|
|
Раздел 3. Введение в математический анализ.Дифференциальное исчисление функции Одной независимой переменной Понятие функции одной независимой переменной, Основные элементарные функции (повторение) Справочный материал § Соответствие, сопоставляющее каждому элементу непустого множества X ( х - независимая переменная (аргумент); y – зависимая переменная (функция). § Функция § График четной функции симметричен относительно оси ординат, нечетной – относительно начала координат. § Функция § Пусть функция y=f(u) определена на множестве D, а функция
Задания для самостоятельного решения №1. Известно, что зависимость между переменными x и y имеет вид ax+by- 1=0. Найти значения параметров a и b, если известно, что точки(2; -1) и (-4; 3) лежат на графике этой зависимости. №2.Какие из соответствий являются функциями?
№3. Докажите, что точка №4.Найти значение функции при каждом из заданных значений аргумента: 1) 2) №5.Построить график функции:
№6.Найти область определения функции:
г) №7. Приведите пример функции, областью определения которой было бы следующее числовое множество: 1) №8. Постройте график функции, областью определения которой является отрезок №9. Решить графически уравнение: №10. Установить, является функция четной, нечетной, общего вида?
№11. Достроить кривую так, чтобы она являлась графиком четной (нечетной) функции. №12.Составить сложные функции f(g) и g(f), если:
№13. Сколько натуральных значений х содержит область определения функции
№14. Приведен ряд пословиц и поговорок: чем дальше в лес, тем больше дров; кашу маслом не испортишь; дальше кумы, меньше греха; выше меры конь не скачет; пересев хуже недосева; не круто начинай, круто кончай; горяч на почине, да скоро остыл. Задание. Проиллюстрировать каждое высказывание соответствующим свойством функции.
Предел функции в точке Справочный материал § Число А называется пределом функции
§ § Если § Некоторые эквивалентности: если
Примеры 1. Доказать, что Решение. По определению предела функции в точке:
(числитель разложим на множители и сократим со знаменателем) =
При 2. Найти предел функции:
Решение.
Подставив вместо х предельное значение (
Подставив предельное значение 2, вычислим значение числителя и знаменателя дроби (и числитель и знаменатель =0). Имеем неопределенность
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю дроби (сопряженные выражения имеют вид: а-в, а+в).
Подставив предельное значение
=
Задания для самостоятельного решения
№1. Доказать по определению предела, что №2. Пользуясь определениями бесконечно большой и бесконечно малой функций, теоремой о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций, вычислить пределы:
№3. Применяя формулу второго замечательного предела, вычислить предел №4. Восстановить приведенное решение. 1) Вычислить предел Решение.
2) Вычислить предел Решение. Подставим предельное значение и получим неопределённость вида …. Для того, чтобы воспользоваться формулой второго замечательного предела, представим дробь
Предел выражения, заключенного в квадратные скобки, равен …. Найдём предел показателя степени.... Т.о. №5. Найти предел функции при различных значениях
№6. Раскрыть неопределенность 1) 5)
№7. Раскрыть неопределенность 1) 4) 7)
№8. Раскрыть неопределенности и вычислить указанные пределы.
№9*. Вычислить пределы. 1) 4) Ответы. №8. 4) 0; 21) 1; 25) №9*. 1)   Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
) единственный элемент множества Y (
), называется функцией одной независимой переменной: 
.
, определенная на множестве D, называется четной, если 
выполняются условия: 
.Функция 
.
и 
.
на множестве 
, причем 
, соответствующее значение 
. Тогда на множестве D1 определена функция 
, которая называется сложной функцией от х. Переменную 
при любом положительном t принадлежит графику функции 
.
в) 
;
; 2) 
.
, а областью значений полуинтервал 
.
.
в точке 
(
), если для любого 
(которое может быть сколь угодно малым) существует такое 
, зависящее от 
, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
имеет место неравенство 
.
имеют пределы при 
, то:
.
), если 
; 
.
- бесконечно малые величины при 
, 
, то 
~ 
, то sinx ~ x; tgx ~ x; arcsinx ~ x; arctgx ~ x; 
~ x; 
~ x; 
~ 
; 
~ xlna.
.
;
, 
Это значит, что при 
функция имеет пределом число -4.
; 
.
.
), проанализируем выражение, стоящее под знаком предела. Числитель и знаменатель дроби 
, т.е. имеем неопределенность 
. Ее можно раскрыть путем перехода от бесконечно больших величин числителя и знаменателя к бесконечно малым величинам.
= 
.
.
. Ее раскроем, сократив дробь.
.
.
. Имеем неопределенность: 
.
=
.
.
.
.
.
в виде суммы, одно из слагаемых которой – 1:
.
.
при 
.
.
.
; 2) 
4) 
6) 
.
2) 
3) 
5) 
6) 
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
.
; 2) 
(Указание. Перейти к неопределенности 
); 3) 
(Указание. Подстановка t = x -1);
; 5) 
; 6) 
.
; 33) 
; 34) 7; 35)∞; 36) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 0; 5)1; 6) 
.