Функции затрат и производственные способы

Рассмотрим функцию выпуска с одним продуктом и единственным ресурсом. Пусть эта функция непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям: (6.1)

В этом случае согласно известной теореме об обратной функции существует непрерывно дифференцируемая обратная функция X=Н(Y). Это–функция затрат. Она задана при тех значениях переменной Y, которые принимает функция f(X) при всех X³0. В качестве примера функции f(X) можно рассмотреть функцию выпуска ,для которой обратная функция имеет вид: .

Рассмотрим свойства функции затрат X=Н(Y). Из f(0)=0 следует

Н(0)=0, (6.2)

т. е. в случае отсутствия выпуска продукции тратить ресурс нет необходимости. Из следует, что

(6.3)

т. е. с ростом выпуска продукции затраты ресурса растут. Функцию принято называть предельными затратами ресурса. Как видно из (6.3), предельные затраты ресурса обратно пропорциональны предельной эффективности ресурса. Предположим, что для функции f(X) выполнено пред-положение об убывании предельной эффективности ресурса, т. е. . Тогда из (6.3) получаем, что функция монотонно возрастает и

>0 (6.4)

Введем понятие средних (удельных) затрат ресурса g (Y) = . Отношение предельных затрат ресурса к средним удовлетворяет соотношению:

,где e (X) –эластичность выпуска по ресурсу X.

При выполнении предположения о том, что , получаем e (х) < 1. Поэтому в таком случае предельные затраты ресурса больше средних. Для функции затрат (2.7), порождаемой функцией выпуска (2.6), получаем

Графики функций Н(у), Н^’(у), Н^’’(у),g(у) и для функции затрат при a==0,5 приведены на рис.6.1.

Подчеркнем, что функция выпуска с одним продуктом и единственным ресурсом и соответствующая ей функция затрат эквивалентны: замена одной из них на другую не может привести к новым представлениям или дать преимущества при моделировании производственных единиц. Иное дело в случае нескольких ресурсов.

Функция затрат для нескольких ресурсов и одного продукта имеет следующий вид:

(6.5)

Потребление каждого из ресурсов задается однозначной функцией количества выпускаемой продукции. Замещение ресурсов здесь невозможно. Ресурсы в функции затрат являются взаимодополняющими: объемы потребления ресурсов определяются жесткими технологическими условиями, нехватка хотя бы одного из ресурсов не позволяет полностью использовать остальные ресурсы. Таким образом, описание производства с помощью функций затрат принципиально отличается от его описания с помощью функ-ции выпуска, где, вообще говоря, замещение ресурсов допустимо

Относительно функций затрат (6.5) формулируются предположения, близкие по характеру к свойствам функции затрат с одним ресурсом. Прежде всего, для простоты часто предполагается, что функция затрат является дважды непрерывно дифференцируемой. Далее считается что

1. , , (6.6),

т.е. при отсутствии производства ресурсы не нужны;

2. , (6.7)

т.е. рост производства требует увеличения количества используемых ресурсов.

3. Иногда делается следующее предположение:

, (6.8)

т.е. предельные затраты с ростом производства растут. Такое свойство может иметь место при недостаточных темпах технического прогресса, как свойство убывающей предельной производительности для функции выпуска.

Часто за счет концентрации производства имеется противоположный эффект–с ростом объема производства предельные затраты падают. В таких случаях вместо предположения (6.8) используется противоположное предположение: , (6.9)

т.е с ростом производства предельные затраты не возрастают. В этом случае предельные затраты оказываются не больше средних, причем средние затраты также убывают с ростом выпуска продукции. Встречаются также функции затрат, для которых в некоторых диапазонах затрат выполняется соотношение (6.8), в других–соотношение (6.9). Такая ситуация может возникнуть, если при росте выпуска Y сначала основное влияние оказывает экономия ресурсов за счет концентрации производства, а при слишком большом выпуске эффективность начинает падать.

Некоторые виды функций затрат. Опишем некоторые характерные функции затрат с одним продуктом. Наиболее простая функция затрат – линейная однородная функция: (6.10)

где а_i – неотрицательные параметры

Для функции (6.10) выполняются предположения (6.6), (6.7). При этом средние затраты g(Y) и предельные затраты совпадают и равны а.

Близка к линейной функции затрат линейная неоднородная функция:

(6.11)

где d_i – неотрицательные параметры. В этом случае затраты не равны нулю даже тогда, когда продукция не выпускается. Эта функция может быть использована в тех случаях, когда приходится заранее делать капиталовложения, объем которых не зависит от масштабов производства. Так как для функции (6.11) по крайней мере для некоторых ресурсов имеем то предположение (6.6) здесь не выполняется. Поскольку , то предположение (6.7) выполняется по-прежнему. При анализе функции (6.11) представляет интерес соотношение между предельными и средними затратами. Здесь средние затраты имеют вид:

Поэтому при d_i > 0 и , т.е.

средние затраты для функции (6.11) превосходят предельные и стремятся к ним при стремлении выпуска к бесконечности.

Для того чтобы по нарушать предположения (6.6) о нулевых затратах при нулевом выпуске, иногда вместо функции (6.11) используют близкую к ней функцию затрат:

(6.12)

Эта функция обладает одним существенным недостатком -- она имеет разрыв в точке нуль, что затрудняет исследование моделей, в которых она используется. Функции (6.11) и (6.12) применяются на практике достаточно часто благодаря тому, что они хорошо описывают закономерности производства во многих экономических системах.

В качестве функции затрат, характеризующейся возрастающими или' убывающими предельными затратами ресурсов, можно привести степенную функцию затрат: (6.13),

где –положительные параметры (рис.6.2).

Для нее ,

,

Если a_i <1,то это—функция с убывающими предельными затратами.. Для нee , т. е. предельные затраты меньше средних. Если a_i >1, то это—функция с возрастающими предельными затратами. Для нее , т. е. предельные затраты больше средних. В зависимости от свойств моделируемой производственной единицы может быть выбрана та или иная величина a_i.

В отличие от функций выпуска, которые обычно применяются для описания сложных производственных единиц типа народного хозяйства в целом, функции затрат чаще всего применяются для описания производства в относительно простых экономических системах. Разнообразие производственных объектов такого типа приводит к тому, что встречается большое число различных типов функций затрат. Более того, при описании одной и той же производственной единицы могут использоваться различные функции затрат для ресурсов разных типов. Так, в некоторых моделях затраты сырьевых ресурсов описываются линейными однородными функциями типа (6.10), а затраты трудовых ресурсов и основных фондов – степенными функциями, характеризующими экономию затрат, связанную с увеличением масштабов производства.

Производственные способы.

До настоящего момента изучались производственные функции с единственным продуктом. Теперь перейдем к описанию методов моделирования производственных единиц с несколькими продуктами и рассмотрим наиболее распространенный из них, основанный на концепции производственного способа.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: