Перестановки та комбінації з повторенням

Глава 1

Елементи комбінаторики

Розглянемо скінченну множину елементів, з яких будемо утворювати підмножини. Наприклад, множину букв, цифр, або інших об’єктів. Підмножинами можуть бути сполучення букв, цифр і ін. Так із множини цифр 0, 1, 2,..., 9 можна утворити різні підмножини (сполучення): 123, 312, 90735, 1991, 48 і. т. д. Деякі з них, такі як 123, 312, відрізняются порядком цифр, інші, наприклад, 90735 і 48, відрізняются цифрами, а також їх кількістю.

Означення. Різні підмножини, що утворені із яких-небудь елементів і відрізняються одна від одної або самими елементами, або порядком їх розташування, називаються сполуками.

Елементи, з яких утворюються сполуки позначаються буквами .

Серед сполук розрізняють основні види: розміщення, перестановки, комбінації, а також їх види з повтореннями. Далі ми детально розглянемо кожний з цих видів сполук.

Область математики, у якій вивчається питання про кількість різних сполук, які підпорядковані тим чи іншим умовам, і які можна скласти із заданих елементів, називається комбінаторикою.

Розміщення

Нехай дано три елементи . З них можна утворити такі сполуки:

1) по одному елементу:

;

2) по два:

;

3) по три:

.

Якщо, наприклад, розглянути сполуки по два елементи, то деякі з них відрізняються елементами , інші – порядком елеметів . Такі сполуки називаються розміщеннями із 3 – х елементів по 2.

Означення 1. Розміщеннями із n елементів по m називаються такі сполуки, які містять по m елементів, взятих із даних n елементів, і які відрізняються одна від одної або елементами, або порядком елементів.

Число розміщень позначається .

Із наведених вище прикладів ми бачимо, що , , .

Теорема. Число всіх можливих розміщень із елементів по дорівнює добутку послідовних натуральних чисел, з яких найбільшим є , тобто

. (1)

Дійсно, нехай нам дано елементів

.

Розглянемо розміщення по одному елементу. Зрозуміло, що їх буде , тобто

.

Тепер розглянемо, які можливі розміщення по 2 елементи. Щоб їх отримати, ми допишемо до кожного з даних елементів ще по одному, взятих із решти елементів. Так, до елемента допишемо послідовно решту елементів: ; до елемента послідовно решту елементів і т. д. Отримаємо всі розміщення із елементів по 2:

Записано рядків , а число всіх розміщень в кожному з цих рядків . Загальна кількість всіх розміщень дорівнює добутку на , тобто

.

Щоб отримати розміщення по 3 елементи в кожному, нам потрібно до кожної із записаних пар елементів долучити ще по одному елементу із елементів, що залишились.

Наприклад, до потрібно долучити один із елементів . Тоді всіх розміщень по 3 елементи буде:

і т. д. На -му кроці отримаємо формулу (1).

Приклад 1. Студенти групи вивчають 9 навчальних дисциплін по 3 пари щоденно. Скількома способами можна розподілити пари на день?

Розв’язання Усі можливі способи розподілу пар на день являють собою, очевидно, всі можливі розміщення із 9 елементів по 3, тому їх кількість дорівнює

.

У деяких задачах зустрічаються розміщення з повтореннями.

Означення 2. Розміщеннями із n елементів по m з повтореннями називаються такі сполуки, які містять по m елементів, взятих із даних n елементів, причому окремі елементи можуть появлятися раз.

Число розміщень з повтореннями позначаються через і обчислюються за формулою

. (2)

Приклад 2. Автомобільний номер складається із 5 цифр (із набору 0, 1, 2, 3,..., 9) і 2 букв. У сполуках із букв для номерів автомобілів, які зареєстровані у Дніпропетровській області, на першому місці ставиться буква А, на другому – одна з букв А, Б, В, І, К, Н. Скільки автомобільних номерів можна скласти в області?

Розв’язання. Числова частина номера є одним з розміщень із по з повтореннями. Їх кількість

,

із них необхідно виключити розміщення 000-00, бо такий номер не використовується, тобто всіх числових сполук буде

.

Кількість сполучень букв, а вони рахуються за другими буквами для області (перша буква – фіксована), буде шість. Загальне число всіх автомобільних номерів при згаданій системі дорівнює:

.

Перестановки

Означення. Перестановками називаються розміщення із елементів по і позначаються .

Згідно з означенням

.

Добуток всіх натуральних чисел від 1 до позначається (читається факторіал).

Таким чином,

.

Тоді формула для обчислення кількості перестановок запишеться:

. (3)

При цьому мається на увазі, що .

Зауваження. Іноді зустрічається позначення . Прийнято вважати за означенням, що .

Приклад. Скільки п’ятизначних телефонних номерів, можна скласти використовуючи цифри 3, 4, 5, 6, 7 (без повторень)?

Розв’язання. Оскільки кожний номер телефона складається з п’яти цифр і за умовою використовуються тільки названі 5 цифр, то такі номери будуть відрізнятися тільки порядком цифр, тобто це будуть перестановки, і їх кількість доріврнює:

.

Комбінації (сполучення)

Означення. Комбінаціями (сполученнями) із елементів по (позначається ) називаються ті розміщення із елементів по , які відрізняються хоча б одним елементом.

Число комбінацій обчислюється за формулою

. (4)

Формулу (4) пояснимо на такому прикладі. Нехай дано чотири елемента , комбінаціями з цих елементів по 3 будуть:

.

(Порядок елементів в комбінаціях ролі не грає). Якщо в кожній з цих комбінацій зробити всі можливі перестановки, то дістанемо всі можливі розміщення з чотирьох елементів по 3:

Число таких розміщень дорівнює .

Таким чином, число всіх розміщень з елементів по дорівнює числу всіх можливих комбінацій елементів по , помноженому на число всіх перстановок, які можна зробити із елементів, тобто

,

звідки і випливає формула (4).

В данному прикладі

.

Домножимо чисельник і знаменник у формулі (4) на , тоді отримаємо

. (5)

За означенням приймають . Це означення можна отримати із формули (5), якщо прийняти до уваги, що (див. зауваження в 1. 2).

Зауваження. При обчисленні числа комбінацій іноді зручно користуватись співвідношенням:

. (6)

Дійсно, якщо за формулою (5) записати , то отримаємо:

. (7)

Останній вираз збігається з правою частиною у формулі (5).

Відмітимо ще, що числа , є коефіцієнтам у біномі Ньютона:

(8)

причому згідно з рівністю (6) коефіцієнти, рівновіддалені від кінців у формулі (8), рівні між собою, тобто,

і т. д.

Приклад 1. Записати за формулою (8) , , , обчисливши біноміальні коефіцієнти за формулами (4) і (6).

Приклад 2. Скількома різними способами можна заповнити картку спортлото, в якій із 49 чисел необхідно вибрати 6?

Розв’язання. Дві заповнені картки вважаються різними, якщо серед вибраних 6 чисел вони відрізняються хоча б одним числом, тобто це будуть комбінації, а їх кількість дорівнює:

.

Приклад 3. Скількома способами в даному таймі тренер може виставити на поле 5 баскетболістів, якщо у команді 10 гравців, причому одного із провідних гравців тренер планує задіяти у грі без заміни на весь тайм?

Розв’язання. Оскільки один з провідних гравців повинен бути постійно у грі весь тайм, то міняти прийдеться тільки 4-х гравців із решти 9, тобто отримаємо

.

Розв’язання.

1) У слові „мама” букви, причому букв „м” – дві, букв „а” – дві. За формулою (9) всіх перестановок буде:

.

А самі перестановки будуть такими: „мама”, „маам”, „амам”, „аамм”, „амма”.

2) У слові „паралелограм” є 12 букв, із них букв „а” – 3, „г” – 1, „е” – 1, „л” – 2, „м” – 1, „о” – 1, „п” – 1, „р” – 2. Всіх перестановок:

.

Приклад 2. Скількома способами на першій горизонталі шахматної дошки можна розставити такі однокольорові фігури: дві ладді, два коні, два слони, одного ферзя, і одного короля?

Розв’язання. Всіх фігур 8, причому , , , , , тоді

.

Розглянемо комбінації з повтореннями.

Число комбінацій з повтореннями (позначається ) із по елементів є такі сполуки по елементів в кожній (елементи можуть повторюватись), які вибираються із елементів типів, причому порядок елементів не враховується, знаходиться за формулою:

, (10)

де може бути .

Приклад 3. На складі потрібно отримати 5 однотипних деталей, кожна з яких може бути покрашеною в один з трьох кольорів: червоний, чорний, зелений. Скількома способами можна вибрати 5 деталей трьох кольорів?

Розв'язання. За умовою задачі m = 5, n = 3, тому за формулою (9) знаходимо

Задачі на комбінаторику

1. У розкладі на один день з 11 дисциплін повинно бути 5 уроків. Знайти кількість всіх можливих розкладів на день, якщо враховується порядок розміщення дисциплін.

2. Скількома способами можна вибрати 3 чергових в групі з 20 чоловік?

3. До складу комісії входять 7 чоловік. Необхідно обрати правління комісії, в яке входять голова, його замісник і секретар. Скількома способами можна обрати правління комісії?

4. Скільки 3-х значних чисел можна скласти з цифр 1,3,5, якщо: а) цифри не повторюються; б) цифри повторюються?

5. У одного студента 7 різних книг з математики, у другого – 9 різних книг технічного змісту. Скількома способами вони можуть здійснити обмін книги на книгу?

6. У вазі стоять 10 червоних і 4 рожевих гвоздики. Скількома способами можна вибрати букет із 3 квіток?

7. У спортивному клубі займаються 12 штангістів, 15 легкоатлетів, 14 борців. На міжклубні змагання необхідно виставити команду з 12 чоловік: 3-х штангістів, 5-ти легкоатлетів, 4-х борців. Скількома різними способами можна укомплектувати команду?

8. Скількома способами 10 чоловік можуть стати в черзі один за одним?

9. Скільки не більше ніж трьохзначних чисел можна скласти із цифр 1,2,3,4,5?

10. Скільки повних різних обідів можна скласти, якщо в меню є 3 перших блюда, 4 других і 2 третіх?

11. Скільки можна скласти різних сполук із п’яти, які не повторюються, букв (“слів”), що входять до складу слова “подія”?

12. Скількома способами можна розмістити на вітринній полиці 4 книги з теорії ймовірностей, 3 книги з теорії ігор і 2 книги з математичної статистики, якщо книги з кожного предмета однакові?

13. В електричній мережі 6 перемикачів. Кожний з перемикачів може бути включеним або виключеним. Скільки існує різних положень, в яких можуть бути всі перемикачі?

14. Скільки хорд можна провести через 4 точки, які належать одному колу?

15. Скільки чотиризначних чисел можна утворити із непарних цифр, якщо кожна з них може повторюватись?

16. Скількома способами групу студентів із восьми чоловік можна розбити на дві підгрупи із 3-х і 5-ти чоловік?

17. Скільки різних “слів”, кожне з яких складається із 7 літер, можна скласти із літер слова “колобок”?

18. На колі вибрано 10 точок. Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?

19. Групу з 20 студентів потрібно розділити на 3 бригади, причому в першу бригаду повинно входити 3 чоловіка, в другу – 5, а у третю – 12. Скількома способами це можна зробити?

20. Для участі в команді тренер відбирає 5 гравців із 10. Скількома способами він може сформувати команду, якщо 2 із гравців повинні обов’язково входити в команду?

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. а) ; б) . 5. 63. 6. . 7. . 8. 10! 9. 5+20+60 = =85. 10. 24. 11. 5! 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. 120. 19. . 20. 56.

Класифікація подій

Багато явищ у природі або діяльності людей дослідники вивчають за допомогою спостережень або проведенням дослідів, випробувань. Для проведення випробування необхідно створити певний комплекс умов.

Результат випробування називають подією.

Наприклад, щоб випускати певну продукцію, необхідно створити відповідні для виробництва умови (комплекс умов). Результат виробництва – готова продукція (подія).

Щоб перевірити на якість електролампу, необхідно включити її в електричне коло з видповідною напругою і силою струму (створити комплекс умов). Результат перевірки: лампа може горіти, або не горіти, тобто бути якісною або бракованою (подія).

Часто деякі випробування можуть повторюватись багато разів при одних і тих же умовах, в результаті чого появляється множина подій, які підпорядковуються певній закономірності.

Наприклад, при перевірці на стандартність великої партії виробів необхідно хоча б деякі з них випробувати. Для цього потрібно мати вироби, випробувний стенд з приладами спостереження, обслуговуючий персонал, - все це відноситься до комплексу умов. В результаті випробувань можливі події: а) виріб стандартний, б) виріб нестандартний. При масовому виробництві при одних і тих же умовах у кожній із партій виробів відношення числа стандартних (або нестандартних) виробів до загального числа всіх перевірених виражається числами (відносними частотами), які, як правило, мало відрізняються одне від одного. Таким чином, з’являється числовий вираз можливості появи даної події.

Події, які вивчаються у теорії ймовірностей, прийнято позначати великими буквами і ділять їх на три види: достовірні (або вірогідні), неможливі і випадкові.

Достовірною (вірогідною) називають подію, яка обов’язково відбувається при здійсненні певного комплексу умов.

Наприклад, якщо в ящику всі кулі тільки білого кольору і навмання (наугад) вибирається одна із них, то вона буде обов’язково білою. Це достовірна подія.

Неможливою називають подію, яка при заданому комплексі умов не може відбутися.

Наприклад, з того ж ящика, в якому тільки білі кулі, взяти навмання чорну кулю неможливо.

Випадковими називаються події, які при заданому комплексі умов можуть відбуватися, або не відбуватися.

Розглянемо приклади випадкових подій.

1) При заданій технології цех виготовив партію деталей. Навмання вибирається одна з них. Може виявитися, що ця деталь стандартна (подія ), або нестандартна (подія ). і - випадкові події.

2) При підкиданні тонка монета падає на горизонтальну поверхню стола. Випадання „герба” (подія ) або „числа” (подія ) – це випадкові події.

3) В урні лежать 20 однакових за вагою, діаметром, шорсткістю, але різних за кольором куль, причому 10 із них – білі, 7 – червоні, 3 – чорні. Кулі перемішуються і навмання вибирається одна з куль. Вибір білої кулі – це подія, яку позначимо через , - червона куля, - чорна куля. Тут маємо справу з трьома випадковими подіями.

Замітимо, що в подальшому для наочності ряду положень теорії ймовірностей, ми будемо використовувати як модель так звану урнову схему. Мається на увазі урна (ящик) з кулями, які задовольняють описаним вище вимогам. Після перемішування наугад вибирається одна або більше куль.

4) Грані грального кубика мають номери: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Випадання довільного числа від 1 до 6 при підкиданні кубика – випадкові події. В даному випадку таких подій шість. В подальших прикладах будемо мати на увазі, що центр ваги кубика не зміщений.

5) Число можливих захворювань при розповсюдженні епідемії грипу в даному регіоні – теж випадкова подія.

6) Дорожно-транспортна пригода – випадкова подія.

7) Настання сухої або дощової погоди на наступний день – подія випадкова.

8) При вимірюванні довжини відрізка кілька разів ми будемо отримувати різні значення, які залежать від багатьох факторів, наприклад, точності вимірювального приладу, температури, вологи, освітленності навколишнього середовища, стану людини, яка виконує вимірювання, її навиків і т. п. Таким чином результат вимірювання – теж випадкова подія.

У наведених прикладах ми бачимо, що в результаті різних випробувань може з’явитись одна із декількох випадкових подій. Яка саме? Наперед точно завбачити неможливо. Інтуїтивно ми можемо припустити, що у прикладі 2 випадання „герба” або „числа” при підкиданні монети мають однакові можливості. У прикладі 3 випадковий вибір білої кулі більш можливий, ніж чорної. Рівноможливими є поява чисел від 1 до 6 при підкиданні грального кубика (приклад 4).

Більш складною є оцінка можливості появи випадкових подій в прикладах 1, 5 – 8. Так, наприклад, прогнозування числа захворювань оцінюється на основі накопичених багатьох статистичних даних, старанного вивчення характеру захворювання, його причин і способів поширення. Такий прогноз дозволяє зарані створити запас лікарств, намітити заходи по зниженню наслідків епідемії.

Виявити закономірність однорідних випадкових подій можна тоді, коли є можливість багаторазово за ними спостерігати, практично необмежене число разів. Такі випадкові події називаються масовими.

Можливість появи випадкових подій характеризується числом, яке називають ймовірністю події.

Теорія ймовірностей вивчає ймовірнісні закономірності однорідних випадкових масових подій. Знання цих закономірностей дозволяє передбачити, як ці події будуть відбуватися.

Методи теорії імовірностей широко застосовуються в різних природничих науках, у прикладних технічних областях. Теорія ймовірностей є основою теорії надійності, теорії масового обслуговування. Багато досліджень в економічних науках пов’язані з використанням теорії ймовірностей.

В окремих простих схемах ймовірність випадкової події може бути обчислена безпосередньо. Про це в наступному параграфі.

Відповіді.

4/15. 2. а) 71/365; б) 11/365. 3. 3/28. 4. а) 3/8; б) ; в) .

5. 5/11. 6. а) 5/36; б) 1/18; в) 11/36. 7. . 8. 0,3. 9. 0,358. 10. 1/8! 11. а) 5/9; б) 2/9; в) 7/9. 12.

13. 14. а) . б) 7/24. 15. 12/17.

16.

Таким чином, при багатократних випробовуваннях, відносна частота, мало змінюючись, коливається навколо деякого числа, яке є ймовірністю події. Згідно статистичного означення за ймовірність події приймається відносна частота або число близьке до неї.

Геометричні ймовірності

В попередніх параграфах розглядались випробування із скінченною множиною наслідків. Однак не всяка реальна задача може бути зведена до цієї схеми, оскільки часто зустрічаються випробування, у яких множина наслідків нескінченна. При розв’язуванні деяких із подібних задач зручно застосовувати геометричну модель.

Нехай дано відрізок довжиною . Розділимо його навпіл (для однозначності точку поділу будемо відносити до лівої половини). Наугад кидається точка на цей відрізок. Можливі два випадки: “точка попала на ліву половину” – подія , “точка попала на праву половину” – подія . Оскільки точка кидається наугад, то доцільно вважати, що ці події рівноможливі, тоді ймовірність події , так само .

Розділимо тепер відрізок на 10 рівних частин (довжина кожного ). Випадковим чином кидають точку на цей відрізок. Можливі випадки: “точка попала на 1-й відрізок” – подія , “точка попала на 2-й відрізок” – подія , і т.д., “точка попала на 10-й відрізок” – подія . Вважаючи ці події рівноможливими, отримаємо, що ймовірність кожної з цих подій дорівнює , тобто

Нехай подія полягає в тому, що випадково кинута точка попала, наприклад на відрізок . Оскільки події сприяють чотири із можливих випадків, то ймовірність можна представити

,

(1)

- ймовірність випадкового попадання точки на відрізок довжиною , який міститься на відрізку довжиною .

Викладений підхід можна узагальнити для плоских фігур (див. рис. 1), а також у просторі для тіл.

Рис.1

Нехай фігура , площа якої дорівнює , міститься у фігурі , площа якої , тоді ймовірність події , яка полягає у тому, що наугад кинута точка попаде у фігуру , дорівнює відношенню площ цих фігур, тобто

. (2)

Для формул (1) і (2) мається на увазі “рівноможливість” випадкового попадання точки в довільну точку відповідно відрізка чи фігури .

З метою наочності розглянемо таку модель.

Нехай фігура - це прямокутник розміру (його площа ), описаний навколо фігури , нарисованої на асфальті. Замість точок, які навмання вибираються у прямокутнику, будемо вважати краплі дощу, що починається. Після певного часу накрапання прямокутник закривають від дощу і рахують кількість крапель , які попали у весь прямокутник , а також кількість крапель , які попали у фігуру . Обчислимо відносну частоту . Нам вже відомо, що за формулою (2) можна знайти ймовірність події , яка полягає у випадковому виборі точки із фігури . У даному випадку це відношення площ , а з другого боку . Тому маємо наближену рівність ,

за допомогою якої можна знайти площу фігури ,

. (3)

Зрозуміло, що цей приклад наведено для наочності. У дійсності невідому площу за описаною ідеєю знаходять з застосуванням ЕОМ методом випадкового пошуку. Як це можна зробити, буде показано далі у задачі 2.

