Вычисление интегралов Мора способом перемножения эпюр

(Правило А. Н. Верещагина)

Применение этого способа в значительной степени упрощает вычисление интеграла Мора. Способ заключается в следующем. Строят эпюры нагибающих момен­тов от заданной нагрузки (эпюры М_п) и от единичной нагрузки (эпюру М_n).Пусть первая эпюра имеет криволинейное очертание, а вторая — прямо­линейное. Тогда интеграл Мора может быть вычислен как произведение площади ω_п эпюры криволинейного очертания (рис.6.1, а)на ординату у_п прямолинейной эпюры (рис. 6.1., б), взятую под центром, тяжести криволи­нейной, т. е.

, (20)

При перемножении эпюр ставят знак плюс, когда обе эпюры имеют одина­ковые знаки, и знак минус, когда их знаки разные.

Рис. 6.1. Эпюры моментов

Следует иметь в виду, что эпюра, для которой вычисляется площадь ω, может быть любого очертания (не только кри­волинейная), эпюра же, из которой берется ордината у, обязательно дол­жна быть прямолинейной. Если обе эпюры прямолинейные, то из одной (любой) может быть определена площадь ω, а из другой взята ордината у. Когда одна из эпюр имеет сложное очертание, ее разбивают на простые фигуры.

В этом случае:

ω·y = ω₁ ·y₁ + ω₂·y₂ + ω₃·y₃ +…+ ω_n·y_n (21)

В таблице 3 приведены значения площадей и абсцисс центров тяжести наиболее часто встречающихся фигур.

Если одна или обе эпюры очерчены ломаной линией, то их разбивают на участки таким образом, чтобы, по крайней мере, одна из перемножаемых эпюр в пределах каждого участка была прямолинейной.

Формула для определения перемещений с использованием правила А. Н. Верещагина имеет вид:

∆_1p = ∑ ω·y/E·I (22)

Здесь первый индекс (1) при ∆ показывает, что перемещение опреде­ляют по направлению единичной силы единичного состояния системы, второй (Р), — что это перемещение вызвано заданной нагрузкой.

В даль­нейшем эпюру моментов от единичной силы будем обозначать M1, а от за­данной нагрузки — M_р.

Примеры определения перемещений в статически определимых системах

Пример 6.1.

Определить угол поворота сечения В бал­ки, защемленной одним кон­цом (рис.6.2, а)и нагруженной равномерно распре­деленной нагрузкой интен­сивностью q =2 кН/м. Жест­кость балки постоянна.

Рис. 6.2. Расчетная схема балки к примеру 6.1.

Решение

1-е состо­яние балки (действительное) показано на рис.6.2, а. Что­бы получить 2-е состояние (единичное), изображаем балку без заданной нагрузки, приложив в сече­нии В единичный момент т = 1 (рис.6.2, б).

Изгибающий момент в произвольном сечении 1-го состояния балки

Для 2-го состояния

Подставив эти значения в формулу (19), найдем после интегрирования угол поворота сечения В:

Пример 6.2.

Определить про­гиб свободного конца балки, защемленной одним концом (рис. 6.3, а). Жесткость балки постоянна.

Рис.6.3. Расчетная схема балки к примеру 6.2.

Решение

На рис. 6.3, б изображаем 2-е состояние бал­ки, приложив в точке В еди­ничную сосредоточенную силу. В действительном состоянии балка имеет два участка.

Для участка СВ: М 1 = —Рх,; для участка AC: M 1= — Рх — Р(х — b)= — 2Рх+ Рb.

Во втором состоянии для обоих этих участков М₂ = — 1∙х= х

Искомое перемещение:

Пример 6.3.

Определить прогиб в середине пролета балки изображенной на рис.6.4., а. Жесткость балки постоянна.

Рис.6.4. Расчетная схема балки к примеру 6.3.

Решение

По направлению искомого перемещения прикладываем посредине балки во 2-м состоянии единичную сосредоточенную силу (рис. 6.4., б). Опорные реакции для действительного состояния: А =В = ql/2, для единичного состояния А = В = 1/2. Изгибающий момент в произвольном сечении действительного состояния балки:

Во 2-м состоянии балка имеет два рав­ных участка.

Для левого участка:

Ввиду симметрии балки величина ин­теграла для правой ее половины будет та­кая же, как и для левой. Поэтому интег­рирование будем вести в пределах левой половины балки, поставив перед интегра­лом коэффициент 2.

Итак, искомое перемещение:

Пример 6.4.

Определить вертикальное перемещение точки В рамы, изображенной па рис.6.5, а. Жесткость стойки АС и ригеля СВ равна соответственно 2EJ и EJ.

Решение

Во вспомогательном (2-м) состоянии приложим в точке S. вертикальную единичную силу (рис. 6.5, б). Составим выражения изгибающих моментов.

Для ригеля:

а) от заданной нагрузки:

б) от единичной нагрузки

Для стойки:

а) от заданной нагрузки:

б) от единичной силы:

Рис. 6.5. Расчетная схема рамы

Искомое перемещение:

Пример 6.5.

Определить. горизонтальное перемещение точки В рамы, изображенной на рис.6.6, а. Жесткость стержней АС и CD равна 2EJ, жесткость стержня DB равна EJ.

Рис.6.6. Расчетная схема рамы

Решение

Вычертим 2-е состояние рамы (рис.6.6., б), приложив в точке В горизонтальную единичную силу Р =1.

Определяем опорные реакции:

а) от заданной нагрузки

∑X= , откуда

∑ , откуда

∑ , откуда

б) от единичной силы:

∑X=

Так как линия действия силы Р = 1 проходит через центры обоих опорных шарниров А и В, то ее моменты относительно этих центров равны

нулю, следовательно,

Составим выражения изгибающих моментов.

Для стойки АС:

а)для заданной нагрузки

б) от единичной силы

Для ригеля CD:

а) от заданной нагрузки:

б) от единичной силы:

Д ля стойки BD:

а) от заданной нагрузки:

б) от единичной силы:

Искомое перемещение:

Пример 6.6.

Определить угол поворота свободного конца балки, изображенной на рис. 6.2., а способом А.Н. Верещагина. Жесткость балки постоянна.

Решение

Вычисляем изгибающие моменты от заданной нагрузки. Изгибающий момент в произвольном сечении балки:

при x=0 M_B=0

при х = 2,5 м М_х = —2,5² = —6,25 кН∙м;

при х = 5 м Ма = — 5² = — 25 кН∙м.

По полученным данным строим эпюру М_р (рис.6.7, б).

Рис. 6.7. Расчетная схема к пр.6.6.

Вычерчиваем балку в единичном состоянии (рис. 6.7., в)и вычисляем изгибающие монеты в характерных сечениях:

Эпюра приведена на рис. 6.7., г.

Вычисляем с помощью таблицы 1 площадь ω эпюры М_р

ω = l ·h/3 = 5х25/3 = 41,7 кН м³

Ординату у берем из прямолинейной эпюры (у = 1). Так как обе эпюры отложены по одну сторону от оси (они имеют оди­наковый знак), то искомое перемещение будет положительным:

∆_1p = φ_в = (1/ E·I) 41.7 · 1 = 41,7/ E·I

Такой же результат был получен и в примере 6.1.

Таблица 3

Вид эпюры изгибающих моментов	Площадь эпюры ω	Абсциссы центра тяжести эпюры
X1	X2
	Lh Lh/ 2 Lh/ 3 2Lh/ 3 2Lh/ 3 2Lh/ 3	L/2 L/3 L/4 L/2 3Lh/ 8 L/2	L/2 2L/3 3L/4 L/2 5Lh/ 8 L/2

Пример 6.7.

Определить прогиб свободного конца балки, изображен­ной на рис. 6.8., а. способом А.Н Верещагина. Жесткость балки постоянна.

Рис. 6.8. Расчетная схема к примеру 6.7.

Решение

Вычисляем изгибающие моменты от заданной нагрузки:

Эпюра М_р построена на рис.6.8., б.

Вычисляем изгибающие моменты в сечениях балки единичного состояния (рис. 6.8., в):

Эпюра M_р приведена на рис.6.8., г.

Разбиваем эпюру М_р на три простые фигуры, как показало на рис.6.8., б иопределяем их площади:

Вычисляем ординаты у₁, у₂ и у₃, взятые под центрами тяжести соответствующих площадей.

Так как основание и высота треугольника ad₁b име­ют одинаковые значения, то эти ординаты равны расстояниям до них: от точки b и их можно получить из подобия треугольников. Например, у ₃/1,33 =h/l =5/5, откуда у₃ =1,33 м. Итак, у₁ = 4 м; у₂ =3,5 м; у₃ =1,33 м.

Искомое перемещение:

Вопросы для самопроверки

1. Какие системы называют статически определимыми?

2. Как определяется грузовое и единичное состояние системы?

3. Что называется жесткостью стержня при изгибе?

4. Как определяется момент инерции прямоугольного и прокатного профиля?

5. Формула интеграла Мора?

6. В чем состоит метод Верещагина?

ГЛАВА VII

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: