Решение задач в условиях неопределенности

Предприятие может производить 3 вида верхней одежды: пальто (А1), куртки (А2), ветровки (А3). Прибыль от продаж товара каждого вида определяется состоянием спроса, на который существенное влияние оказывают погодные условия, которые могут принимать 3 формы: (В1), облачная (В2) и ясная (В3). Зависимость дохода предприятия от вида продукции и погодных условий представлена в таблице (млн.руб):

Таблица 1. Зависимость дохода предприятия

Тогда платёжная матрица А имеет вид:

Элемент матрицы A — (𝑎𝑖𝑗) показывает, какой доход может получить фирма, если она будет выпускать товар 𝑖 (𝑖 = 1,2,3), a погода будет находиться в состоянии 𝑗 (𝑗 = 1,2,3). Необходимо определить пропорции, в которых предприятие должно выпускать продукцию из имеющегося материала, чтобы получить максимальный гарантированный доход вне зависимости от погодных условий. Эта проблема может быть сведена к антагонистической игре: первым игроком выступает предприятие, а второй - природа. Предположим, что природа может вести себя таким образом, чтобы свести к минимуму преимущество компании, преследуя таким образом противоречивые интересы (это предположение позволяет нам оценить доход компании в течение самых неблагоприятных погодных условиях). В этом случае, фирма имеет в своем распоряжении три чистые стратегии:

1. производить только пальто;

2. производить только куртки;

3. производить только ветровки.

Как игрок, природа может использовать три возможные стратегии:

1. дождливую погоду (В1);

2. облачную погоду (В2);

3. ясную погоду (В3).

Решение:

1. Проанализируем платёжную матрицу A. А = Матрица A не имеет доминируемых стратегий, следовательно, упростить ee нельзя.

2. Решение следует искать в стратегии смешанных игр. Ее мы сводим к задаче линейного программирования. Если компания применяет свою оптимальную смешанную стратегию P*, природа последовательно начинает применять свои чистые стратегии, ожидание дохода, фирма может получить, не менее, чем цена игры V. Поэтому, с учетом следующей системы неравенств выполняется:

6р₁ + 10р₂ +1р_{3 ³V}

9р₁ + 6р₂ +2р_{3 ³V}

4р₁ + 2р₂ +8р_{3 ³V}

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему на V и введём новые переменные: 𝑦₁ = 𝑝₁/𝑣; 𝑦₂ = 𝑝₂/ 𝑣; 𝑦₃ = 𝑝₃ /𝑣. Поскольку p₁+ p₂+ p₃= 1, новые переменные удовлетворяют условию: y₁ + y₂ + y₃ = 1/𝑣. B результате получим новую систему неравенств:

6y₁ + 10y₂ +1y₃ ³ 1

9y₁ + 6y₂ +2y₃ ³ 1

4y₁ + 2y₂ +8y₃ ³ 1

Целью первого игрока является - максимизации своего выигрыша, математическое ожидание выигрыша не меньше, чем цена игры, он будет стремиться максимизировать ценность игры, которая эквивалентна минимизации величины 1/𝑣. Таким образом, для первого игрока задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования: 𝐹(𝑦_𝑖) = 𝑦₁ + 𝑦₂ + 𝑦₃ → 𝑚𝑖𝑛 при следующих функциональных ограничениях:

6y₁ + 10y₂ +1y₃ ³ 1

9y₁ + 6y₂ +2y₃ ³ 1

4y₁ + 2y₂ +8y₃ ³ 1

и прямых ограничениях: 𝑦₁ ≥ 0, 𝑦₂ ≥ 0, 𝑦₃ ≥ 0. Далее будем рассматривать второго игрока - природа. Если вы будете использовать свою оптимальную смешанную стратегию Q*, а первый игрок - компания, которая последовательно будет применять чистую стратегию, то математическое ожидание проигрыша второго игрока не будет превышать цену игры. Следовательно, должны соответствовать следующей системе неравенств:

6x₁ + 10x₂ +1x₃ ≤ 1

9x₁ + 6x₂ +2x₃ ≤ 1

4x₁ + 2x₂ +8x₃ ≤ 1

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0.

Где: x₁ = q₁/𝑣; x₂ = q₂/ 𝑣; x₃ = q₃ /𝑣

Поскольку цель второго игрокa — минимизация проигрышa, a мaтемaтическoе oжидaние егo прoигрыша - не больше цeны игры, тo второй игрок будет стремиться минимизирoвать цeну игры, что эквивaлентно мaксимизации величины 1/𝑣. Тaким oбрaзoм, для прирoды задача oб опредeлeнии oптимaльнoй стрaтeгии пoвeдeния свeлaсь к зaдaчe линейнoгo прoграммирoвaния: 𝐹′(𝑥_𝑖) = 𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃ → 𝑚𝑎𝑥 при следующих функциональных oгрaничeниях:

6x₁ + 10x₂ +1x₃ ≤ 1

9x₁ + 6x₂ +2x₃ ≤ 1

4x₁ + 2x₂ +8x₃ ≤ 1

и прямых oграничeниях: 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0.

Тaким oбрaзoм, для тoгo чтoбы нaйти oптимaльнyю смeшaннyю cтрaтeгию втoрoго игрoка, необходимо тaкже решить зaдaчу линейнoгo прoгрaммирoвaния. Зaдaчи oбoих игрoкoв свелись к пaрe двoйствeнных зaдaч линейнoгo прoгрaммирoвaния.

Задача для самостоятельной работы 5. Решить задачу «планирование посева» при q₁ = 0,4, q₂ = 0,2, q₃ =0,4,. q₁: q₂: q₃ = t₁: t₂ : t₃ =2: 1: 3

Таблица 9

Задача для самостоятельной работы 6. Принять решение в условиях риска (в чистых стратегиях). На промышленном предприятии готовятся к переходу на выпуск новых видов продукции товаров народного потребления. При этом возможны четыре решения А₁, А₂, А₃, А₄, каждому из которых соответствует определенный вид выпуска продукции или их сочетание. Результаты принятых решений существенно зависят от обстановки (степени обеспеченности производства материальными ресурсами), которая может быть трех видов: П₁, П₂, П₃. Вероятности реализации каждой обстановки равны: q₁=0,5, q₂=0,3, q₃=0,2. Каждому сочетанию решений А_i, i=1...4 и обстановки П_j, j=1...3 соответствует определенный выигрыш – эффективность выпуска новых видов продукции. Всевозможные выигрыши представлены в платежной матрице (таблица 9).

Таблица 9.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: