Тема: Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.

Выражение вида (1) где , - переменные, называется линейным уравнением с n неизвестными, если ставится задача найти такие значения неизвестных, при которых это равенство будет истинным.

Пусть даны несколько уравнений вида (1): (2)

Эти m уравнений образуют систему, если ставится задача об отыскании таких значений переменных , которые удовлетворяют каждому уравнению.

Решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется упорядоченная совокупность n действительных чисел , удовлетворяющих каждому уравнению.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Если свободные члены системы все равны нулю, то система называется однородной.

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.

Определителем системы называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных. Обозначается .

Чтобы получить нужно вместо столбца коэффициентов при соответствующих неизвестных поставить столбец из свободных членов и вычислить определитель.

Мы ограничимся случаем, когда число уравнений равно числу неизвестных и рассмотрим систему из трех уравнений:

Найдем =

Теорема: Если , то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

Тема 1.2 Лекция 4. Занятие 5.

Тема: Элементарные преобразования матриц. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Элементарные преобразования:

1. меняем местами строки.

2. прибавляем к одной строке другую, умноженную на какое либо число.

3. Отбрасываем нулевые строки.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.( метод исключения переменных )

Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, записанных в строку.

Теорема Кронекера-Капелли: Для того, чтобы матрица линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными.

первое уравнение при оставим без изменения ( если то поставим на первое место уравнение в котором первый коэффициент отличен от нуля), удобнее когда .

Умножим первое уравнение на и прибавим ко второму. Получим

К третьему уравнению прибавим первое, умноженное на получим

Эту операцию проделаем со всеми уравнениями, и последнее уравнение будет

Если то с помощью второго уравнения исключаем в 3,4,…,m уравнениях, умножая его на и складывая с третьим уравнением. Аналогично со всеми остальными уравнениями.

Повторяя эту операцию, получим систему линейных уравнений:

(5)

Процесс этот конечен.

Возможны три случая:

1. Когда на каком то шаге получим уравнение вида , значит, система не совместна, т.е. не имеет решения.
2. В ходе преобразований система сводится к треугольному виду: в первом n неизвестных, во втором n-1, в последнем 1. В этом случае система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим и последовательно все остальные.
3. Система может свестись к трапециидальному виду. В последнем уравнении больше чем 1 неизвестное. Тогда система имеет множество решений. Тогда неизвестные , которые образуют треугольник будут основными, а - свободные. Члены, содержащие свободные неизвестные переносятся в правую часть, т.е. основные неизвестные выражаются через свободные. Таким образом, получим общее решение системы. Придав свободным неизвестным произвольные числовые значения и найдя основные получим частное решение.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: