Тема: Предел функции в точке. Свойства предела. Односторонние пределы. Непрерывные функции и их свойства.

Числовой последовательностьюназывается занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

В общем виде записывают: , где называется общим членом последовательности.

Последовательность называется возрастающей,( убывающей) если каждый ее член начиная со второго, больше (больше или равен) предыдущего, т.е. если для любого n выполняется неравенство: .( )

Переменная величина называется бесконечно малой, если она изменяется так, что, какое бы малое положительное число ни взять, абсолютная величина становится, и, при дальнейшем изменении величины , остается, меньше .

Если - бесконечно большая величина, то обратная ей величина будет бесконечно малой.

Если - бесконечно малая величина, то обратная ей величина будет бесконечно большой.

Постоянная называется пределом переменной х , если х в некотором процессе стремится к конечному пределу и безгранично приближается к . Тогда пишут или .

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N₀, что начиная с этого номера ( т.е. для всех n N₀), будет выполнено неравенство:

( )

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, если не имеет конечного предела, тогда расходящейся.

Свойства пределов:

1. Если последовательность имеет конечный предел, то только один.

2. Предел постоянной величины равен ей самой:

3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов: .

4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: ( )

6. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:

( )

7. Предел корня k-ой степени от сходящейся последовате6льности равен корню этой же степени от предела последовательности:

Важно знать некоторые пределы:

1. , где - второй замечательный предел

2.

3.

Определение предела функции по Гейне:

Число А называется пределом функции при стремящимся к , если для любой последовательности , все члены которой принадлежат области определения функции и не равны выполняется условие что последовательность стремится к А.

)

Определение предела функции по Коши:

Число А называется пределом функции при , если для любого числа можно указать такое , что для всех , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут .

Если число А₁ есть предел функции при х, стремящемся к а, так, что х принимает только значения, меньшие а, то А₁ называется левым пределом функции в точке а. При этом пишут .

Если число А₂ есть предел функции при х, стремящемся к а, так, что х принимает только значения, большие а, то А₂ называется правым пределом функции в точке а. При этом пишут .

Эти пределы называются односторонними пределами функции.

Теорема: Для того, чтобы функция имела предел равный А в точке а, необходимо и

Достаточно, чтобы существовали односторонние пределы функции в этой точке и

были равны между собой.

Теорема 1: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел их суммы (разности), равный сумме (разности) пределов функций и :

Теорема 2: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел их произведения, равный произведению пределов функций и :

Теорема 3: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел отношения , равный отношению пределов функций и :

, где

Следствия:

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: , .

2. Если - натуральное число, то , при .

3. Предел многочлена при равен значению этого многочлена при т.е. .

4. Предел дробно-рациональной функции при равен значению этой функции при , если принадлежит области определения функции, т.е. и .

Важно знать некоторые пределы наизусть:

Первый замечательный предел-

Следствия:

Второй замечательный предел -

Следствия:

Функция называется непрерывной в точке если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует , такое, что для всех из области определения функции, удовлетворяющих условию ,выполняется неравенство .

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке.

Условия непрерывности функции в точке:

1. - определена.

2.

3.

Теорема 1: Если функции и непрерывны в точке , то функция так же

непрерывна в этой точке.

Теорема 2: Если функции и непрерывны в точке , то функция так же

непрерывна в этой точке.

Теорема 3: Если функции и непрерывны в точке и , то функция

так же непрерывна в этой точке.

Свойства функций непрерывных на отрезке.

Теорема1: Больцано- Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции.

Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Теорема2: Больцано- Вейерштрасса о достижении верхней и нижней граней

Если функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда эта функция принимает на отрезке свои наибольшие и наименьшие значения, т.е. существуют такие точки , что для любой точки справедливы равенства .

Теорема3: Больцано- Коши о нулях непрерывной функции

Если функция определена и непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения противоположных знаков, то существует точка на этом отрезке в которой значение функции равно нулю .

Теорема4: Больцано- Коши о промежуточных значениях непрерывной функции

Если функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда для любого числа С, заключенного между числами и , найдется такая точка , что

Если не является непрерывной в точке , то точка называется точкой разрыва функции.

Тема 2.2. Лекция 9. Занятие 13

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: