Тема. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Тема. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Общие понятия.

Функционирование хозяйственных систем носит целенаправленный характер. Для целенаправленных процессов характерно, что каждый из них можно представить как систему с определенным входом и выходом. Для процесса производства продукции–главного хозяйственного процесса в экономической системе выходом обычно служит готовая продукция (услуги), а входы определяются поставками сырья, материалов, затратами трудовых, финансовых и пр. ресурсов.

X(x₁,x₂,...x_n) - вектор факторов производства(затраты труда, капитала, материалов и пр.), Y(y₁,y₂,...y_n) - вектор продукции (услуг)

Существующие в данном производственном процессе отношение между любым набором факторов производства и максимально возможным объемом продукции , производимым из этого набора факторов, можно описать производственной функцией . Производственная функция характеризует технологию преобразования X в Y. Производственную функцию можно определить следующим образом:

Соотношения, описывающее закономерности выпуска продукции в зависимости от используемых ресурсов, принято называть производственными функциями (ПФ).

Можно дать более общее определение производственной функции (ПФ): производственная функция – это экономико-математическое выражение зависимости результатов производственно-хозяйственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей–факторов. Результатом процесса производства может быть объем выпуска, прибыль, пр. проказатели.

Производственная функция была предложена в 1890 г. английским математиком А. Берри, помогавшим А. Маршаллу (английский неоклассик, 1842-1924) при подготовке математического приложения к его фундаментальному труду «Принципы экономической науки».

В сложных условиях экономической деятельности результат процесса производства определяется действием огромного количества факторов: технических, экономических, социальных и пр.. Попытаться в рамках ПФ учесть влияние всех факторов – задача невыполнимая и бессмысленная, тем более что некоторые из этих факторов не могут быть измерены количественно. Поэтому ПФ неизбежно включает в себя лишь некоторые главные факторы, оказывающие решающее воздействие на изучаемый показатель. Кроме того факторы, включаемые в производственную функцию, могут быть неоднородны по своей структуре, а их воздействие на результат производства не определяется однозначно.

Например, ни на одном производстве нельзя абсолютно точно предсказать, как изменяется объем продукции при определенном увеличении отработанных человеко-часов, хотя можно утверждать, что объем продукции возрастает и ориентировочно подсчитать.

Из-за наличия неучтенных факторов и неоднозначности действия учтенных ПФ является функцией лишь в статистическом смысле. Описываемая ею математическая зависимость проявляется лишь в общем и в целом в массе наблюдений, т.е. производственная функция является экономико-статистической моделью (эконометрической) процесса производства продукции в данной экономической системе и выражает устойчивую, закономерную количественную зависимость между объемными показателями ресурсов и выпуска.

В общем виде уравнение производственной функции можно записать:

(1.1),

где – вектор ресурсов; - вектор продукции; –вектор параметров ПФ

Соотношение (1.1) может быть векторным, т.е. состоять из нескольких равенств. ПФ может быть задана не только аналитически, но и в виде таблицы

Помимо общего представления ПФ в виде (1.1) чаще используются следующие частные случаи:

Производственная функция выпуска: . (1.2)

Здесь в качестве независимых переменных берутся затраты ресурсов, а зависимой переменной является объем выпуска продукции.

Производственная функция затрат (1.3)

Здесь независимыми переменными являются объемы выпуска различных видов продукции, а зависимой переменной–затраты ресурсов.

В том случае, когда вектор ` X является многокомпонентным между функцией выпуска и затрат возникают принципиальные различия: при использовании функции выпуска один и тот же объем продукции может быть получен при различных сочетаниях количеств производственных ресурсов.

В функции затрат задание выпуска полностью определяет затраты ресурсов, поэтому функция затрат используется в том случае, когда в описываемой экономической системе отсутствует возможность замещения одного ресурса другим. Функция выпуска используется тогда, когда такая замена допустима.

Производственная функция определяет максимальный объем выпуска продукции при каждом заданном количестве ресурсов. Эта функция описывает зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции, позволяя определить максимально возможный объем выпуска продукции при каждом заданном количестве ресурсов, или минимально возможное количество ресурсов для обеспечения заданного объема выпуска продукции. Производственная функция суммирует только технологически эффективные приемы комбинирования ресурсов для обеспечения максимального выпуска продукции. Любое усовершенствование в технологии производства способствующее росту производительности труда, обусловливает новую производственную функцию.

С понятием производственной функции тесно связано понятие множества производственных возможностей:

, где (1.4)

Это некоторое множество в пространстве продуктов и ресурсов, зависящее от параметров ПФ.

Пример: пусть имеется единственный ресурс X и единственный продукт Y (например, количество техники на единицу площади сельскохозяйственных угодий и урожайность полевых культур). При этом предполагается, что количество других ресурсов остается без изменений, поэтому они не включаются в ПФ в явном виде.

Множество производственных возможностей задается соотношением:

,где X>0, (1.5)

Тогда множество производственных возможностей можно изобразить следующим образом:

Связь между производственной функцией и множеством производственных возможностей устанавливается следующим образом. Предположим, что производство ведется эффективно, т.е. при данном количестве ресурсов выпускается максимально возможное количество продукции. Тогда имеет смысл рассматривать не все множество G(a), а лишь границу: . (1.6)

Таким образом, получим производственную функцию выпуска.

Если же задана производственная функция (1.6), то множество производственных возможностей можно получить, предполагая, что с помощью тех же ресурсов можно получить и меньшее количество ресурсов.

Свойства изоквант

1. Для производственной функции, удовлетворяющих свойству 1, изокванты не пересекаются с осями координат.

Если предположить, что изокванта пересекается с осями, то возможен выпуск продукта при отсутствии какого-либо ресурса.

2. Изокванты не пересекаются друг с другом.

Предположим, что изокванты пересекаются в точках A и B.

Здесь Y₁ <Y_2. Это означает,что в точках A и B для производства меньшего количества продукта Y₁ требуется столько же ресурсов, что и для производства большего количества Y₂.Очевидно, что такие технологии не эффективны, а проблема выбора оптимального сочетания ресурсов может быть рассмотрена лишь в пределах зоны технического замещения, т. е. в пределах кривой AB, где изокванты не пересекаются

3. Изокванты имеют отрицательный наклон, т.е. тангенс угла наклона касательной к любой точке изокванты меньше нуля.

Предположим, что изокванта имеет положительный наклон.

Это означает, что одно и тоже количество продукта может быть произведено при затратах ресурсов ,причем как , так и ,а такая технология не имеет смысла.

4. Большему выпуску продукции соответствует изокванта более удаленная от начала координат.

Как записать уравнение изокванты?

Если Y=F (X_1,X₂)– уравнение производственной функции, то, для того чтобы получить уравнение изокванты, необходимо фиксировать выпуск продукции Y=Y₀:

Y₀ =F (X_1,X₂)–уравнение изокванты. Для того, чтобы записать его в явном виде необходимо выразить из этого уравнения переменную X₂ в зависимости от X₁ (или наоборот): . Эта функция имеет следующий смысл: это количество фактора X₂, которое необходимо для получения заданного количества продукта Y₀ в зависимости от использования фактора X_1.

Предельная норма замещения.

Для производственных функций, допускающих замещение ресурсов вводится понятие предельной нормы замещения

Пусть М₁(X₁,X₂)–некоторая произвольная точка в плоскости ресурсов, лежащая на изокванте Q(Y₀),т.е.

Дадим приращение ресурсам (DX₁ DX₂) и рассмотрим точку на изокванте M₂(X₁+DX₁,X₂+DX₂). В этой точке F(X₁+DX₁,X₂+DX₂)=Y₀

Таким образом, dF= F(X₁+DX₁,X₂+DX₂)- F(X₁ ,X₂)=0 (3.2)

В то же время левую часть равенства (3.2) можно представить как:

dF= (разложение дифференциала),

следовательно, =0 (3.3)

Из равенства (3.3) получаем: (3.4)

Таким образом, вдоль изокванты выполняется соотношение (3.4) Величину g₂₁ называют предельной нормой замещения второго ресурса первым. Она равняется частному от деления предельных производительностей ресурсов со знаком минус. Предельная норма замещения показывает, сколько единиц второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса на единицу. Знак минус можно интерпретировать следующим образом: при уменьшении использования одного ресурса количество другого должно быть увеличено.

Предельная норма замещения в какой–либо точке изокванты совпадает по величине с тангенсом угла наклона касательной к изокванте в этой точке:

(смотри рисунок 3.5). Угол j тупой–тангенс его отрицательный. Угол j меняется при движении вдоль изокванты, а, следовательно, меняется и величина предельной нормы замещения, т.е. каждой точке изокванты соответствует своя предельная норма замещения.

Проследим на условном примере, как меняется величина g при движении вдоль изокванты. Обратимся к рис.3.6.

фактор X1 (Труд)	g21(норма замещения капитала трудом)
0,5–2
2–4
4-6

Очевидно, что при увеличении затрат фактора X₁(труда) норма замещения второго фактора (капитала) трудом уменьшается. Это свидетельствует о том, что эффективность использования любого ресурса ограничена. По мере замены ресурса X₂(капитала) ресурсом X₁₍трудом) отдача последнего(его производительность) снижается, т.е. добавление к каждой следующей единицы труда приводит к меньшему высвобождению капитала. Аналогично происходит и при обратной замене. Из соотношения: (3.4) следует также, что функция монотонно убывающая.. Это свойство не определяется конкретным видом функции, а присуще всем производственным функциям с двумя ресурсами.

Для характеристики динамики изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты вводится понятие эластичности замещения ресурсов:

(3.5)

Эластичность замещения имеет следующий экономический смысл: она приближённо показывает на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы предельная норма замещения изменилась на один процент.

Эластичность замещения может быть представлена в более удобной форме:

Существуют производственные функции с постоянной и переменной эластичностью замещения.

Постоянство эластичности замещения ресурсов производственной функции позволяет охарактеризовать с её помощью возможность замещения ресурсов в целом, а не при каком–то конкретном соотношении ресурсов, как это возможно с помощью предельной нормы замещения. Чем больше величина эластичности замещения, тем в более широких пределах ресурсы могут замещать друг друга.

Если ресурсы используются независимо, а их норма замещения постоянна и не зависит от объёмов использования ресурсов, то полагают, что эластичность замещения равна бесконечности ().

Для производственных функций, в которых замещение ресурсов невозможно полагают, что эластичность замещения равна нулю(

На рисунке 4.7 изображены изокванты с различной эластичностью замещения

0 < s₁<s₂<s₃<¥

Если s®¥, изокванта приближается к отрезку АС, при стремленииs®0, изокванта приближается к линии АВС. Эти предельные изокванты соответствуют производственным функциям с бесконечной и нулевой эластичностями замещения. Нулевая эластичность означает, что замещение между ресурсами отсутствует, а бесконечно большая–что каждый из ресурсов используется независимо.

Изоклиналь

Определение: совокупность изоквант называется картой изоквант.

Теория фирмы

Равновесие производителя

До сих пор мы рассматривали лишь технологический аспект производства продукции, рассмотрим экономический, ведя цены на ресурсы производства

Рассмотрим ПФ с двумя факторами производства F1 и F2. Пусть цена факторов: (p1,p2). Производитель располагает определенными средствами (определёнными бюджетом) B₀, который он использует на покупку факторов производства. Если производитель покупает Х₁ фактора F1 и Х₂ фактора F2, то должно выполнятся условие:

(4.1),

Т.е. производитель не может истратить на покупку ресурсов больше, чем у него есть. Это ограничение определяет бюджетное множество производителя.

Каждое предприятие стремится получить наибольшую массу прибыли, которая равна разности между ценой произведенного продукта и издержками производства. Обозначим массу прибыли R = pY – ( ), где p - цена продукта. Т.к. бюджет В фиксирован, максимум прибыли достигается при максимуме продукта. Задачу, стоящую перед предприятием, можно сформулировать следующим образом: найти максимум производственной функции при заданных ценах факторов производства и бюджете.

Целевая функция: max.

Ограничения:

. В тоже время согласно 2-у свойству производственных функций: выпуск продукции увеличивается при увеличении объема используемых факторов. Поэтому для получения максимума выпуска бюджет производителя должен быть израсходован полностью (не останется возможности дозакупки ресурсов), т. е. бюджетное ограничение при определении максимума выпуска продукции должно выполняться как равенство:

Это уравнение прямой представляет комбинацию ресурсов, использование которых даёт одинаковые затраты, а прямая, соответствующая этому уравнению называется прямой равных издержек или изокостой.

Рост бюджета или снижение цен на ресурсы сдвигает изокосту вправо в плоскости затрат ресурсов. (Рисунок 4.1)

Пусть технология производства определяется некоторой изоквантой Q(Y₀), а ограничение по бюджету задается условием (4.1). Нарисуем в плоскости ресурсов соответствующие изокванту и изокосту (рис.4.2).

Точки пересечения изокванты и изокосты A и B определяют возможные варианты технологии (варианты использования ресурсов) в рамках имеющегося бюджета. Но при данном бюджете возможен и больший выпуск продукции, чем Y₀, при этом область возможного изменения технологии сужается. Максимальный выпуск будет в точке касания изокосты и изокванты, в которой будет единственная оптимальная технология. Точка максимального выпуска определяет равновесие производителя.

В точке касания T изокоста и изокванта имеют одинаковый наклон. Так как тангенс угла наклона касательной к изокванте равен предельной норме замещения ресурсов, справедливо следующее соотношение:

(4.2)

Таким образом, предельная норма замещения ресурсов в точке максимального выпуска при данном бюджете равняется отношению цен на ресурсы.

Задача оптимального поведения производителя может быть сформулирована следующим образом:

Найти точку оптимального выпуска , удовлетворяющего ограничениям:

(4.3)

и обращающего функцию выпуска в максимум.

Такие задачи называют задачами условной оптимизации. Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независимые переменные удовлетворяют условию (ограничению) (4.2).

Если функция линейна то сформулированная задача является задачей линейного программирования и решается соответствующими методами. Если функция не линейна, то задача может быть решена сведением к задаче безусловной оптимизации специально построенной функции Лагранжа: , где

Функция Лагранжа L(X1, X2,l) представляет собой сумму целевой функции и функции ограничения (4.2), умноженного на новую независимую переменную l (называемую множителем Лагранжа), входящую обязательно в первой степени.

Если функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным , то необходимое и достаточное условие экстремума представляет равенство нулю частных производных по переменным:

(4.4)

Для нашей задачи эти условия можно записать следующим образом:

(4.5)

Второе соотношение системы (4.5 – это бюджетное ограничение. Из первого соотношения находим:

. (4.6)

Это выражение называют условием равновесия предприятия на рынке факторов производства.

Проанализируем экономический смысл величины . Здесь – предельная производительность единицы i- го фактора производства. Но тогда есть предельная производительность такого количества i -го фактора производства, которое можно купить за единицу денег, напр., за 1 руб. Следовательно, величина отражает эффективность вложения дополнительного рубля в закупку i -го фактора. Ясно, что закупленный набор факторов производства оптимален тогда и только тогда, когда эффективности вложения дополнительного рубля во все факторы равны между собой. Если это не так, то можно повысить производительность набора факторов, сократив закупки одних факторов и увеличив закупки других. Покажем это.

Выделим факторы k и l так, что > . Тогда, сократив закупки i -го фактора на 1 руб. и затратив высвободившийся рубль на закупку k -го фактора, можно увеличить производительность всего набора. Следовательно, до такого перераспределения набор не был оптимальным.

Выражение равновесия фирмы на рынке факторов производства есть полный аналог второго закона Госсена в теории предельной полезности. В теории предельной производительности этот закон можно сформулировать следующим образом: для оптимального набора факторов производства выполняется условие – предельные эффективности вложения единицы денег во все факторы производства равны между собой.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

· в точке оптимального выпуска цены пропорциональным производительностям ресурсов: ;

· отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению цен:

, (4.7)

· предельная производительность, приходящаяся на расходуемую денежную единицу, должна быть одинаковой для всех покупаемых товаров:

, Здесь l есть предельная эффективность вложения денег в любой из факторов производства.

Пример

Производственные способы.

До настоящего момента изучались производственные функции с единственным продуктом. Теперь перейдем к описанию методов моделирования производственных единиц с несколькими продуктами и рассмотрим наиболее распространенный из них, основанный на концепции производственного способа.

Функциями других типов.

Сравнивая описание производственной единицы на основе понятия производственного способа с линейной однородной функцией затрат (6.10), можно заметить, что в случае единственного продукта эти описания совпадают. Действительно, поскольку в (6.15) Y⁰> 0, то и ,

т.е. где.

В свою очередь эта функция затрат соответствует функции выпуска с постоянными пропорциями . (6.16)

Таким образом, понятие производственного способа является обобщением функции затрат (6.10) и функции выпуска (6.16).

Описание производства на основе понятия производственного способа логически связано не только с функцией выпуска с постоянными пропорциями и линейной однородной функцией затрат, но и с более сложными производственными функциями.

Структурный подход (СП)

При использовании структурного подхода изучаемую производственную единицу разбивают на более элементарные, связанные балансовыми соотношениями. Это деление производят до тех пор, пока не удается дойти до простейших актов процесса производства, о которых можно судить, например, по конструкторско– технологическим параметрам оборудования.

Эти чисто технологические параметры определяются в процессе конструирования и опытной эксплуатации оборудования и служат основой для расчета нормативов, регламентирующих затраты ресурсов, производительность оборудования и прочее.

В свою очередь эти нормативы являются информационной основой для построения ПФ, обычно функции затрат, для элементарных производственных единиц (отдельных видов оборудования).

Например, известен расчет себестоимости изделий, в зависимости от их технологических параметров, применяемый в машиностроении.

X = f(a,b, c, ….)

Себестоимость рассматривается как функция от параметров a,b,c, и т.д. Где a– вес изделия, b– мощность станка,c– потребляемая энергия.

В ряде случаев расчет этой ПФ позволяет довольно точно определить уровень себестоимости новой машины в зависимости от выбранных параметров, что является чрезвычайно важным, например, для перспективного планирования.

На основе производственных функций для таких “самых элементарных” производственных единиц можно было бы построить производственные функции для более сложных экономических объектов — участков, цехов. Модель предприятия, использующая производственные функции цехов, должна позволить построить производственную функцию предприятия, которая может служить основой для построения производственных функций объединении, отраслей (или экономических районов) и в конце концов народного хозяйства в целом. Такова в общих чертах программа первого подхода к построению производственных функций.

Как уже отмечалось, в экономике большую роль играют социально-экономические факторы, поэтому нормативы, рассчитанные на основе технологических и технических параметров, будут характеризовать лишь предельные возможности оборудования, а построенные на их основе ПФ будут описывать идеальное производство.

В действительности же производительность оборудования и затраты ресурсов могут значительно отличаться от нормативов. Ситуация становится еще более сложной при переходе от простых производственных объектов к более сложным типа участка, цеха и прочее.

Поэтому, если не учитывать социально–экономический фактор, структурные модели можно использовать для построения теоретических ПФ, опирающихся на предположения о рациональной организации производства. На основе производственной функции можно составить представление об идеально функционирующем производстве, оценить его потенциальные возможности и на этой основе выявить потери, возникающие из-за недостатков экономического механизма.

Построение адекватной, отражающей реальность производственной функции при использовании структурного подхода требует описания социально экономических процессов. Пока уровень современной науки не позволяет построить такие экономические модели, поэтому в настоящее время наибольшее распространение получили ПФ, опирающиеся на функциональные модели производственных единиц.

Функциональный подход.

Построение функциональной модели некоторого объекта исследования базируется на методе "ЧЕРНОГО ЯЩИКА", идея которого состоит в следующем: вместо того, чтобы пытаться описать сложную внутреннюю структуру объекта, следует построить относительно простые функции, связывающие реакцию объекта на внешние воздействия с величинами этих воздействий. При этом параметры функции выбирают так, чтобы она приблизительно отражала результаты наблюдений за моделируемым объектом.

При построении ПФ, "черным ящиком" является изучаемая экономическая единица, внешними воздействиями (входами) обычно являются затраты ресурсов, а реакцией (выходом)– получаемая продукция.

На основе функционального подхода, по существу, строится эконометрическая модель производственного процесса, поэтому основные этапы построения производственной функции соответствуют основным этапам построения эконометрической модели, при этом при подготовке исходных данных, выборе модели следует учитывать экономическую сущность производственной функции и ее свойства.

Метод "черного ящика" в настоящее время является наиболее распространенным. Главным недостатком этого метода является неявное предположение о сохранении в ПФ тех тенденций, которые наблюдались в прошлом, так как параметры ПФ выбираются на основе статистических наблюдений, которые имели место в прошлом. Даже если в производственной функции учитывается в той или иной форме зависимость производства от времени(скажем, технический прогресс),то эта зависимость также строится на основе прошлого опыта. В результате при построении производственной функции на основе функциональных моделей приходится основываться на “взгяде в прошлое”. Если производственная единица действовала в прошлом неэффективно, то ПФ также отразит эту неэффективность, а планирование деятельности производственной единицы на основе такой ПФ приведет к неэффективности производства в будущем.

Недостатки функционального и недостаточное развитие структурного моделирования иногда пытаются компенсировать на основе синтеза этих методов, а именно:

· исследуемую производственную единицу разбивают на элементарные производственные единицы, которые описывают с помощью функциональных моделей.

· на основе этих моделей строят производственную функцию исследуемого объекта в целом.

При исследовании экономико–математических моделей необходимо отчетливо представлять, что ПФ являются довольно условным описанием реальных свойств производственных объектов. Поэтому при интерпретации и использовании результатов исследования следует не выходить за пределы, в которых модель верна. Это сильно ограничивает возможность непосредственного применения экономико–математических методов в практической деятельности и требует разработки специальных методов анализа результатов экономико–математического исследования.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: