|
Тема: Предел функции в точке. Свойства предела. Односторонние пределы. Непрерывные функции и их свойства.Числовой последовательностью называется занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров. В общем виде записывают: Последовательность Переменная величина Если Если Постоянная Число ( Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, если не имеет конечного предела, тогда расходящейся. Свойства пределов: 1. Если последовательность имеет конечный предел, то только один. 2. Предел постоянной величины равен ей самой: 3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов: 4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов: 5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 6. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:
7. Предел корня k-ой степени от сходящейся последовате6льности равен корню этой же степени от предела последовательности: Важно знать некоторые пределы: 1. 2. 3. Определение предела функции по Гейне: Число А называется пределом функции
Определение предела функции по Коши: Число А называется пределом функции
В этом случае пишут Если число А1 есть предел функции Если число А2 есть предел функции Эти пределы называются односторонними пределами функции. Теорема: Для того, чтобы функция Достаточно, чтобы существовали односторонние пределы функции в этой точке и были равны между собой. Теорема 1: Если существуют конечные пределы функций предел их суммы (разности), равный сумме (разности) пределов функций Теорема 2: Если существуют конечные пределы функций предел их произведения, равный произведению пределов функций Теорема 3: Если существуют конечные пределы функций предел отношения
Следствия:
1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: 2. Если 3. Предел многочлена 4. Предел дробно-рациональной функции
Важно знать некоторые пределы наизусть: Первый замечательный предел - Следствия: Второй замечательный предел - Следствия:
Функция
Функция
Функция
Условия непрерывности функции в точке: 1. 2. 3.
Теорема 1: Если функции непрерывна в этой точке. Теорема 2: Если функции непрерывна в этой точке. Теорема 3: Если функции
Свойства функций непрерывных на отрезке.
Теорема1: Больцано- Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции. Если функция Теорема2: Больцано- Вейерштрасса о достижении верхней и нижней граней Если функция Теорема3: Больцано- Коши о нулях непрерывной функции Если функция Теорема4: Больцано- Коши о промежуточных значениях непрерывной функции Если функция
Если Условие непрерывности можно переписать следующим образом: Если хотя бы одно из выражений в равенстве (*) не существует или не выполняется хотя бы одно из равенств, то точка
Точка У у
0 х0 х 0 х0 х
Точка у
0 х0 х
у
0 х0 х
Теорема: Если верхняя грань совпадает с левым пределом этой функции, не превосходит превосходит правого предела и не превосходит правой грани.
Утверждение1: Всякая строго монотонная на промежутке функция имеет односторонние пределы в каждой точке этого промежутка. Утверждение2: Если односторонние пределы строго монотонной функции в точке совпадают, то функция непрерывна в этой точке. Утверждение3: Если односторонние пределы строго монотонной функции в точке не совпадают, то это точка разрыва первого рода (скачок).
Тема 2.2. Лекция 9. Занятие 13 ![]() ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|