Основные виды производственных функций

В зависимости от характера производственного процесса, целей и средств моделирования в качестве производственных функций используются неотрицательные функции весьма разнообразного типа. Однако, наиболее часто используются функции, удовлетворяющие второму, третьему и четвертому свойствам. Эти свойства называют неоклассическими критериями, а функции–производственными функциями неоклассического типа. Рассмотрим производственные функции выпуска. В зависимости от числа производственных факторов, включенных в производственную функцию, их делят на однофакторные и многофакторные. В таблице 5.1 представлены основные типы однофакторных функций.

Рассмотрим многофакторные функции выпуска.

· предельные производительности факторов постоянны:

;

· в нуле функция принимает нулевое значение:

· функция однородная первой степени (для однородной линейной функции):d=1

· эластичность замены факторов бесконечна:s=0

· эластичности выпуска по факторам обратно пропорциональны его средней производительности:

Линейная функция применяется обычно для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий.

Особую роль играет предпосылка о постоянстве предельных производительностей факторов или об их неограниченной замещаемости.

Степенную функцию часто представляют в более удобном логарифмическом виде:

Аппарат производственных функций начал использоваться для исследования производственных процессов именно на основе степенных функций, которые были предложены американским учёными К. Коббом и П. Дугласом для описания связи между объемом общественного продукта (Y) и двумя важнейшими ресурсами: трудовыми(X₂) и основными фондами (X₁):

Функции вида (5.3) – (5.6) называют функциями Кобба–Дугласа.

Рассмотрим предпосылки, выделяющие эти функции в отдельный класс (на примере двухфакторной функции).

B нуле функция принимает нулевое значение:

Предельная производительность каждого фактора пропорциональна его средней производительности:

Предельная производительность получается из средней умножением на коэффициент пропорциональности a₂ <1, поэтому MP<AP.

MP>0,поэтому функция монотонно возрастающая. В силу того, что

при стремлении

к нулю предельная эффективность J–го ресурса стремится к бесконечности, а при стремлении

к бесконечности предельная эффективность стремится к нулю (при постоянных объемах других ресурсов).

Эластичности выпуска по факторам постоянны:

3. Выполняется закон падающей эффективности:

(

<0 (все сомножители кроме (a₁-1) положительны, (a₁-1)<0. Это означает, что, если, например, увеличивать затраты труда без увеличения затрат основных фондов производительность труда падает.

4. Функция является однородной первой степени: d=1(так как

), следовательно, эластичность производства равна единице и функция характеризует постоянную отдачу от расширения масштабов производства.

Итак, степенная функция удовлетворяет всем четырем предположениям о производственных функциях, сформулированных ранее.

Норма замещения факторов зависит от точки изокванты, в которой она рассматривается (зависит от выбранной технологии). Предельные нормы замещения являются линейными функциями отношения объемов ресурсов, поэтому изоклинали степенной производственной функции–плоскости, а для двухфакторной–прямые линии, выходящие из начала координат. При пропорциональном росте объемов производственных ресурсов предельная норма не изменяется.

При стремлении количества замещаемого ресурса к нулю предельная норма замещения падает, но возможность замещения сохраняется при любых малых (но не равных нулю) количествах замещаемого ресурса.

Изокванты степенной функции неограниченно приближаются к оси координат при стремлении объема ресурса к бесконечности. Это означает, что заранее заданное количество продукции может быть выпущено при сколь угодно малом количестве одного из ресурсов, если имеется достаточное количество другого ресурса. Это свойство изоквант для двухфакторной функции переносится и на функции с любым числом факторов: одним производственным ресурсом можно компенсировать недостаток всех остальных ресурсов.

5.Эластичность замещения факторов постоянна и равна единице:

Представим отношение ресурсов

как функцию предельной нормы замещения:

Равенство единице эластичности замещения вне зависимости от параметров функции является одним из важнейших свойств производственных функции этого типа. Оно показывает, что характеристика замещения одного ресурса другим при выборе степенных функций задана заранее вне зависимости от желания исследователя. В то же время это является одним из недостатков степенной производственной функции.

Равенство единице эластичности замещения и неограниченная возможность компенсации одних ресурсов другими часто вступает в противоречие со свойствами моделируемых экономических процессов, В связи с этим в последние десятилетия все чаще используются производственные функции, близкие к степенной, но отличающиеся от нее возможностями замещения ресурсов. Такие функции характеризуются эластичностью замещения не равной единице.

Функция Кобба—Дугласа чаще всего используется для описания среднемасштабных хозяйственных объектов (от производственного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием (вовлечение новой единицы ресурса приносит эффект, пропорциональный средней производительности имеющегося ресурса).

Функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью замены вида:

путем предельного перехода

III. Функция постоянной эластичности замены факторов

Рассмотрим класс производственных функций вида:

где а₀,a₁,a₂,p,d–положительные параметры. Функцию (5.8) иногда записывают в более удобной форме, эквивалентной исходной при

В качестве примера функции типа (5.8) рассмотрим функцию с двумя производственными факторами: . (5.10)

Переменные будем интерпретировать также, как в функцией Кобба–Дугласа.

Эти функции имеют много общего с функциями Кобба–Дугласа:

· в нуле функция принимает нулевое значение:

;

· Функции монотонно возрастают. Найдем предельную эффективность первого ресурса. Для этого продифференцируем (5.9) по X₁ _:

· На основе (5.11) можно показать, что предельная эффективность ресурса падает с ростом его объема при постоянных количествах других ресурсов, выполняется закон убывающей предельной эффективности.

· Эластичность выпуска по j- ему ресурсу имеет вид:

(5.12)

Таким образом, для функции (5.8) эластичности выпусков по ресурсам, в отличие от степенных функций, уже не постоянны, т. е. отношение предельной эффективности ресурса к его средней эффективности изменяется. При фиксированных затратах остальных ресурсов уменьшение количества j-го ресурса приводит к увеличению эластичности выпуска до величины d, неограниченное увеличение — к падению эластичности выпуска по этому ресурсу до нуля. Поэтому отношение предельной эффективности ресурса к средней эффективности падает с ростом используемого объема ресурса

· функция однородна, степень однородности равняется d. Легко показать на основе соотношения (5.12), что сумма эластичностей по всем ресурсам равняется d. Следовательно, эластичность производства равняется d. и не зависит от соотношения ресурсов. В зависимости от величины d функция характеризует различный эффект от расширения масштабов производства.

Итак, четыре основные свойства производственных функции выполняются. Рассмотрим вопрос о замещении ресурсов. Предельные нормы замещения имеют вид:

Таким образом, предельные нормы замещения зависят от отношения ресурсов, причем так же, как и в случае степенных функций, изоклинали являются плоскостями, а при пропорциональном увеличении количеств обоих ресурсов предельная норма замещения не меняется.

Подсчитаем эластичность замещения. Для этого прологарифмируем соотношение (5.13):

Таким образом, хотя функции типа (5.8) по-прежнему имеют постоянную эластичность замещения ресурсов, эта эластичность, в отличие от степенных производственных функций, не равна единице и меняется при изменении параметра p от единицы (при p =0) до нуля (при p ®¥).

Из-за этого свойства производственные функции (5.8) получили название производственных функций с постоянной эластичностью замещения, или, сокращенно, ПЭЗ-функций. Распространено также название СЕS-функции от английского названия Сопstant Elasticity of Substitution.

Обратим внимание на тот факт, что при p ®0 все характеристики функций с постоянной эластичностью замещения (имеются в виду: e_i, e, g_ij, s(X_i, X_j)) стремятся к соответствующим характеристикам степенной производственной функции. Можно показать, что и сама СES функция стремится к степенной функции (5.3) при p ®0. Проведем предельный переход, используя логарифмическую форму CES функции. Применим при p ®0. правило Лопиталя:

Таким образом, степенная производственная функция оказывается предельным случаем производственной функции. с постоянной эластичностью замещения, которая в свою очередь является обобщением степенной функции.

Рассмотрим вопрос о том, что произойдет с производственной функцией CES в том случае, когда параметр p стремится к своему другому пределу, т. е. p ®¥.

Очевидно, что согласно (5.14) в этом случае s®0, т. е. эластичность замещения также стремится к своему другому крайнему значению. Попытаемся построить функцию

с нулевой эластичностью замещения путем предельного перехода в функции CES при p ®¥.

(исследование проведем для случая двух ресурсов и d =1.

Сделаем замену переменных:

, тогда (5.15) запишется:

Первое слагаемое в скобках стремится к нулю, если

и a₁, если

. Поэтому все выражение под знаком предела стремится к единице и

Таким образом, в целом функция

может быть представлена в виде:

Функция (5.17) –это функция с фиксированными пропорциями с эластичностью замещения, равной нулю.

Функция CES применяется в случаях, когда отсутствует точная информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и вместе с тем есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменяется при изменении объемов вовлекаемых ресурсов. Иными словами, экономическая технология обладает определенной устойчивостью по отношению к пропорциям факторов. Функция CES (при наличии средств оценивания ее параметров) может быть использована для моделирования систем любого уровня.

IV. Функция с фиксированными пропорциями факторов

Предпосылки, выделяющие функции такого вида следующие:

–вектор параметров, задающий рациональную структуру использования ресурсов. Если ресурсы используются в соответствии с вектором

,то выпуск продукции Y=Y₀. Вектор

можно интерпретировать как вектор норм затрат ресурсов.

Если вектор ресурсов удовлетворяет соотношению

, (5.7)

где t– неотрицательныйскаляр, то ресурсы расходуются рационально, а выпуск продукции определяется как

2. B нуле функция принимает нулевое значение:

3. Замена ресурсов невозможна. Полагают, что эластичность замены между любыми двумя факторами равна нулю (s=0). Действительно, всякое отклонение затрат ресурсов от структуры, заданной соотношением (5.7), приводит к нерациональному использованию части ресурсов. Покажем это.

Пусть затраты ресурсов задаются вектором

где

. Посмотрим, приведут ли добавки ресурсов

к увеличению выпуска продукции. Вычислим выпуск продукции Y.

Т.е. выпуск продукции имеет ту же величину, что и при затратах

. Следовательно, ресурсы, описываемые вектором

, были затрачены без какой либо пользы, они не смогли заменить недостающий n –ый ресурс. Таким образом, замещение ресурсов здесь невозможно не только тогда, когда какой либо ресурс отсутствует полностью, но и когда он имеется. Это позволяет ввести понятие лимитирующего ресурса, т.е. такого, для которого достигается

Остальные ресурсы являются избыточными. Увеличение лимитирующего ресурса (их может быть несколько) приводит к повышению выпуска продукции.

Если для всех ресурсов выполняется соотношение

,то все ресурсы лимитирующие и избыточных нет.

3. Функция является однородной первой степени (d=1),следовательно, эластичность производства равна единице и функция характеризует постоянную отдачу от расширения масштабов производства.

4. Функция представляет решение следующей задачи линейного программирования:

(5.8)

5. Функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью замены вида:

предельным переходом при

6. Рассмотрим двухфакторную функцию Леонтьева:

Пусть

(5.9),

(первый ресурс является лимитирующим). Функция в этом случае запишется:

.Тогда, если ресурс лимитирующий, предельная эффективность первого ресурса MP=

, и равна нулю, если ресурс избыточный.

В точке D

–это точка рационального расхода ресурсов, в ней оба ресурса являются лимитирующими. После точки D первый ресурс становится избыточным и его предельная эффективность равна нулю.

Если

, (первый ресурс лимитирующий), то уравнение изокванты для выпуска Y₁ будет: или . Если первый ресурс избыточный, то уравнение изокванты: или .

Линия OS–линия рационального расхода ресурсов, на ней выполняется условие:

и оба ресурса –лимитирующие.

Изокванты наглядно показывают, что увеличение затрат не лимитирующего ресурса не приводит к возрастанию выпуска продукции: например, на рисунке при

первый ресурс–избыточный и при его увеличении мы все равно имеем объем выпуска, равный Y₁.

Если увеличить лимитирующий ресурс X₁, то увеличится выпуск продукции и перейдем к другой изокванте, лежащей выше (дальше от начала координат)

Анализируя свойства ПФ с постоянными пропорциями, можно прийти к выводу о том, что функция позволяет ввести в модель понятие технологии производства, задаваемой структурой затрат и зависимостью выпуска от масштабов производства. Это делает функцию Леонтьева пригодной для моделирования отдельных производств.

Функция Леонтьева предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции. Обычно используется для описания мелкомасштабных или полностью автоматизированных производственных объектов.

Эта функция однозначно задается следующим условиями:

· скорости роста предельных производительностей постоянны и предельные

производительности являются убывающими функциями:

Это означает, что если увеличивать затраты какого–либо ресурса оставляя неизменными затраты другого, эффективность использования этого ресурса падает (выполняется закон убывающей производительности).

· функция однородная второй степени: d =2 и эластичность производства e =2,т.е. при одновременном увеличении затрат ресурсов в t раз выпуск продукции увеличится в 2t раз.

· ресурсы должны использоваться в определенной пропорции, иначе неограниченное увеличение любого может привести к падению выпуска продукции (выходу за пределы экономической области):

® (

),тогда, чтобы оставаться в экономической области при увеличении затрат ресурса X₁ должно выполняться следующее соотношение:

Поэтому функция Аллена предназначена для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост одного из факторов оказывает отрицательное воздействие на объем выпуска. Обычно используется для описания мелкомасштабных производств с ограниченными возможностями в переработке ресурсов.

VI.Функция с линейной эластичностью замены факторов (функцияLЕS )

эластичность замены факторов по Аллену является линейной функцией от отношения факторов с единичным свободным членом:

Найдем предельную норму замещения факторов:

Функция L ЕS рекомендуется для описания производственных процессов, у которых (в отличие от описываемых функцией СЕS) возможность замещения вовлекаемых факторов существенно зависит от их пропорций, причем при низком уровне

близка к единице, а с ростом

неограниченно возрастает. Такая ситуация возможна, например, если рост ресурса X₁ связан с общим расширением производства, появлением множественных технологических процессов с широкими возможностями комбинирования.

Функция характеризуется тем, что величина процентного изменения предельной нормы замены факторов, вызванного увеличением любого фактора на один процент, не зависит от начального уровня факторов:

Функция Солоу может использоваться примерно в тех же ситуациях, что и функция CES, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок функции CES (в частности, не требуется предположения об однородности). Это позволяет рекомендовать ее (при наличии соответствующих средств оценки параметров) в тех случаях, когда предположение об однородности представляется неоправданным, например, когда влияние на объем выпуска увеличения каждого из факторов проявляется совершенно различным образом. Функция Солоу может моделировать системы любого масштаба.

функция моделирует процесс, в котором при малых значениях одного из факторов выпуск пропорционален объему этого фактора, при больших — описывается функцией СЕS. Функцию можно рассматривать как решение задачи оптимизации относительно переменной Y.

Подобным образом могут быть построены ограниченные функции Кобба—Дугласа, Солоу и др.

Ограниченная функция СЕS предназначена для описания двухрежимного производственного процесса, в котором один из режимов характеризуется отсутствием заменяемости факторов, другой — ненулевой постоянной (но не известной заранее) величиной эластичности замены. При этом переход от одного режима к другому осуществляется в зависимости от уровня лимитирующего первый режим фактора.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: