|
Разработка алгоритма построения графиков функцийПроведите полное исследование следующих функций и постройте их графики: Пример 1. Построить график функции Решение. 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) График функции пересекает ось 3) Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то вертикальных асимптот нет. Далее, из существования предела k= следует, что b=
т.е. наклонных асимптот нет, а прямая y=1 - горизонтальная асимптота. 4) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную: f ′ (x)= Решая уравнение 5) Для нахождения критических точек вычислим вторую производную: f ′′(x)= Решая уравнение 4x(3
6) Строим вспомогательный рисунок (рис. 2.1) и исследуем знак первой и второй производных. Получаем, что на ( 7) По полученным данным строим график функции (рис.2.2).
Упражнения. Построить графики следующих функций: 1) f(x)= Пример 2. Построить график функции f(x)= Решение. 1) Функция определена при x > 0, т.е. в интервале 0< x <+ 2) График функции пересекает ось 3) Вертикальной асимптотой является прямая x=0, так как k= (здесь так же было использовано правило Лопиталя). Таким образом, k=b=0, т.е. наклонных асимптот нет; прямая y=0 4) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную: f ′ (x)= 5) Для нахождения критических точек вычислим вторую производную: f ′′(x)=
6) На вспомогательном рисунке (рис.2.3) исследуем знак первой и второй производных. Получаем, что на (0,е) производная f′(1)= f′′( 7) На основании полученных данных строим график функции (рис.2.4).
Упражнения. Построить графики следующих функций: 1) f(x)=xln x. 2) f(x)= ?Вопросы для самопроверки 1. Дайте определения локального экстремума функции. 2. Может ли функцияиметь несколько локальных экстремумов? 3. Может ли локальный максимум некоторой функции оказаться меньше какого-то локального минимума этой же функции? 4. Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие локального экстремума. Покажите на примере, что это условие не является достаточным. 5. Какие точки называются точками возможного экстремума функции? 6. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие локального экстремума. 7. Дайте определение направления выпуклости графика функции. 8. Сформулируйте теорему, с помощью которой решается вопрос о направлении выпуклости графика функции. 9. Дайте определение точки перегиба графика функции. 10. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба графика функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным. 11. Какие точки называются критическими? 12. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба графика функции. 13. Может ли функция иметь экстремум в точке перегиба графика функции? 14. Дайте определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот. Приведите примеры. 15. Докажите следующее утверждение: Если прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x и, обратно, если оба предела существуют, то прямая y=kx+b, является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x 16. Приведите схему построения графика функции.
![]() ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|