Розглянемо задачі.

Задача 1. Двоє студентів після занять домовились зустрітись біля виходу з корпуса. Оскільки у кожного з них могли з’явитись непередбачені справи, то зустріч домовились провести протягом години з до . Таким чином, що перший, хто приходить до місця зустрічі, жде 15 хвилин (але не пізніше ) і йде собі. Знайти ймовірність зустрічі, якщо час очікування взяти: а) 15 хв; б) 20 хв; в) 30 хв.

Розв’язання. Нехай - час приходу першого студента на місце зустрічі, - другого.

Зустріч відбувається за умови, що , або

Множина розв’язків нерівності зображена на рис 2.

Площа квадрата . Площа фігури . Тому ймовірність зустрічі (подія )

При хв. маємо ; при хв. ; при хв. .

Рис. 2

Задача 2. Знайти площу параболічного сегмента заданого рівняннями і .

Розв’язання. Параболічний сегмент зображено на рис. 3.

Рис. 3

Точки перетину параболи з віссю і . Цю площу можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла або за допомогою формули

,

де - коефіцієнт при у рівнянні параболи.

Покажемо, як знайти шукану площу, використовуючи геометричне означення ймовірності. Опишемо навколо параболічного сегмента квадрат із стороною 4 одиниці. Площа квадрата кв. од. (див. рис. 3). За допомогою стандартної функції генерування випадкових точок , які попадають у квадрат, в тому числі точок, які у параболічному сегменті, знайдемо відносну частоту попадання випадкових точок у параболічній сегмент. Тоді за формулою (3) знаходимо . У таблиці 1 подані результати розрахунків наближених значень площі параболічного сегмента для різних значень і . Так, з рис. 3 видно, що у квадрат попало 10 точок, а у сегмент – 6, тому для першого наближення площі маємо

;

що і записано у першому рядку таблиці 1.

Таблиця 1.

		Площа
		9,6
		10,56
1 000		10,32
10 000	6 645	10,6336
100 000	66 865	10,6984
1000 000	666 727	10,6671

Із таблиці 1 видно, що із збільшенням точність обчислень площі підвищується, а коливання відносно точного значення зменшується.

1.5.1. Задачі на геометричні ймовірності

1. Абонент чекає телефонного повідомлення з 2-х до 3-х годин. Знайти ймовірність того, що повідомлення поступить з 2 годин 30 хв до 2 год 40 хв.

2. У круг радіуса вписано правильний трикутник. Яка ймовірність того, що навмання вибрана точка круга буде внутрі трикутника?

3. У 25 сантиметрах від центра кулі, радіус якої 15 см, знаходиться точкове джерело світла. Яка ймовірність того, що наугад взята точка на поверхні кулі буде освічена?

4. Стержень довжиною розбитий на 3 частини. Знайти ймовірність того, що довжина кожної частини буде більшою ніж ?

5. Диск, який швидко обертається, розділений на парне число рівних секторів, які почергово закрашені у білий або чорний кольори. По диску зробили вистріл. Знайти ймовірність того, що куля попаде в один з білих секторів. Припускається, що ймовірність попадання кулі у плоску фігуру пропорціональна площі цієї фігури.

6. На площину, яка розграфлена паралельними прямими, що знаходяться одна від одної на 6 см наудачу кинуто круг радіуса 1 см. Знайти ймовірність того, що круг не перетне ні однієї з прямих. Мається на увазі, що ймовірність попадання точки на відрізок пропорціональна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

Операції над подіями

Сумою або об’єднанням двох подій А і В називається така подія С (позначається С=А + В або С=АÈВ), яка складається із всіх елементарних подій, які належать принаймні одній з подій А або В.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: