Применение метода сил к расчету статически неопределимых балок и рам

Пример 7.4.

Построить эпюры Q и М для статически неопределимой бал­ки, изображенной на рис. 7.5., а. Проверить правильность построения эпюры М. Жёсткость балки равна EJ.

Решение

Согласно формуле (23) Л = 4 — 3 =1, следовательно, балка имеет одну лишнюю связь. В качестве основной системы примем балку с защемленным левым концом, полученную из заданной балки в ре­зультате устранения нагрузки и одной связи (шарнирно подвижной опо­ры В). Основная система, нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной реакцией связи — силой X₁, действующей но направлению устраненной связи, показана на рис. 7.5,6.

В заданной системе вертикальное перемещение точки В невозможно. В системе по рис. 7.5., б оно также должно быть равно нулю. Составим каноническое уравнение, выражающее это условие:

δ₁₁X₁ + ∆₁p = 0 (27)

Для определения δ₁₁ и ∆ _1p строим эпюру М₁ от нагружения основной системы единичной силой Х₁ = 1 (рис. 7.5., в)иэпюру М_р от нагруже­ния этой системы только силой Р (рис. 7.5., г). Перемещение δ₁₁ получим умножением эпюры М₁ на эпюру М₁, т. е. самой на себя, а чтобы полу­чить значение ∆ _1p, надо перемножить эпюру М₁ с эпюрой М_р. Итак,

При определении ∆ _1p площадь ω взята из эпюры М_р, а ордината у — из эпюры— М₁. Если бы, наоборот, площадь была взята из эпюры М₁, а ордината—из эпюры М_р, то следовало принять во внимание лишь часть acc₁d₁ эпюры М₁, так как во всех сечениях балки в пределах участ­ка СВ изгибающие моменты равны нулю и произведение ωу для этого участка также равно нулю.

Из уравнения (28) находим Х₁

Теперь в системе, показанной на рис. 7.5., б, все силы известны. Вы­числяем поперечные силы в характерных сечениях и строим по ним эпюру Q (рис. 7.5, д):

Для построения эпюры М вычислим изгибающие моменты:

Эпюра М приведена на рис. 7.5., е.

Проверим правильность по­строения окончательной эпюры изгибающих моментов. Наибо­лее надежной является так на­зываемая деформационная или кинематическая проверка. Она заключается в определении пе­ремещений по направлению ка­ждой отброшенной связи путем умножения окончательной эпю­ры М на эпюру М₁ от соответст­вующей единичной силы. Если при этом перемещения по нап­равлению каждой отброшенной связи будут равны нулю, то окончательная эпюра изгибаю­щих моментов построена пра­вильно.

В рассматриваемом приме­ре, отброшена одна вертикаль­ная связь, поэтому определим вертикальное перемещение точ­ки В (∆_В(верт)).

Рис. 7.5. Расчет балки методом сил

Для удобства перемножения эпюр треугольники aa₁d и dсс₁ (см. рис. 7.5., е)заменим треугольниками aa₁c и асс₁ имеющими одно и то же основание ас. Добавленные треугольники a₁dc и adc₁ не влияют на резуль­тат перемножения эпюр М и М₁, так как площади этих треугольников, равные между собой, но противоположные по знаку, умножаются на одну и ту же ординату единичной эпюры М₁ соответствующую центрам тяже­сти площадей треугольников, расположенным на одном перпендикуляре к прямой ас. В дальнейшем при решении других примеров в подобных слу­чаях будем поступать таким же образом. Итак,

Следовательно, окончательная эпюра М построена правильно. Произведем ту же проверку, используя формулу (23);

Как видим, получен тот же результат, что и выше.

Пример 7.5..

Построить эпюры Q, М и N для рамы, изображенной на рис. 7.6., а. Жесткость стойки АС принять равной EJ, жесткость ригеля CD и стойки BD равна 3EJ. Проверить правильность построения оконча­тельной эпюры М.

Решение

Так как Л = ЗК — Ш = 3∙1 —2 = 1, то рама один раз статически неопределима, т. е. содержит одну лишнюю связь.

Выберем основную систему, устранив нагрузку и горизонтальную связь в опоре В. Вертикальную связь отбросить нельзя, так как в противном случае оставшиеся три опорных стержня пересекутся в одной точке А и система будет мгновенно изменяемой.

Основная система, нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной силой Х_1; заменяющей действие отброшенной связи, приведена на рис.7.6., б.

Каноническое уравнение в данном случае будет выражать условие равенства нулю суммарного горизонтального перемещения точки В от заданной нагрузки и неизвестной силы X₁:

Рассмотрим единичное состояние основной системы, когда по направле­нию удаленной связи приложена сила Х₁ = 1, а все остальные нагрузки отброшены (рис. 7.6., в). Вертикальные опорные реакции здесь равны нулю, а горизонтальную определим из уравнения ∑Х = 0:

откуда

Рис. 7.6. Расчет рамы методом сил

Изгибающие моменты:

в сечениях элемента АС

в сечениях элемента CD

в сечениях элемента DB

Эпюра показана на рис. 7.6., в.

Далее изобразим грузовое состояние основной системы и построим эпю­ру М_р (рис. 7.6., г). Сначала определим опорные реакции:

откуда

откуда

откуда

Изгибающий момент в произвольном сечении стойки АС:

Для определения максимального изгибающего момента найдем расстоя­ние до сечения, в котором Q = 0:

Изгибающий момент в произвольном сечении стойки АС:

В данном случае это сечение совпадает с сечением С, следовательно,

Изгибающий момент в произвольном сечении ригеля на расстояниях х ₁ от точки D

Найдем расстояние до сечения, в котором Q = 0, а изгибающий момент имеет максимальное значение:

откуда х'_о = V_B/q_t = 11/2 = 5,5 м.

Тогда М_тах = 11∙5,5 — 5,5² = 30,3 кН∙м.

Для определения перемещения δ₁₁ умножим площади ω на ординаты у взятые из одной и той же эпюры

Перемножая эпюры М_р и М ₁ для получения перемещения ∆ _1p, из пер­вой возьмем площади, из второй — ординаты, соответствующие центрам тяжести этих площадей. При этом эпюру М_р по ригелю разобьем на две фигуры: треугольник (l = 9 м, h = 18 тс∙м) и площадь, ограниченную параболой (l = 9 м, h = 20,3 тс∙м).

Обозначения в скобках приняты согласно табл. 14;

Теперь можем найти значение силы Х₁:

Возвращаемся к системе, показанной на рис. 7.6., б, вводя теперь уже известную силу X₁= 3,31 кН.

Сила X₁ в данном случае не вызывает вертикальных опорных реакций, так как проходит через центры обоих опорных шарниров. Поэтому эти ре­акции остаются такими же, как и при нагружении основной системы только заданной, нагрузкой (для получения эпюры М_р), т.е. V_A =7 кН, V_B = 11 кН. Значение же реакции Н_А изменится по сравнению со значением, полученным от указанного нагружения:

откуда

Переходим к вычислению поперечных сил:

Стойка АС

Q_A =Н_А = 2,69 кН; Q_C=H_A— qh= 2,69 — 1∙6 = — 3,31 кН

Ригель СD

Q_c = V_А = 7кН; Q_D=Va — q₁l = 7 — 2∙9 = —11 кН.

Стойка ВD

Q_B=X₁ = 3,31 кН; Q_D= Q_B = 3,31 кН

Эпюра Q показана на рис. 123, д.

Определяем изгибающие моменты;

Стойка АС

М_х = Н_Ах — qx²/2 = 2,69а: — 1∙ x²/2 = 2,69 x — 0,5 x ²;

при х = 0 М _А =0;

при х = 3 м М_х = 2,69∙3 — 0,5∙З² = 3,57 кН∙м;

при х = 6 м М_с = 2,69-6 —0,5-6² = —1,86 кН∙м.

Найдем расстояние х₀ до сечения, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение. Приравняем для этого нулю поперечную силу в этом сечении, выраженную через х₀:

откуда x_o = H_A/q = 2,69/1 = 2,69 м.

Тогда

М_max = 2,69∙2,69 — 0,5∙2,69² = 3,62 кН∙м.

Ригель СD

Найдем расстояние х'_о до сечения с максимальным изгибающим момен­том. В этом сечении

Следовательно,

Стойка ВD

Эпюра М показана на рис. 7.6., е.

Для проверки правильности ее построения вычислим горизонтальное перемещение точки В (∆_В(гор)), умножив площади этой эпюры на соответствующие ординаты из эпюры М₁. Если эпюра построена правильно, то ∆_В(гор) должно получиться равным нулю. Заменим эпюру М по стойке АС

двумя фигурами: треугольником (l =6м, h = 1,86 кН∙м) и площадью, ограниченной параболой (l =6м; h = 3,57 + 1,86/2 = 4,5 кН∙м), а по ригелю — трапецией и также площадью, ограниченной параболой (l = 9 м, h = 10,9 + 9,39 = 20,3 кН∙м). Разбивать трапецию на два тре­угольника или находить точное положение ее центра тяжести нет необхо­димости, так как в эпюре М ₁ все ординаты по ригелю имеют одно и то же значение. Итак,

Следовательно, окончательная эпюра М построена правильно. Вычисляем продольные силы и строим эпюру N (рис. 7.6., ж):

Т_ФС = — М_Ф = — 7 кН; т_св = — Х₁ = — 3б31 кН Т_ИВ= —М_И = — 11 кН.

Вопросы для самопроверки

1. Какие системы называют статически неопределимыми?

2. Какое состояние называется грузовым и единичным?

3. Чему должно соответствовать число единичных состояний основной системы.

4. Как обозначают единич­ные и грузовые перемещения?

5. Приведите пример обозначенияглавных и побочных перемещений

6. Запишите общий вид канонических уравнений метода сил

7. Дайте определение основной системы.

8. Перечислите способы построения основной системы.

9. Как выполняется проверка правильности по­строения окончательной эпюры изгибающих моментов?

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: