Предел текучести при растяжении (сжатии) после предшествующей деформации растяжения (сжатия)

Предположим, что для некоторого материала, в котором отсутствуют начальные (остаточные) напряжения и деформации, условие пластичности имеет вид [16]:

, (2.1)

где - девиатор напряжений

- пластическая постоянная, равная пределу текучести материала при чистом сдвиге.

В формуле (2.1), известной под названием условия Губера-Мизеса, предполагается суммирование по повторяющимся индексам согласно правилу Эйнштейна, так что подробная запись (2.1) такова:

(2.2)

В главных осях выражение (2.2) имеет вид:

(2.3)

Теперь допустим, что рассматриваемый материал подвергается обработке давлением в некотором процессе, так что после обработки в материале остаются пластические деформации в направлениях главных осей (предполагается, что материал пластически несжимаем, так что ).

Тогда, согласно предложению Прагера [14], вместо (2.3) можно написать:

, (2.4)

где - величина, зависящая в общем случае от инвариантов тензора пластических деформаций , каковыми служат, в частности, главные деформации , причем независимыми являются лишь две из них (в силу условия несжимаемости).

В линеаризированной форме величина может быть константой, что и принимается в дальнейшем.

Преобразуем условие (2.4) с учетом равенств:

, (2.5)

Получаем

(2.6)

Согласно определению интенсивности касательных напряжений , имеем:

(2.7)

Подставляя в (2.7) второе из равенств (2.5) находим

. (2.8)

На плоскости уравнение (2.8) изображает эллипс с полуосями

(2.9)

Этот эллипс показан на рис. 2.1.

Рис. 2.1 Геометрическая интерпретация условия 2.10

В том случае, когда (условие (2.1)), полуоси равны и , т.е. они выражаются через предел текучести при сдвиге материала, в котором нет начальных напряжений и деформаций.

Теперь рассмотрим геометрическую интерпретацию условия (2.6). Очевидно, величины и представляют собой координаты центра эллипса прежней конфигурации, смещенного в новое положение на плоскости , . Возможны различные случаи.

При имеем (рис. 2.2),

Рис. 2.2 Геометрическая интерпретация условия 2.6 ()

При имеем (рис. 2.3)

Рис. 2.3 Геометрическая интерпретация условия 2.6 ()

При имеем (рис. 2.4)

Рис. 2.4 Геометрическая интерпретация условия 2.6 ()

При имеем (рис. 2.5),

Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация условия 2.6 ()

При имеем (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Геометрическая интерпретация условия 2.6 ()

Вычислим интенсивность касательных напряжений при условии пластичности (2.6). Представляя это условие в подробной записи, находим (2.10)

Сгруппируем слагаемые в левой части формулы (2.10) следующим образом:

(2.11)

Сумма первых трех слагаемых в левой части (2.11) представляет собой согласно формуле (2.8), а выражения в круглых скобках являются инвариантами:

(2.12)

(2.13)

где - совместный инвариант девиаторов напряжений и деформаций, - интенсивность деформации сдвига.

Внося в (2.11) зависимости (2.8), (2.12), (2.13) и разрешая полученное уравнение относительно интенсивности касательных напряжений, получаем:

(2.14)

Выражение (2.14) представляет собой уравнение кривой анизотропного трансляционного упрочнения. Применим уравнение (2.14) к случаю одноосного растяжения стержня напряжениями

Разложим тензор напряжений:

(2.15)

на шаровой тензор напряжений

(2.16)

и девиатор напряжений

. (2.17)

В результате найдем

S₁ = 2 s_p/ 3, S₂ = -s_p/ 3, S₃ = -s_p/ 3. (2.18)

Ввиду условия несжимаемости шаровой тензор пластических деформаций равен нулю, так что тензор деформаций и девиатор деформаций совпадают:

. (2.19)

Следовательно:

, , . (2.20)

По формуле (2.12) вычисляем совместный инвариант девиаторов напряжений и деформаций

. (2.21)

или по формуле

По формуле (2.13) находим интенсивность деформации сдвига:

. (2.22)

Согласно формуле (2.8)

. (2.23)

Вносим (2.21) - (2.23) в (2.14) и выполняем преобразования:

откуда следует:

(2.24)

что представляет собой уравнение кривой упрочнения при одноосном растяжении (рис. 2.7).

Рис. 2.7 Уравнение кривой упрочнения при одноосном растяжении

Из опыта на одноосное растяжение определяется предельная деформация , причем

, (2.25)

где - относительное сужение при разрыве.

Диаграмма растяжения, показанная на рисунке 2.7, может быть перестроена в координатах Г,Т (рис. 2.8)

Рис. 2.8 Уравнение кривой упрочнения при одноосном растяжении в координатах Г, Т

Предельная деформация сдвига Г^* составляет (2.26)

и определяет пластичность материала. Например, для стали ОХ18Н10Т [1] =2,44…2,58 при = 75,6…77,5 %.

Отметим следующее обстоятельство. Предположим, что при испытаниях на одноосное растяжение предельная деформация оказалась равной , причем . Это означает, что в материале имелась остаточная деформация растяжения, равная: (рис. 2.9).

Рис. 2.9 Диаграмма растяжения

Соответствующий предел текучести при сдвиге согласно формуле (2.24) будет:

. (2.27)

Таким образом, предельная деформация растяжения для предварительно растянутого материала меньше, чем для материала, в котором остаточная деформация отсутствует.

Например, при волочении прутка остаточная деформация растяжения составляет:

(2.28)

Рис. 2.10. Схема операции волочения прутка

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: