Теоретико-множинний підхід до вивчення ймовірностей

Елементарні події. Простір елементарних подій

У попередніх параграфах вже відмічалось, що у теорії ймовірностей розглядаються випробування, які можна повторювати нескінченну кількість разів. Можливий результат випробування називають елементарною подією. Елементарну подію прийнято позначати через w. У результаті випробування наступає якась одна із елементарних подій. Множина всіх можливих елементарних подій називається простором елементарних подій і позначається . Випадковою подією (або просто подією) називається довільна множина А елементарних подій, тобто підмножина простору W. Ті елементарні події, з яких складається подія А називаються сприятливими для А ().

Поняття елементарних подій і простору елементарних подій є первісними поняттями.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. При підкиданні монети один раз елементарними подіями є випадання герба (Г) або числа (Ч), позначимо їх відповідно через і . Простір елементарних подій або повна група подій має своїми елементами і .

Приклад 2. Підкидання грального кубика один раз. При цьому випробуванні природно взяти

де через позначимо елементарну подію, яка означає, що на верхній грані кубика випало очок, – елементи простору W. Використовується ще таке позначення – одноелементні події, або кожній випадковій події сприяє відповідна елементарна подія .

Розглянемо ще кілька можливих подій даного випробування. Позначимо випадкову подію, яка полягає в тому, що на верхній грані у кубика випало парне число очок, це коротко запишеться . Аналогічно введемо події , яка означає що випало непарне число очок, – число очок, що випало кратне трьом. Кожній з останніх трьох подій А сприяють відповідні елементарні події: для – сприятливими є елементарні події ; для – сприятливими є ; для – сприятливі .

Отже, кожна з подій А складається із елементарних подій і є в той же час підмножиною простору .

Приклад 3. Підкидання монети 3 рази. Елементарними подіями будуть сполука герба або числа. Наприклад, ГГГ – три рази підряд випав герб, ЧГЧ – перший раз випало число, другий – герб і третій раз випало число. Схематично сукупність елементарних подій можна записати:

ГГГ	ГГЧ	ГЧГ	ЧГГ	ЧГЧ	ЧЧГ	ГЧЧ	ЧЧЧ

Всіх подій вісім, бо тут розміщення з повтореннями (із двох елементів (Г,Ч) по три кожному, а їх загальна кількість .

Позначимо кожну з наведених елементарних подій відповідно . Простір елементарних подій запишеться

.

Розглянемо ще кілька подій цього випробування. Нехай подія А означає, що при першому підкиданні може випасти герб, це одна з елементарних подій . Вони сприяють появі А, .

Нехай подія В означає появу принаймні одного герба. Сприятливими для В є всі елементарні події, починаючи і закінчуючи , крім .

З одного боку події А і В є множинами відповідних елементарних подій , а з другого боку вони є підмножинами простору елементарних подій W.

У прикладах 1) – 3) простори елементарних подій скінченні.

Приклад 4. Монету підкидають до того часу поки вперше не з’явиться герб, тоді простір елементарних подій нескінченний і має вигляд

W={Г, ЧГ, ЧЧГ, ЧЧЧГ,..., }.

Приклад 5. У квадраті D ={-1<x<1, -1<y<1} випадково вибирається точка. Простір елементарних подій можна записати так

W={w}={(x, y): -1<x<1, -1<y<1}.

Тут вже елементарних подій нескінченно багато. Більш складними подіями будуть множини точок у квадраті. Наприклад, подія А – це попадання точки у замкнений круг з центром у початку координат і радіусом 0,5. Множина всіх точок круга є сприятливою для появи події А.

Операції над подіями

Сумою або об’єднанням двох подій А і В називається така подія С (позначається С=А + В або С=АÈВ), яка складається із всіх елементарних подій, які належать принаймні одній з подій А або В.

Можна сказати інакше.

Подія С=А + В означає, що з’явилась або подія А або подія В, або обидві разом (див. заштриховані фігури на рис. 1.).

Так у прикладі 2

-подія достовірна.

Добутком або перетином двох подій А і В називається така третя подія С (позначається С=АВ або С=АÇВ), яка складається з елементарних подій, що належать і події А, і події В. Подія С=АВ відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається і А, і В. На рис. 1 а) – це заштрихована двічі частина А і В.

Наприклад,

- подія неможлива.

Різницею А\В=С називається така подія С, яка складається із елементів множини А, які не належать до В. Подія С=А\В означає, що подія А відбулася, а подія В не відбулася (схематично дивись рис. 2)

Рис. 2

Звернемось до подій прикладу 2.

;

Весь простір W елементарних подій є достовірною подією; пусту множену Æ називають неможливою подією.

Подія називається протилежною подією події А.

Подія означає, що подія А не відбулася.

Наочно зв’язок між подіями і спостерігається в прикладі 5 (див. рис. 3).

У прикладі 2 протилежними є події і - поява парного числа очок і непарного на грані кубика.

Події і несумісні, якщо Æ, тобто не можуть одночасно відбуватися.

Наприклад, події і (приклад 2) несумісні.

Рис.3

Подія є підмножиною події (записується ), якщо із появи події випливає поява події .

Так, якщо (приклад 5, див. рис. 3) подія означає, що “точка попала в круг”, то з цього випливає, що відбувається подія - “точка попала у квадрат”, в якому міститься цей круг.

Поняття добутку і суми подій переносяться на нескінченні послідовності подій. Подія

означає, що подія належить принаймні одній з подій .

Подія складається із елементарних подій, які належать всім подіям .

Можна перевірити, що операції над подіями мають такі властивості:

1) , .

2) , Æ.

3) , .

4) , .

5) .

6) .

Рекомендуємо самостійно переконатись у вірності властивостей операцій 1)-6) над подіями на таких моделях.

І. При одноразовому підкиданні грального кубика (див. приклад 2 попереднього параграфа) елементарними подіями є число очок, що випало на верхній грані кубика, а - простір елементарних подій. Для перевірки властивостей 1)-6) радимо розглянути відомі вже події - випало парне число очок, - число очок, що випало кратне 3, - непарне число очок.

Так, наприклад, , а протилежна подія . З другого боку відповідні протилежні події , і їх перетин збігається з .

ІІ. Випадковий вибір точки у прямокутнику – це елементарна подія (див. рис. 4).

Рис. 4

Вся множина точок прямокутника ототожнюється з простором елементарних подій . Тоді події і означають випадковий вибір точок у випадкових фігурах рисунка і ототожнюється з відповідними множинами точок. Властивості операцій 1)-6) для подій збігаються із властивостями операцій для множин.

Радимо переконатись у вірності властивостей 1)-6) для заданої моделі.

Отже, випадкові події ми можемо розглядати як множини, а це далі приводить до тісного зв’язку між теорією множин і теорією ймовірностей.

Тепер класичне означення ймовірностей перепишемо відповідно до теоретико-множинної термінології:

Будемо вважати, що простір елементарних подій є скінченною множиною із елементів , і що всі елементи цієї множини різні, тобто що елементарні події - попарно несумісні ( Æ, ). Припустимо, що елементарні події є рівноможливими.

Нехай випадкова подія є множиною певних елементарних подій

, тобто подія наступає тоді і тільки тоді, коли з’являється одна з подій . Ці елементарних подій називаються сприятливими для події .

Означення. Ймовірністю події називається відношення числа результатів випробування, сприятливих події , до числа всіх рівноможливих і попарно несумісних результатів випробування.

1.6.3. Аксіоми теорії ймовірностей

Із попередніх параграфів вже зрозуміло, що ймовірність розглядається як функція випадкової події . Важливим компонентом функції двох змінних є її область визначення. Аналогічно для функції теж потрібно якимось чином описати підмножини випадкових подій елементарного простору . Точніше, говорять про систему множин . Ця система повинна бути такою, щоб сума і добуток двох подій системи теж належали до неї.

Відмітимо, що якщо простір елементарних подій - скінченний, то скінченною буде і система множин . Для наочності пошлемось на відомій вже в попередніх параграфах приклад про одноразове підкидання грального кубика. Нехай дано простір елементарних подій , де - елементарна подія, що означає випадання очок на верхній грані кубика. Розглянемо всі можливі одноелементні множини подій - їх буде 6. Всіх двохелементних множин подій - їх число дорівнює . Число трьохелементних множин подій буде , чотирьохелементних - , п’ятиелементних - , шестиелементних - , всього множин подій буде . У теорії множин, коли розглядаються всі підмножини із множини елементів, то число таких підмножин дорівнює . Однією із підмножин вважається пуста множина. Отже, якщо до 63 перелічених підмножин подій включити ще неможливу подію Æ, то отримаємо підмножин подій заданого простору . Система випадкових подій складається із 64 описаних підмножин простору , причому, можна перевірити, що сума і добуток довільних підмножин із теж належить . Таким чином ймовірність повинна визначатись для всіх можливих множин випадкових подій із системи простору .

Для більш загальних просторів елементарних подій система випадкових подій задається аксіоматично.

Нехай - простір елементарних подій. Нехай, далі, в просторі виділена система множин F, яка утворює так звану -алгебру. Це означає, що

1) ;

2)якщо , то ;

3) якщо то .

Із аксіом 1 і 2 випливає, що . Найменшою із систем підмножин, яка є -алгеброю, є система . Множини з називаються випадковими подіями.

Кажуть, що на - алгебрі задано розподіл ймовірностей, якщо кожній події однозначно поставлено у відповідність число , яке називається

ймовірністю події , так, що виконуються наступні умови (аксіоми теорії ймовірностей):

1° для кожного ;

2° ;

3° Якщо послідовність випадкових подій така, що , то

.

Зокрема, якщо , , - несумісні, то

.

Аксіоматична побудова теорії ймовірностей, яка у наш час є загальноприйнятою, вперше була запропонована радянським математиком А. М. Колмогоровим (1903 - 1987) наприкінці 20-х років минулого століття.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: