Зависимость дохода предприятия

Тогда платёжная матрица A имеет вид:

А =

Элемент матрицы A — (a_ij) показывает, какой доход может получить фирма с, если она будет выпускать товар i ( i =1, 2, 3), а погода будет находиться в состоянии j (j = 1, 2, 3).

Необходимо определить пропорции, в которых предприятие должно выпускать продукцию из имеющегося материала, чтобы получить максимальный гарантированный доход вне зависимости от погодных условий.

Данная задача может быть сведена к антагонистической игре: в качестве первого игрока выступает предприятие, а в качестве второго — природа. Предположим, что природа может вести себя таким образом, чтобы минимизировать выгоду фирмы, преследуя, таким образом, противоположные интересы (это предположение позволяет оценить доход фирмы при максимально неблагоприятных погодных условиях). В этом случае фирма имеет в своём распоряжении три чистые стратегии:

1. производить только пальто;

2. производить только куртки;

3. производить только ветровки;

Как игрок, природа может использовать три возможные стратегии:

1. дождливую погоду (B₁);

2. облачную погоду (B₂);

3. ясную погоду (B₃).

Решение:

1. Проанализируем платёжную матрицу A.

А =

Матрица A не имеет доминируемых стратегий, следовательно, упростить ее нельзя

2. Проверим, имеет ли данная игра седловую точку.

Найдём нижнюю и верхнюю цену игры:

V_*=max_i min_ja_ij = 4.

V^*=min_jmax_ia_ij =.

V_* ≠V^*, поэтому данная антагонистическая игра не имеет седловой точки, а, следовательно, и решения в чистых стратегиях.

3. Решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Сведём ее к задаче линейного программирования. Если предприятие применяет свою оптимальную смешанную стратегию P^*, а природа применяет последовательно свои чистые стратегии, то математическое ожидание дохода, который фирма может получить, будет не меньше цены игры V. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств:

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему на V и введём новые переменные:

y_{1 =} ; y_{2 =} ; y_{3 =}

Поскольку p1+ p2+ p3= 1, новые переменные удовлетворяют условию:

y1 + y2 + y3 = 1/V

В результате получим новую систему неравенств:

Поскольку цель первого игрока — максимизация его выигрыша, а математическое ожидание его выигрыша не меньше цены игры, он будет стремиться максимизировать цену игры, что эквивалентно минимизации величины 1/V.

Таким образом, для первого игрока задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:

F(y_i) = y₁ + y₂ + y₃ → min

при следующих функциональных ограничениях:

и прямых ограничениях:

y₁ ≥ 0, y₂≥ 0, y₃≥ 0

Далее рассмотрим второго игрока — природу. Если будет применять свою оптимальную смешанную стратегию Q^*, а первый игрок — предприятие будет последовательно применять свои чистые стратегии, то математическое ожидание проигрыша второго игрока не будет превышать цены игры. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств:

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему на V и введём новые переменные:

x1= ; x2= ; x3=

Поскольку q1+ q2+ q3= 1, новые переменные удовлетворяют условию:

x1 + x2 + x3 = 1/V

В результате получим новую систему неравенств:

Поскольку цель второго игрока — минимизация проигрыша, а математическое ожидание его проигрыша не больше цены игры, то второй игрок будет стремиться минимизировать цену игры, что эквивалентно максимизации величины 1/V.

Таким образом, для природы задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:

F'(x_i) = x₁ + x₂ + x₃ → max

при следующих функциональных ограничениях:

и прямых ограничениях:

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0

Таким образом, для того чтобы найти оптимальную смешенную стратегию второго игрока, необходимо также решить задачу линейного программирования.

Задачи обоих игроков свелись к паре двойственных задач линейного программирования:

Таблица 1.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: