Статистичне означення ймовірності

Зауважимо, що класичне означення ймовірності оправдано тоді, коли є можливість знайти ймовірність на основі симетрії тих умов, при яких відбувається випробування, а, значить, і симетрії наслідків випробування, що дає підставу говорити про рівноможливість і єдиноможливість подій, тобто про випадки. Щодо симетрії подій, то в одних випадках вона пов’язана з геометричною симетрією та однорідністю тих предметів, які використовуються у випробуваннях (гральний кубик, монета). В інших випадках симетрія подій досягається за рахунок такого перемішування або тасування однорідних елементів, щоб можна було забезпечити рівноможливий вибір довільного елемента (колода карт, урна з кулями, лотерейний барабан з кульками і т.і.). Однак наші уявлення про рівноможливість, а, отже, і ймовірність були б недостатніми, якщо б вірність теоретичних висновків не підтверджувалась багаточисельними експериментами (див., напр., табл.1 в цьому ому.параграфі), так і на основі аналізу азартних ігр, таких як підкидання кубика („гра в кості”), підкидання монети („гра в орлянку”), деяких ігр у карти. З аналізу азартних ігр і почався в XVI – XVII століттях розвиток теорії ймовірностей. Вже у ті часи було, наприклад, помічено, що при багатократних підкиданнях двох гральних кубиків деякі суми цифр на гранях кубиків, що випали, з’являються частіше інших сум (див. приклад 3 попереднього параграфа). Так на прикладах випробувань, які пов’язані з рівно можливістю подій, почали спостерігатись статистичні закономірності. Це відкрило шлях для статистичного підходу до чисельного означення ймовірності. Статистичний підхід стає особливо важливим тоді, коли з теоретичних міркувань, подібних до міркувань симетрії, значення ймовірності події наперед встановити неможливо. Наприклад, якщо у партії, із 100 випадково відібраних для контролю виробів, виявлено 2 нестандартних, то твердження, що відношення (його називають відносною частотою), можна вважати ймовірністю появи нестандартного виробу, не може бути переконливим. Цей приклад у схему випадків не вписується. Теоретично ймовірність такої події встановити не можна. Однак, вихід можливий, якщо багатократно повторювати вибірки (при однакових умовах) і прослідкувати за значеннями відносних частот події, тобто скористатись статистичними методами.

Означення. Відносною частотою випадкової події називається відношення m, числа випробувань, в яких ця подія з’явилась, до загального числа n, проведених випробувань, і позначається

Звернемо увагу, що згідно класичного означення ймовірність події можна обчислити теоретично до проведення випробувань, в той час як відносну частоту знаходять після проведення випробувань.

Між відносною частотою і ймовірністю події А є певний зв’язок: якщо якимось чином установлено, що ймовірність випадкової події дорівнює числу Р (Р(А) = Р), то при великих серіях випробувань і незмінних умовах частота події А приблизно дорівнює ймовірності, тобто

Для підтвердження цієї рівності подаємо відомі дані перевірки симетричності монети. Проводилось n підкидань монети, „герб” з’являвся m разів, - відносна частота випадання „герба”. В літературі з теорії ймовірностей добре відомі ці результати (таблиця 1).

Таблиця 1

Подані результати випробувань цілком узгоджуються з теоретичним значенням ймовірності, яка дорівнює 0,5 і отримана в припущенні рівної можливості „герба” і „числа”, тобто симетричності монети. За допомогою спеціальних ймовірнісних методів за даними випробувань можна встановити, що випадання „герба” або „числа” в окремих випадках не однаково ймовірно, тобто монета не є симетричною.

Приведемо ще один приклад.

За статистичними даними російського поштового відомства було виявлено, що доля листів, які відправлялись без адреси має певну стійкість. Ці дані подаються далі у таблиці 2.

Таблиця 2

Рік	Всього листів, n	Листи без адреси, m	Відносна частота, m/n
	98 300 000 107 600 000 121 400 000 135 700 000 150 700 000	26 112 26 977 33 515 33 643 40 101

Із таблиці видно, що в різні роки відправлялись різні кількості листів, різна кількість листів без адреси серед них, але відносна частота листів без адреси має дивну стійкість: на 1 000 000 листів 25-27 листів без адреси. Причини відправлення листів без адреси очевидно досить різноманітні. Класичним прикладом може бути чеховський герой, малий хлопчина Ванька Жуков, який підписав листа „На деревню дедушке”.

Розглянемо ще приклад про частоту народження хлопчиків за даними шведської статистики, зібраної за 1935 рік К.Крамером (див. табл.3) – шведським математиком.

Недивлячись на те, що число новонароджених змінюється щомісячно, частота народження хлопчиків досить стійко коливається біля середнього значення 0,517. Слід відмітити, що частота народження хлопчиків залежить від регіону, де збирається статистика, тому може приймати інші значення, але вони, як правило, більші 0,5.

Таблиця 3

Ряд статистичних закономірностей були виявлені в кінці ХІХ і початку ХХ століття у фізиці, хімії, біології, економіці і інших науках. Було установлено, що якщо досліди ведуться при незмінних умовах, в кожному з яких число випробувань n досить велике, то число m випробувань, при яких дана подія А з’явилась, тобто частота події , як правило, мало відрізняється від ймовірності Р(А) появи події А. І чим більше число випробувань, тим рідше зустрічаються частоти , які значно відхиляються від ймовірності Р(А).

Зміна комплекса умов випробувань приводить до зміни значень відносних частот. Для цього досить порівняти дані таблиці 3 з таблицею 4, яка містить відносні частоти народження хлопчиків у Франції.

Таблиця 4

Тут спостерігається, замічене раніше у Німеччині і Великобританії, явище, що число народжень хлопчиків дещо збільшується під час і зразу після великих затяжних війн. Це явище пояснювалось багатьма гіпотезами, але ні одна із них не пояснювала повністю спостережуваного явища.

Таким чином, при багатократних випробовуваннях, відносна частота, мало змінюючись, коливається навколо деякого числа, яке є ймовірністю події. Згідно статистичного означення за ймовірність події приймається відносна частота або число близьке до неї.

Геометричні ймовірності

В попередніх параграфах розглядались випробування із скінченною множиною наслідків. Однак не всяка реальна задача може бути зведена до цієї схеми, оскільки часто зустрічаються випробування, у яких множина наслідків нескінченна. При розв’язуванні деяких із подібних задач зручно застосовувати геометричну модель.

Нехай дано відрізок довжиною . Розділимо його навпіл (для однозначності точку поділу будемо відносити до лівої половини). Наугад кидається точка на цей відрізок. Можливі два випадки: “точка попала на ліву половину” – подія , “точка попала на праву половину” – подія . Оскільки точка кидається наугад, то доцільно вважати, що ці події рівноможливі, тоді ймовірність події , так само .

Розділимо тепер відрізок на 10 рівних частин (довжина кожного ). Випадковим чином кидають точку на цей відрізок. Можливі випадки: “точка попала на 1-й відрізок” – подія , “точка попала на 2-й відрізок” – подія , і т.д., “точка попала на 10-й відрізок” – подія . Вважаючи ці події рівноможливими, отримаємо, що ймовірність кожної з цих подій дорівнює , тобто

Нехай подія полягає в тому, що випадково кинута точка попала, наприклад на відрізок . Оскільки події сприяють чотири із можливих випадків, то ймовірність можна представити

,

(1)

- ймовірність випадкового попадання точки на відрізок довжиною , який міститься на відрізку довжиною .

Викладений підхід можна узагальнити для плоских фігур (див. рис. 1), а також у просторі для тіл.

Рис.1

Нехай фігура , площа якої дорівнює , міститься у фігурі , площа якої , тоді ймовірність події , яка полягає у тому, що наугад кинута точка попаде у фігуру , дорівнює відношенню площ цих фігур, тобто

. (2)

Для формул (1) і (2) мається на увазі “рівноможливість” випадкового попадання точки в довільну точку відповідно відрізка чи фігури .

З метою наочності розглянемо таку модель.

Нехай фігура - це прямокутник розміру (його площа ), описаний навколо фігури , нарисованої на асфальті. Замість точок, які навмання вибираються у прямокутнику, будемо вважати краплі дощу, що починається. Після певного часу накрапання прямокутник закривають від дощу і рахують кількість крапель , які попали у весь прямокутник , а також кількість крапель , які попали у фігуру . Обчислимо відносну частоту . Нам вже відомо, що за формулою (2) можна знайти ймовірність події , яка полягає у випадковому виборі точки із фігури . У даному випадку це відношення площ , а з другого боку . Тому маємо наближену рівність ,

за допомогою якої можна знайти площу фігури ,

. (3)

Зрозуміло, що цей приклад наведено для наочності. У дійсності невідому площу за описаною ідеєю знаходять з застосуванням ЕОМ методом випадкового пошуку. Як це можна зробити, буде показано далі у задачі 2.

Розглянемо задачі.

Задача 1. Двоє студентів після занять домовились зустрітись біля виходу з корпуса. Оскільки у кожного з них могли з’явитись непередбачені справи, то зустріч домовились провести протягом години з до . Таким чином, що перший, хто приходить до місця зустрічі, жде 15 хвилин (але не пізніше ) і йде собі. Знайти ймовірність зустрічі, якщо час очікування взяти: а) 15 хв; б) 20 хв; в) 30 хв.

Розв’язання. Нехай - час приходу першого студента на місце зустрічі, - другого.

Зустріч відбувається за умови, що , або

Множина розв’язків нерівності зображена на рис 2.

Площа квадрата . Площа фігури . Тому ймовірність зустрічі (подія )

При хв. маємо ; при хв. ; при хв. .

Рис. 2

Задача 2. Знайти площу параболічного сегмента заданого рівняннями і .

Розв’язання. Параболічний сегмент зображено на рис. 3.

Рис. 3

Точки перетину параболи з віссю і . Цю площу можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла або за допомогою формули

,

де - коефіцієнт при у рівнянні параболи.

Покажемо, як знайти шукану площу, використовуючи геометричне означення ймовірності. Опишемо навколо параболічного сегмента квадрат із стороною 4 одиниці. Площа квадрата кв. од. (див. рис. 3). За допомогою стандартної функції генерування випадкових точок , які попадають у квадрат, в тому числі точок, які у параболічному сегменті, знайдемо відносну частоту попадання випадкових точок у параболічній сегмент. Тоді за формулою (3) знаходимо . У таблиці 1 подані результати розрахунків наближених значень площі параболічного сегмента для різних значень і . Так, з рис. 3 видно, що у квадрат попало 10 точок, а у сегмент – 6, тому для першого наближення площі маємо

;

що і записано у першому рядку таблиці 1.

Таблиця 1.

		Площа
		9,6
		10,56
1 000		10,32
10 000	6 645	10,6336
100 000	66 865	10,6984
1000 000	666 727	10,6671

Із таблиці 1 видно, що із збільшенням точність обчислень площі підвищується, а коливання відносно точного значення зменшується.

1.5.1. Задачі на геометричні ймовірності

1. Абонент чекає телефонного повідомлення з 2-х до 3-х годин. Знайти ймовірність того, що повідомлення поступить з 2 годин 30 хв до 2 год 40 хв.

2. У круг радіуса вписано правильний трикутник. Яка ймовірність того, що навмання вибрана точка круга буде внутрі трикутника?

3. У 25 сантиметрах від центра кулі, радіус якої 15 см, знаходиться точкове джерело світла. Яка ймовірність того, що наугад взята точка на поверхні кулі буде освічена?

4. Стержень довжиною розбитий на 3 частини. Знайти ймовірність того, що довжина кожної частини буде більшою ніж ?

5. Диск, який швидко обертається, розділений на парне число рівних секторів, які почергово закрашені у білий або чорний кольори. По диску зробили вистріл. Знайти ймовірність того, що куля попаде в один з білих секторів. Припускається, що ймовірність попадання кулі у плоску фігуру пропорціональна площі цієї фігури.

6. На площину, яка розграфлена паралельними прямими, що знаходяться одна від одної на 6 см наудачу кинуто круг радіуса 1 см. Знайти ймовірність того, що круг не перетне ні однієї з прямих. Мається на увазі, що ймовірність попадання точки на відрізок пропорціональна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: