Миниминный критерий (критерий крайнего оптимизма)

Миниминный критерий неэквивалентен максимаксному критерию. Хотя стратегия, оптимальная по максимаксному критерию, является оптимальной и по миниминному критерию, но обратное неверно.

Миниминный критерий также есть частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно рисков. В этом случае коэффициенты выбираются так: l₁= l₂=... =l_n_-1 =0, l_n =1. Подставив эти коэффициенты в показатели критерия Гурвица относительно рисков, можно получить показатель неэффективности чистой стратегии A_i, представляющий собой минимальный риск игрока A при применении им стратегии A_i

Оптимальной среди чистых стратегий по миниминному критерию является стратегия с минимальным показателем неэффективности,

Замечание 1: Для удобства понимания и последующего запоминания учащемуся предлагается свести рассмотренные выше критерии Байеса и Гурвица с их частными случаями в две таблицы.

Замечание 2: Для того, чтобы выбрать наилучшую стратегию в играх с природой желательно проверить игру по всем Гурвица. Стратегия, которая встретится наибольшее число раз – наилучшая.

Задача для самостоятельной работы 7. Принять решение в условиях неопределенности (в чистых стратегиях) (Строительство электростанции).

Возможно строительство четырех типов электростанций А₁ – тепловые, А₂ – приплотинные, А₃- безшлюзовые, А₄ – шлюзовые. Эффективность каждого из типов электростанций определяется сочетанием различных факторов, в том числе и факторов, зависящих от различных случайных явлений: погодных условий, режима рек, стоимости топлива и его перевозки, сейсмической обстановки района и т.д. Пусть число всевозможных сочетаний факторов равно четырем, обозначим их как состояния природы П₁, П₂, П₃, П₄. Вероятности состояний природы неизвестны, а экономическая эффективность каждого типа электростанций в зависимости от состояний природы задается платежной матрицей (таблица 10):

1. Косоруков, О. А. Исследование операций: рек. УМО в кач-ве учебника для вузов / О. А. Косоруков, А. В. Мищенко; под общ. ред. Н. П. Тихомирова. - М.: Экзамен, 2003. 448 с.

2. Попов, А. М. Экономико-математические методы и модели. Высшая математика для экономистов: учебник для бакалавров / Александр Михайлович Попов, Валерий Николаевич Сотников; под ред. А. М. Попова. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Юрайт, 2012. - 479 с.: ил.; табл. - (Бакалавр: Базовый курс).

3. Исследование операций в экономике: рек. М-вом образования РФ в кач-ве учеб. пособ. для вузов / [Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман и др.]; под ред. Н. Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2004.

4. Фомин, Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: учебник для вузов / Г. П. Фомин. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 544 с

9. Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособ. для вузов / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. - М.: Финансы и статистика, 2001. с. 82 - 117.

10. Баллод, Б. А. Методы и алгоритмы принятия решений в экономике [Электронный ресурс]: рек. УМО вузов РФ по образованию в обл. прикладной информатики в кач-ве учеб. пособия для студентов вузов / Б. А. Баллод, Н. Н. Елизарова. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 225 с. - Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/85071/.

В прошлой статье о теории игр были рассмотрены ситуации, в которых предполагалась логичность дествий двух игроков, каждый из которых хочет получить для себя максимум выгоды. Следующим этапом являются так называемые игры с природой. Формально изучение игр с природой, так же, как и стратегических, должно начинаться с построения платежной матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком один. Игроку два (природа) не важен результат, либо он не способен к осмысленным решениям. Или, возможно, условия не зависят от действий игрока, а определяются внешними факторами: реакция рынка, который не будет вредить одному конкретному игроку, государственная политика, реальная природа.

Различают два вида задач в играх с природой:

· Задача о принятии решений в условиях риска, когда известны вероятности, с которыми природа принимает каждое из возможных состояний;

· Задачи о принятии решений в условиях неопределенности, когда нет возможности получить информацию о вероятностях появления состояний природы;

Чтобы быть ближе к реальным ситуациям, для примера возьмем относительно реальную ситуацию. Первого игрока, за которого мы будем принимать решения, будет представлять Samsung со своим Galaxy S5. Вторым игроком, играющим «природу», будет компания Apple, и его iPhone 6.

Подходит время выпуска нового смартфона, прошла презентация, эксперты высказали свое мнение, и игрок один должен принять важное решение, когда выпустить продукт? Упростив ситуацию, у нас останется три варианта: до конкурента (А₁), вместе с ним (А₂) или после (А₃). Естественно, пока не выйдет новый iPhone мы не узнаем, будет он намного лучше нашего (В₁), таким же (В₃) или сильно уступающим в качестве (В₃). Посчитав прибыль во всех случаях, в итоге получим матрицу:

Теперь же, для принятия решения, у нас есть несколько критериев.

1. Критерий Вальда (максиминный). Игрок рассчитывает, что природа пойдет по наихудшему для него пути, и следует выбрать вариант с максимальной прибылью при самом плохом исходе, поэтому данный критерий считается пессимистическим. Представить его можно в виде max (min i)

для А₁ минимальной прибылью (5) выльются действия природы В₁ и В₂
для А₂ минимальная прибыль 3 после действия В₁
для А₃ минимальная прибыль 2 после действия В₁

Таким образом из 5, 3 и 2 максимум прибыли (5) нам даст вариант А₁

2. Критерий максимума (максимаксный) является оптимистическим, т.е. мы надеемся на самый благоприятный для нас исход.представляется как max (max i).

для А₁ максимальная прибыль 7
для А₂ максимальная прибыль 6
для А₃ максимальная прибыль 8

Из 7, 6 и 8 максимальную прибыль принесет вариант А₃

3. Критерий Гурвица рекомендует стратегию, определяемую по формуле max (A*max i + (1-A)*min i), где А — степень оптимизма и изменяется в пределах от 0 до 1. Критерий выдает результат, учитывающий возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При А=1 данный критерий можно заменить критерием максимума, а при А=0 — критерием Вальда. Величина А зависит от степени ответственности игрока один: чем она выше, тем ближе А к единице. Для данного примера примем А=0,4.

для А₁ прибыль равна 0,4*7 + 0,6*5 = 5,8
для А₂ прибыль равна 0,4*6 + 0,6*3 = 4,2
для А₃ прибыль равна 0,4*8 + 0,6*2 = 4,4

Из полученных ответов максимыльную прибль приносит действие А₁

4. Критерий Сэвиджа (минимаксный). Суть его заключается в выборе стратегии, не допускающей слишком высоких потерь. Для этого используется матрица рисков, в которой вычисляется максимальная прибыль при каждом варианте действия игрока, и среди результатов выбирается наименьший. Его формула выглядит как min (max i)

для А₁ максимальной прибылью (7) выльется действие природы В₃
для А₂ максимальная прибыль 6 после действия В₃
для А₃ максимальная прибыль 8 после действия В₃

Таким образом из 7, 6 и 8 минимум прибыли (6) нам даст вариант А₂

5. По критерию Байеса предлагается придать равные вероятности всем рассматриваемым стратегиям, после чего принять ту из них, при которой ожидаемый выигрыш окажется наибольшим. Критерий имеет один недостаток: не всегда можно точно определить вероятность того или иного события со стороны природы. Формулой для него является max (Σ q*i).

Сначала мы положили вероятность наступления каждого из собитий природы равной 0,33, и получили

для А₁ 5*0,33 + 5*0,33 + 7*0,33 = 5,61
для А₂ 3*0,33 + 4*0,33 + 6*0,33 = 4,29
для А₃ 2*0,33 + 4*0,33 + 8*0,33 = 7,63

Очевидно что максимальную прибыль мы получим от варианта А₃. Однако, обратившись к экспертам, мы получили вероятности событий для природы 0,5; 0,4; 0,1; соответственно. Таким образом

для А₁ 5*0,5 + 5*0,4 + 7*0,1 = 5,2
для А₂ 3*0,5 + 4*0,4 + 6*0,1 = 3,7
для А₃ 2*0,5 + 4*0,4 + 8*0,1 = 3,4

Думаю результат комментировать бессмысленно.

Основная задача состоит в том, чтобы найти оптимальные (или хотя бы рациональные) стратегии, наилучшим образом приводящие систему к цели при заданных внешних условиях. Для выбора стратегий в условиях неопределенности можно применять любые критерии, в условиях риска действеннее критерий Байеса. Однако выбор между самими критериями основывается обычно на интуиции, зависит от характера принимающего решение (в частности, его склонности к риску).

Если решение принимается в условиях неопределенности, то лучше использовать несколько критериев. В том случае, если рекомендации совпадают, можно с уверенностью выбирать наилучшее решение. Если рекомендации противоречивы, решение надо принимать более взвешенно, с учетом сильных и слабых сторон.

Выбор оптимальной стратегии в играх с природой определяется рядом критериев, таких как:

1. Критерий Вальда. Стратегия выбирается из условия max_i(min_ja_ij) и совпадает с нижней ценой игры. Игрок исходит из предположения о том, что природа будет действовать наихудшим для него образом, поэтому данный критерий считается пессимистическим.

2. Критерий максимума является оптимистическим и выбирается из условия max_i(max_ja_ij).

3. Критерий Гурвица рекомендует стратегию, определяемую по формуле max_i(A*min_j a_ij+ (1-A)*max a_ij), где А — степень оптимизма и изменяется в пределах от 0 до 1. Критерий придерживается промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При А=0 данный критерий можно заменить критерием максимума, а при А=1 — критерием Вальда. Величина критерия А зависит от степени ответственности игрока: чем она выше, тем ближе А к единице.

4. Критерий Сэвиджа. Суть его заключается в выборе стратегии, не допускающей слишком высоких потерь. Для этого используется матрица рисков, элементы которой отражают убытки, которые понесет игрок в том случае, если для каждого состояния природы не будет выбрано наилучшей стратегии.

Элементы этой матрицы находятся по формуле:

r_ij = max_i a_ij — a_ij, где max_i a_ij — максимальный элемент в столбце исходной матрицы.

Оптимальная стратегия определяется выражением min_i(max_j r_ij).

Пример. Предприятие может выпускать 3 вида верхней одежды: пальто (A₁), крутки (A₂), ветровки (A₃). Прибыль от продаж товара каждого вида определяется состоянием спроса, на который существенное влияние оказывают погодные условия, которые могут принимать 3 формы: (B₁), облачная (B₂) и ясная (B₃). Зависимость дохода предприятия от вида продукции и погодных условий представлена в таблице (млн. руб):

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: