симметричную точку А относительно прямой L.

Решение.

– угловой коэффициент прямой L

1) АС – искомая прямая. АС ┴ L.

По формуле уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку: – координаты т. А.

или –уравнение АС.

2) Проекция т. А на прямую L – основание перпендикуляра АС.

С – точка пересечения прямых АС и L. Ее координаты найдем из условия:

Первое уравнение умножим на -4, второе - на 3 и сложим их:

Из первого уравнения: .

С(1; 2) - проекция т. А на прямую L.

3) Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, т.е. длина отрезка АС

=

4) В – точка, симметричная точке А относительно L.

В лежит на прямой, перпендикулярной L, т.е. на прямой АС, причем С – середина АВ

В(-2; -2) - точка, симметричная точке А относительно L.

2. Даны три точки . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнение прямой ; 3) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой ; 4) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ; 5) угол между прямыми и ; 6) площадь треугольника, образованного осями координат и прямой ; 7) расстояние от точки до прямой .

Решение.

.

1) .

2) уравнение прямой :

; ; 16(y -4)=-5(x +4)

3) Т.к. прямая (А₃С) перпендикулярна , то их угловые коэффициенты обратны и противоположны, т.е. .

Уравнение прямой :

.

4) Т.к. прямая (А₃L) параллельна , то их угловые коэффициенты равны, т.е . Уравнение прямой А₃L: ; ; .

5) - уравнение прямой

;

y =- x +11 - ()

- угловой коэффициент прямой

;

6) Найдем точки пересечения прямой () скоординатными осями.

С Ох: у =0;; ; (длина ОВ)

С Оу: х =0;; (длина ОА)

7) d - расстояние от т. А₃ до прямой ()

.

Кривые второго порядка.

Справочный материал

§ Кривыми второго порядка называют линии, уравнения которых являются уравнения второй степени с двумя переменными (уравнения вида где – действительные числа).

§ Канонические уравнения кривых второго порядка:

1) уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:

.

уравнение окружности с центром в точке координат и радиусом R:

2) уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями :

, а – большая полуось, b – малая полуось

уравнение эллипса с центром в точке и полуосями :

3) уравнение гиперболы с центром в начале координат и полуосями :

, а – действительная полуось, b – мнимая полуось

уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями :

4) уравнение параболы с центром в начале координат и осью симметрии Ох:

Примеры

№2. Построить кривые второго порядка:

а) ;

Решение.

Эта кривая – окружность, т.к. коэффициенты при одинаковые (они равны 1).

Для построения окружности приведем данное уравнение к каноническому виду уравнения окружности: (в этом уравнении: () – координаты центра окружности; - радиус окружности; –переменные).

Преобразуем левую часть уравнения: .

В скобках выделим полный квадрат по формуле квадрата разности:

(чтобы дополнить до формулы: прибавили и отняли число ).

.

Получили уравнение: ;

(или ).

Сопоставим с формулой: .

Для нашей окружности: - координаты центра; - радиус.

б) .

- разделили обе части на -4 и поменяли их местами

Эта кривая – парабола, ветви которой направлены в левую сторону.

Установили вид кривой - парабола, т.к. отсутствует (формула канонического уравнения такой параболы: , где - координаты вершины параболы; р – положительное число, параметр) и определили направление ветвей по знаку «минус» перед .

Для построения параболы приведем данное уравнение к каноническому виду уравнения параболы:

Преобразуем левую часть уравнения: .

Выделим полный квадрат по формуле квадрата разности:

(чтобы дополнить до формулы: прибавили и отняли число ).

Подставим найденное выражение в уравнение:

и перенесем свободное слагаемое в правую часть.

Получили уравнение: ;

Сопоставим с формулой: .

- в правой части вынесли за скобки .

координаты вершины.

Для построения возьмем дополнительные точки:

1) Пусть , тогда ;

По формуле корней уравнения: , .

Т.к. , то .

или

- точки параболы

2) Пусть , тогда ;

Т.к. , то .

или

- точки параболы.

Задания для самопроверки

1. Точка В симметрична точке относительно оси ординат. Тогда расстояние равно…

2. Общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой , имеет вид…

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку перпендикулярно прямой , имеет вид…

4. Расстояние от точки до прямой равно…

5. Центр симметрии эллипса имеет координаты …

6. Координаты фокусов гиперболы равны …

Ответы.

Контрольные задания

1. Дан с вершинами . Найти:

1) уравнение и длину стороны АС;

2) уравнения медианы и высоты треугольника, проведенных из вершины В;

3) длину высоты треугольника, проведенной из вершины В;

4) площадь треугольника.

2. Построить кривую по заданному каноническому уравнению:

1) ;

2)

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: