Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Применение метода сил к расчету статически неопределимых балок и рам





Пример 7.4.

Построить эпюры Q и М для статически неопределимой бал­ки, изображенной на рис. 7.5., а. Проверить правильность построения эпюры М. Жёсткость балки равна EJ.

Решение

Согласно формуле (23) Л = 4 — 3 =1, следовательно, балка имеет одну лишнюю связь. В качестве основной системы примем балку с защемленным левым концом, полученную из заданной балки в ре­зультате устранения нагрузки и одной связи (шарнирно подвижной опо­ры В). Основная система, нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной реакцией связи — силой X1, действующей но направлению устраненной связи, показана на рис. 7.5,6.

В заданной системе вертикальное перемещение точки В невозможно. В системе по рис. 7.5., б оно также должно быть равно нулю. Составим каноническое уравнение, выражающее это условие:

δ11X1 + ∆1p = 0 (27)

Для определения δ11 и ∆1p строим эпюру М1 от нагружения основной системы единичной силой Х1 = 1 (рис. 7.5., в)иэпюру Мр от нагруже­ния этой системы только силой Р (рис. 7.5., г). Перемещение δ11 получим умножением эпюры М1 на эпюру М1, т. е. самой на себя, а чтобы полу­чить значение ∆1p, надо перемножить эпюру М1 с эпюрой Мр. Итак,

При определении ∆1p площадь ω взята из эпюры Мр, а ордината у — из эпюры— М1. Если бы, наоборот, площадь была взята из эпюры М1, а ордината—из эпюры Мр, то следовало принять во внимание лишь часть acc1d1 эпюры М1, так как во всех сечениях балки в пределах участ­ка СВ изгибающие моменты равны нулю и произведение ωу для этого участка также равно нулю.

Из уравнения (28) находим Х1

Теперь в системе, показанной на рис. 7.5., б, все силы известны. Вы­числяем поперечные силы в характерных сечениях и строим по ним эпюру Q (рис. 7.5, д):



Для построения эпюры М вычислим изгибающие моменты:

Эпюра М приведена на рис. 7.5., е.

Проверим правильность по­строения окончательной эпюры изгибающих моментов. Наибо­лее надежной является так на­зываемая деформационная или кинематическая проверка. Она заключается в определении пе­ремещений по направлению ка­ждой отброшенной связи путем умножения окончательной эпю­ры М на эпюру М1 от соответст­вующей единичной силы. Если при этом перемещения по нап­равлению каждой отброшенной связи будут равны нулю, то окончательная эпюра изгибаю­щих моментов построена пра­вильно.

В рассматриваемом приме­ре, отброшена одна вертикаль­ная связь, поэтому определим вертикальное перемещение точ­ки В (∆В(верт)).

 

Рис. 7.5. Расчет балки методом сил

 

Для удобства перемножения эпюр треугольники aa1d и dсс1 (см. рис. 7.5., е)заменим треугольниками aa1c и асс1 имеющими одно и то же основание ас. Добавленные треугольники a1dc и adc1 не влияют на резуль­тат перемножения эпюр М и М1,так как площади этих треугольников, равные между собой, но противоположные по знаку, умножаются на одну и ту же ординату единичной эпюры М1 соответствующую центрам тяже­сти площадей треугольников, расположенным на одном перпендикуляре к прямой ас. В дальнейшем при решении других примеров в подобных слу­чаях будем поступать таким же образом. Итак,

Следовательно, окончательная эпюра М построена правильно. Произведем ту же проверку, используя формулу (23);

Как видим, получен тот же результат, что и выше.

Пример 7.5..

Построить эпюры Q, М и N для рамы, изображенной на рис. 7.6., а. Жесткость стойки АС принять равной EJ, жесткость ригеля CD и стойки BD равна 3EJ. Проверить правильность построения оконча­тельной эпюры М.

Решение

Так как Л = ЗК — Ш = 3∙1 —2 = 1, то рама один раз статически неопределима, т. е. содержит одну лишнюю связь.

Выберем основную систему, устранив нагрузку и горизонтальную связь в опоре В. Вертикальную связь отбросить нельзя, так как в противном случае оставшиеся три опорных стержня пересекутся в одной точке А и система будет мгновенно изменяемой.

Основная система, нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной силой Х1; заменяющей действие отброшенной связи, приведена на рис.7.6., б.

Каноническое уравнение в данном случае будет выражать условие равенства нулю суммарного горизонтального перемещения точки В от заданной нагрузки и неизвестной силы X1:

Рассмотрим единичное состояние основной системы, когда по направле­нию удаленной связи приложена сила Х1 = 1, а все остальные нагрузки отброшены (рис. 7.6., в). Вертикальные опорные реакции здесь равны нулю, а горизонтальную определим из уравнения ∑Х = 0:

откуда

 

Рис. 7.6. Расчет рамы методом сил

 

Изгибающие моменты:

в сечениях элемента АС

в сечениях элемента CD

в сечениях элемента DB

Эпюра показана на рис. 7.6., в.

Далее изобразим грузовое состояние основной системы и построим эпю­ру Мр (рис. 7.6.,г). Сначала определим опорные реакции:

откуда

откуда

откуда

Изгибающий момент в произвольном сечении стойки АС:

Для определения максимального изгибающего момента найдем расстоя­ние до сечения, в котором Q = 0:

Изгибающий момент в произвольном сечении стойки АС:

В данном случае это сечение совпадает с сечением С, следовательно,

Изгибающий момент в произвольном сечении ригеля на расстояниях х1 от точки D

Найдем расстояние до сечения, в котором Q = 0, а изгибающий момент имеет максимальное значение:

откуда х'о = VB/qt = 11/2 = 5,5 м.

Тогда Мтах = 11∙5,5 — 5,52 = 30,3 кН∙м.

Для определения перемещения δ11 умножим площади ω на ординаты у взятые из одной и той же эпюры

Перемножая эпюры Мр и М1 для получения перемещения ∆1p, из пер­вой возьмем площади, из второй — ординаты, соответствующие центрам тяжести этих площадей. При этом эпюру Мр по ригелю разобьем на две фигуры: треугольник (l = 9 м, h = 18 тс∙м) и площадь, ограниченную параболой (l = 9 м, h = 20,3 тс∙м).

Обозначения в скобках приняты согласно табл. 14;

Теперь можем найти значение силы Х1:

Возвращаемся к системе, показанной на рис. 7.6.,б, вводя теперь уже известную силу X1= 3,31 кН.

Сила X1 в данном случае не вызывает вертикальных опорных реакций, так как проходит через центры обоих опорных шарниров. Поэтому эти ре­акции остаются такими же, как и при нагружении основной системы только заданной, нагрузкой (для получения эпюры Мр), т.е. VA =7 кН, VB = 11 кН. Значение же реакции НА изменится по сравнению со значением, полученным от указанного нагружения:

откуда

Переходим к вычислению поперечных сил:

Стойка АС

QAА = 2,69 кН; QC=HA— qh= 2,69 — 1∙6 = — 3,31 кН

Ригель СD

Qc= VА = 7кН; QD=Va — q1l = 7 — 2∙9 = —11 кН.

Стойка ВD

QB=X1 = 3,31 кН; QD= QB = 3,31 кН

Эпюра Q показана на рис. 123,д.

Определяем изгибающие моменты;

Стойка АС

Мх = НАх — qx²/2 = 2,69а: — 1∙x²/2= 2,69 x — 0,5 x 2;

при х = 0 МА =0;

при х = 3 м Мх= 2,69∙3 — 0,5∙З2 = 3,57 кН∙м;

при х = 6 м Мс = 2,69-6 —0,5-62 = —1,86 кН∙м.

Найдем расстояние х0 до сечения, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение. Приравняем для этого нулю поперечную силу в этом сечении, выраженную через х0:

откуда xo = HA/q = 2,69/1 = 2,69 м.

Тогда

Мmax = 2,69∙2,69 — 0,5∙2,692 = 3,62 кН∙м.

Ригель СD

Найдем расстояние х'о до сечения с максимальным изгибающим момен­том. В этом сечении

Следовательно,

Стойка ВD

Эпюра М показана на рис. 7.6.,е.

Для проверки правильности ее построения вычислим горизонтальное перемещение точки В (∆В(гор)), умножив площади этой эпюры на соответствующие ординаты из эпюры М1. Если эпюра построена правильно, то ∆В(гор) должно получиться равным нулю. Заменим эпюру М по стойке АС

двумя фигурами: треугольником (l =6м, h = 1,86 кН∙м) и площадью, ограниченной параболой (l =6м; h = 3,57 + 1,86/2 = 4,5 кН∙м), а по ригелю — трапецией и также площадью, ограниченной параболой (l = 9 м, h = 10,9 + 9,39 = 20,3 кН∙м). Разбивать трапецию на два тре­угольника или находить точное положение ее центра тяжести нет необхо­димости, так как в эпюре М1 все ординаты по ригелю имеют одно и то же значение. Итак,

Следовательно, окончательная эпюра М построена правильно. Вычисляем продольные силы и строим эпюру N (рис. 7.6.,ж):

ТФС = — МФ = — 7 кН; тсв = Х1 = — 3б31 кН ТИВ= —МИ = — 11 кН.

Вопросы для самопроверки

1. Какие системы называют статически неопределимыми?

2. Какое состояние называется грузовым и единичным?

3. Чему должно соответствовать число единичных состояний основной системы.

4. Как обозначают единич­ные и грузовые перемещения?

5. Приведите пример обозначенияглавных и побочных перемещений

6. Запишите общий вид канонических уравнений метода сил

7. Дайте определение основной системы.

8. Перечислите способы построения основной системы.

9. Как выполняется проверка правильности по­строения окончательной эпюры изгибающих моментов?

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.