Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Решение задач в условиях неопределенности





Предприятие может производить 3 вида верхней одежды: пальто (А1), куртки (А2), ветровки (А3). Прибыль от продаж товара каждого вида определяется состоянием спроса, на который существенное влияние оказывают погодные условия, которые могут принимать 3 формы: (В1), облачная (В2) и ясная (В3). Зависимость дохода предприятия от вида продукции и погодных условий представлена в таблице (млн.руб):

Таблица 1. Зависимость дохода предприятия

Товар Погодные условия
  Дожди (В1) Облачно (В2) Ясно (В3)
Пальто (А1)
Куртки (А2)
Ветровки (А3)

Тогда платёжная матрица А имеет вид:

Элемент матрицы A — (𝑎𝑖𝑗) показывает, какой доход может получить фирма, если она будет выпускать товар 𝑖 (𝑖 = 1,2,3) , a погода будет находиться в состоянии 𝑗 (𝑗 = 1,2,3) . Необходимо определить пропорции, в которых предприятие должно выпускать продукцию из имеющегося материала, чтобы получить максимальный гарантированный доход вне зависимости от погодных условий. Эта проблема может быть сведена к антагонистической игре: первым игроком выступает предприятие, а второй - природа. Предположим, что природа может вести себя таким образом, чтобы свести к минимуму преимущество компании, преследуя таким образом противоречивые интересы (это предположение позволяет нам оценить доход компании в течение самых неблагоприятных погодных условиях). В этом случае, фирма имеет в своем распоряжении три чистые стратегии:

1. производить только пальто;

2. производить только куртки;

3. производить только ветровки.

Как игрок, природа может использовать три возможные стратегии:

1. дождливую погоду (В1);

2. облачную погоду (В2);



3. ясную погоду (В3).

Решение:

1. Проанализируем платёжную матрицу A. А = Матрица A не имеет доминируемых стратегий, следовательно, упростить ee нельзя.

2. Решение следует искать в стратегии смешанных игр. Ее мы сводим к задаче линейного программирования. Если компания применяет свою оптимальную смешанную стратегию P*, природа последовательно начинает применять свои чистые стратегии, ожидание дохода, фирма может получить, не менее, чем цена игры V. Поэтому, с учетом следующей системы неравенств выполняется:

1 + 10р2 +1р3 ³V

1 + 6р2 +2р3 ³V

1 + 2р2 +8р3 ³V

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему на V и введём новые переменные: 𝑦1 = 𝑝1/𝑣 ; 𝑦2 = 𝑝2/ 𝑣 ; 𝑦3 = 𝑝3 /𝑣 . Поскольку p1+ p2+ p3= 1, новые переменные удовлетворяют условию: y1 + y2 + y3 = 1/𝑣. B результате получим новую систему неравенств:

6y1 + 10y2 +1y3 ³1

9y1 + 6y2 +2y3 ³1

4y1 + 2y2 +8y3 ³1

Целью первого игрока является - максимизации своего выигрыша, математическое ожидание выигрыша не меньше, чем цена игры, он будет стремиться максимизировать ценность игры, которая эквивалентна минимизации величины 1/𝑣 . Таким образом, для первого игрока задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования: 𝐹(𝑦𝑖 ) = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 → 𝑚𝑖𝑛 при следующих функциональных ограничениях:

6y1 + 10y2 +1y3 ³1

9y1 + 6y2 +2y3 ³1

4y1 + 2y2 +8y3 ³1

и прямых ограничениях: 𝑦1 ≥ 0 , 𝑦2 ≥ 0 , 𝑦3 ≥ 0. Далее будем рассматривать второго игрока - природа. Если вы будете использовать свою оптимальную смешанную стратегию Q*, а первый игрок - компания, которая последовательно будет применять чистую стратегию, то математическое ожидание проигрыша второго игрока не будет превышать цену игры. Следовательно, должны соответствовать следующей системе неравенств:

6x1 + 10x2 +1x3 1

9x1 + 6x2 +2x3 1

4x1 + 2x2 +8x3 1

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0.

Где: x1 = q1/𝑣 ; x2 = q2/ 𝑣 ; x3 = q3 /𝑣

Поскольку цель второго игрокa — минимизация проигрышa, a мaтемaтическoе oжидaние егo прoигрыша - не больше цeны игры, тo второй игрок будет стремиться минимизирoвать цeну игры, что эквивaлентно мaксимизации величины 1/𝑣. Тaким oбрaзoм, для прирoды задача oб опредeлeнии oптимaльнoй стрaтeгии пoвeдeния свeлaсь к зaдaчe линейнoгo прoграммирoвaния: 𝐹′(𝑥𝑖) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥 при следующих функциональных oгрaничeниях:

6x1 + 10x2 +1x3 1

9x1 + 6x2 +2x3 1

4x1 + 2x2 +8x3 1

и прямых oграничeниях: 𝑥1 ≥ 0 , 𝑥2 ≥ 0 , 𝑥3 ≥ 0.

Тaким oбрaзoм, для тoгo чтoбы нaйти oптимaльнyю смeшaннyю cтрaтeгию втoрoго игрoка, необходимо тaкже решить зaдaчу линейнoгo прoгрaммирoвaния. Зaдaчи oбoих игрoкoв свелись к пaрe двoйствeнных зaдaч линейнoгo прoгрaммирoвaния.

Задача для самостоятельной работы 5.Решить задачу «планирование посева» при q1 = 0,4, q2 = 0,2, q3 =0,4, . q1 : q2 : q3 = t1 :t2 : t3 =2 : 1 : 3

Таблица 9

Доход от культуры (тыс.руб./центнер) Состояния погоды
B1 B2 B3
A1 50 40 30
A2 30 50 20
A3 10 50 70

 

Задача для самостоятельной работы 6.Принять решение в условиях риска (в чистых стратегиях). На промышленном предприятии готовятся к переходу на выпуск новых видов продукции товаров народного потребления. При этом возможны четыре решения А1, А2, А3, А4, каждому из которых соответствует определенный вид выпуска продукции или их сочетание. Результаты принятых решений существенно зависят от обстановки (степени обеспеченности производства материальными ресурсами), которая может быть трех видов: П1, П2, П3. Вероятности реализации каждой обстановки равны: q1=0,5, q2=0,3, q3=0,2. Каждому сочетанию решений Аi, i=1...4 и обстановки Пj, j=1...3 соответствует определенный выигрыш – эффективность выпуска новых видов продукции. Всевозможные выигрыши представлены в платежной матрице (таблица 9).

Таблица 9.

  П1 П2 П3
А1 0,25 0,35 0,40
А2 0,70 0,20 0,30
А3 0.35 0,85 0,20
А4 0,80 0,10 0,35

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.