Линейная алгебра и аналитическая геометрия

ВВЕДЕНИЕ

«Значением математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Все это расширяет сферу ее приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении». В этих словах академика А.Д. Александрова ярко выражена мысль о значимости математики, о ее проникновении в другие науки.

Темпы развития промышленного производства и сельского хозяйства предъявляют ряд требований к выпускнику вуза, среди которых наличие базы фундаментальных знаний и умений, обеспечивающих более сложное, чем прежде, содержание труда и расширение функций специалиста. Исследование ряда процессов в промышленной технологии связано с разработкой соответствующих математических моделей, для успешного исследования которых будущий специалист должен получить достаточно серьёзную математическую подготовку. Цели дисциплины «Математика»:привить студентам навыки математического мышления, воспитать в них математическую культуру, достаточную для использования математических методов и средств в дальнейшей практической деятельности.

Дисциплина «Математика» обеспечивает выполнение следующих образовательных задач:

- знакомство с разделами математики, необходимыми для анализа и моделирования профессиональных задач;

- овладение прикладными расчетными приемами при вычислениях;

- выбор и простейшая обработка объема информации при решений математических задач;

- изучение основных разделов высшей математики для формирования навыков применения математических методов в рамках своей профессиональной деятельности.

- умение пользоваться справочной и специальной литературой, раскрывающей конкретную проблему.

Настоящее пособие соответствует государственному образовательному стандарту (ФГОС ВПО в редакции от 22.12.2009 г.), программе дисциплины "Математика" для студентов специальности 221700 «Стандартизация и метрология» и представляет справочное изложение теоретического материала, проиллюстрированное многочисленными примерами, в том числе и прикладной направленности.

Изложение материала ведется на доступном, но достаточно строгом, языке. В конце каждого параграфа предложены задания для самопроверки и контрольные задания.

Дополнительны теоретические сведения для более глубокого изучения учебного материала можно найти в литературе, приведенной в списке.

РАЗДЕЛ 1. СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ

ДИСЦИПЛИНЫ И РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.1. Содержание основных разделов дисциплины и требования к уровню подготовленности студентов.

Введение. Предмет математики. Краткая историческая справка о развитии математики. Цель и задачи преподавания курса. Связь математики с другими дисциплинами и ее место в общей структуре подготовки будущего специалиста.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Матрица и определитель. Виды матриц, действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. Системы линейных уравнений, их виды. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Исследование систем однородных и неоднородных уравнений. Прямоугольная система координат; различные способы задания прямой на плоскости; взаимное расположение прямых на плоскости; кривые второго порядка.

Основные понятия: матрица, виды матриц, определители второго и третьего порядков; система уравнений: однородная и неоднородная, совместная и несовместная, определенная и неопределенная; нормальный и направляющий векторы прямой; эллипс, гипербола, парабола.

Требования к уровню подготовленности при изучении раздела.

Знать: правила вычисления определителей различных порядков; правила выполнения действий над матрицами и свойства действий; алгоритм нахождения обратной матрицы; основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений; определения основных понятий (уравнения прямой: с угловым коэффициентом, каноническое, общее, уравнение прямой, проходящей через две точки и уравнение прямой в отрезках); условия параллельности и перпендикулярности прямых; определения и канонические уравнения кривых второго порядка.

Уметь: вычислять определители второго и третьего порядков; выполнять сложение матриц, умножение матрицы на число, умножать матрицы, вычислять матрицу, обратную данной; применять метод Гаусса и формулы Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений; строить прямую по заданному уравнению исоставлять уравнения прямых по заданным условиям; находить угол между прямыми; строить кривые второго порядка по их уравнениям и составлять уравнения по заданным условиям; находить числовые характеристики кривых второго порядка (полуоси, фокусы, эксцентриситет); решать геометрические задачи, связанные с прямой и кривыми второго порядка.

Математический анализ.

Функции и пределы. Определение функции, способы задания функции, графики основных элементарных функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах, их применение, I и II замечательные пределы. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва. Исследование непрерывности функции. Понятие производной, ее механический, геометрический и биологический смысл. Определение производной, правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Дифференциал, его применение к приближенным вычислениям значений функций. Исследование функций с помощью производных: 1) монотонность и экстремумы; 2) выпуклость и точки перегиба; 3) асимптоты; построение графиков функций: Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида по правилу Лопиталя. Приложения производной. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла, таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования (табличное интегрирование, замена переменной, по частям). Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Особые свойства определенного интеграла. Интегралы с бесконечными пределами, их сходимость. Приложения определенного интеграла в геометрии, физике и в естествознании.

Основные понятия: область определения и область значений функции; - окрестность точки; предел функции в точке; бесконечно малая и бесконечно большая величина; эквивалентность бесконечно малых; математическая неопределенность; производная функции в точке и на промежутке, производные высших порядков; дифференциал функции в точке; точка экстремума и экстремум функции; точка перегиба; асимптота графика функции; первообразная функция и неопределенный интеграл, криволинейная трапеция; определенный интеграл; несобственный интеграл.

Требования к уровню подготовленности при изучении раздела.

Знать: определения основных понятий, основные теоремы о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших; основные теоремы о свойствах функций, имеющих предел; первый и второй замечательные пределы, таблицу эквивалентности; основные теоремы о свойствах функций, непрерывных в точке и на множестве; определения основных понятий; таблицу производных основных элементарных функций; правила вычисления производных и дифференциалов любых порядков; определения основных понятий; свойства определенных и неопределенных интегралов; интегралы от основных элементарных функций; необходимое условие интегрируемости функции; формулу Ньютона-Лейбница; геометрический, физический и биологический смысл определенного интеграла

Уметь: раскрывать неопределенности и другие, к ним сводящиеся; доказывать существование (отсутствие) предела функции в точке; исследовать непрерывность функции в точке; проводить классификацию точек разрыва; числять производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций; вычислять дифференциал функции; записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке; проводить исследование функции с целью построения графика;применять правило Лопиталя при вычислении пределов функций, использовать производную для решения прикладных задач; именять основные методы интегрирования для вычисления неопределенных (определенных) интегралов и исследования сходимости несобственных интегралов; вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения применять определенный интеграл для решения геометрических, физических, биологических задач.

Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Табличное интегрирование, замена переменной и интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций, простейших иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл, его геометрическое толкование, основные свойства, формула Ньютона - Лейбница. Приложения: вычисление площади фигуры, длины дуги. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от неограниченных функций.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные. Дифференцирование неявной функции. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы ФНП, необходимое и достаточное условия существования экстремума.

Числовые и функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости ряда. Функциональные ряды. Область сходимости. Ряды Фурье.

Список рекомендуемой литературы

1. Основная литература

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.

2. Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов: учеб. пособие для вузов (Под ред. Б.П. Демидовича). М.: Астрель, 2002.

3. Сечкина И.В., Приходько М.А. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2007.

2. Дополнительная литература

1. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике: тридцать шесть лекций. Ч. 1. М.: Рольф, 2001.

2. Письменный. Д. Конспект лекций по высшей математике: тридцать шесть лекций. Ч. 2. М.: Рольф, 2001.

3. Толбаева З.Х., Приходько М.А. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных: учеб. пособие для вузов. Омск: Изд-во ИВМ ОмГАУ, 2004.

Раздел 1. Линейная алгебра.

Примеры

1. Найти определитель матрицы 2А, если .

Решение. .

Определитель найдем по правилу треугольников.

2. Дана матрица В = . Найти В

Решение.

Найдем матрицу , обратную для матрицы В по формуле: , где - определитель матрицы В, В* - матрица, союзная матрице В.

По правилу треугольников вычислим определитель матрицы В.

Обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы В.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим В* по формуле:

.

.

= .

Проверим правильность составленной обратной матрицы .

Умножим на В:

=

=

(получили единичную матрицу, значит, обратная матрица найдена правильно).

3.Найти , если , , .

Решение.

Найдем сумму произведений соответствующих элементов строк матрицы А и столбцов матрицы В.

= .

Отнимем элементы, стоящие на одинаковых местах.

Поменяем местами строки и столбцы полученной матрицы .

.

= + = .

Ответ. .

4. Завод производит швейные машины. Каждая машина может находиться в одном из двух состояний: 1) работает хорошо; 2) требует регулировки. В момент изготовления р% машин работают хорошо, (1-р)% требуют регулировки. Статистические исследования показали, что из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 70% будут работать хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 60% будут работать хорошо, 40% потребуют регулировки. Каковы доли машин, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через месяц после их изготовления?

р=80%

Решение.

р=80%; 0,8 – доля машин, которые работают хорошо в момент изготовления;

1-0,8 =0,2 – доля машин, которые требуют регулировки в момент изготовления;

Имеем: .

Из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 0,7(доля) будут работать хорошо, а 0,3 (доля) потребуют регулировки.

Из тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 0,6 (доля) будут работать хорошо, 0,4 (доля) потребуют регулировки.

Имеем:

.

.

0,68 – доля машин, которые будут работать хорошо через месяц;

0,32 – доля машин, которые потребуют регулировки через месяц.

Задания для самостоятельного решения

№1. По заданной матрице вычислить , и обратную матрицу , если она существует.Выполнить проверку правильности вычисления обратной матрицы.

№2. Вычислить определители.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

№3. Вычислить определители матриц

1) ; 2) .

№4. Придумать матрицу четвертого порядка, отличную от диагональной, убедиться, что det A ¹ 0. Найти А^-1 , проверить, что А^-1.А = А ^. А^-1 = Е.

№5. Вычислить , где .

№6.Найти матрицу , обратную к матрице , если .

№7. Решить матричное уравнение.

1) ;

2) ;

№8. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го вида на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа, записанное матрицей . Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.

, .

Ответы.

№2.1) -7; 2) -36; 3) -5; 4) 204; 5) 0;

№3.1) -3; 2) -1.

№5.

№6.

№7. 2)

№8.

Примеры

3.Решите систему линейных уравнений:

1) методом Крамера;

2) матричным методом.

Решение.

1) Составим определители .

- расширенная матрица системы.

Вычислим определители по правилу треугольников.

Заменим первый столбец на столбец свободных членов:

Заменим второй столбец на столбец свободных членов:

Заменим третий столбец на столбец свободных членов:

По формулам Крамера:

; ; .

; .

(2; -1; -3) – решение системы.

2) Составим матричное уравнение: , где

.

Умножим матричное уравнение на слева: ;

Т.к. - единичная матрица, то

;

- решение матричного уравнения.

Вычислим по формуле: , где - определитель матрицы А,

А* - матрица, союзная матрице А.

Обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим А* по формуле:

.

.

= .

Проверим правильность составленной обратной матрицы .

Умножим на А:

=

=

= =

Т.е.

(2; -1; -3)

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Составим расширенную матрицу системы:

Поменяем местами 1 и 2 строки

Первую строку: умножим на -2 и сложим со второй; умножим на -1 и сложим с третьей строкой:

Сложим вторую строку с третьей (третью нулевую строку отбросим)

Перешли к системе содержащей 2 уравнения и 4 переменные.

Выберем свободные переменные .

Составим уравнение по второй строке:

Составим уравнение по первой строке:

x₁+2(

x₁= =

( ) - общее решение.

Задания для самостоятельного решения

1)Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей .

Задания для самопроверки

1.Дана матрица .Тогда элемент матрицы В=А² равен…

1) 3; 2) -9; 3) 9; 4)2.

2. Матрица не имеет обратной при k равном …

1) 3; 2) 4; 3) -4; 4) 2.

3.Дана матрица , тогда сумма равна …

1) 1; 2) 7; 3) -2; 4) -7.

4. Если определитель квадратной матрицы А третьего порядка равен -2, то определитель обратной матрицы А^-1 равен…

5.Укажите соответствие между определителем матрицы и результатом его вычисления.

1) 42; 2) 36; 3) -36; 4) 0; 5) 54.

6. Укажите систему линейных уравнений подготовленную для обратного хода метода Гаусса.

7. Установите соответствие между и значениями определителя

а) =1; в) =-4 ; с) =2; d) = 3.

8.Заданы матрицы Тогда решением матричного уравнения является…

9.Дана система уравнений Для того, чтобы найти значение переменной У при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…

10.Для матриц А и В найдено произведение АВ, причем Тогда матрица В должна иметь…

1) 2 строки; 2) 1 строку; 3) 3 строки; 4) 4 строки.

11.Членами определителя второго порядка являются следующие произведения (без учета знака произведения)…

Ответы.

Контрольные задания

Раздел 2.
Аналитическая геометрия.

2.2. Прямоугольная система координат. Различные способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Справочный материал

§ Расстояние между двумя точками плоскости:

§ Если точка делит отрезок АВ в соотношении l/m, то ее координаты:

§ Координаты середины отрезка:

§ Уравнения прямой на плоскости.

Общее уравнение: , – нормальный вектор прямой.

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках: , где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки :

Примеры

1.Даны точка А и прямая L на плоскости. Найти:

1) уравнение перпендикуляра к прямой L, проходящего через точку А,

2) проекцию точки А на прямую L,

3) расстояние от точки А до прямой L,

4) точку, симметричную точку А относительно прямой L.

Решение.

– угловой коэффициент прямой L

1) АС – искомая прямая. АС┴L .

По формуле уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку: – координаты т. А.

или –уравнение АС.

2) Проекция т.А на прямую L – основание перпендикуляра АС.

С – точка пересечения прямых АС и L. Ее координаты найдем из условия:

Первое уравнение умножим на -4, второе - на 3 и сложим их:

Из первого уравнения: .

С(1; 2) - проекция т. А на прямую L.

3) Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, т.е. длина отрезка АС

=

4) В – точка, симметричная точке А относительно L.

В лежит на прямой, перпендикулярной L, т.е. на прямой АС, причем С – середина АВ

В(-2; -2) - точка, симметричная точке А относительно L.

2.Даны три точки . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнение прямой ; 3) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой ; 4) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ; 5) угол между прямыми и ; 6) площадь треугольника, образованного осями координат и прямой ; 7) расстояние от точки до прямой .

Решение.

.

1) .

2) уравнение прямой :

; ; 16(y-4)=-5(x+4)

3) Т.к. прямая (А₃С) перпендикулярна , то их угловые коэффициенты обратны и противоположны, т.е. .

Уравнение прямой :

.

4) Т.к. прямая (А₃L) параллельна , то их угловые коэффициенты равны, т.е . Уравнение прямой А₃L: ; ; .

5) - уравнение прямой

;

y=-x+11 - ( )

- угловой коэффициент прямой

;

6) Найдем точки пересечения прямой ( ) скоординатными осями.

С Ох: у=0; ; ; ( длина ОВ)

С Оу: х=0; ; ( длина ОА)

7) d - расстояние от т.А₃ до прямой ( )

.

Кривые второго порядка.

Справочный материал

§ Кривыми второго порядка называют линии, уравнения которых являются уравнения второй степени с двумя переменными (уравнения вида где – действительные числа).

§ Канонические уравнения кривых второго порядка:

1) уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:

.

уравнение окружности с центром в точке координат и радиусом R:

2) уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями :

, а – большая полуось, b – малая полуось

уравнение эллипса с центром в точке и полуосями :

3) уравнение гиперболы с центром в начале координат и полуосями :

, а – действительная полуось, b – мнимая полуось

уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями :

4) уравнение параболы с центром в начале координат и осью симметрии Ох:

Примеры

№2. Построить кривые второго порядка:

а) ;

Решение.

Эта кривая – окружность, т.к. коэффициенты при одинаковые (они равны 1).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: