|
Элементарные задачи на построение
С помощью основных построений решаются некоторые задачи, достаточно простые и часто встречающиеся при решении других, более сложных. Такие задачи считаются элементарными и описания их решения, если они встречаются при решении более сложных, не дается. Выбор элементарных задач является условным. Задача на построение считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами. Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение. 1. Построить на данной прямой отрезок СD, равный данному отрезку АВ Возможность такого построения вытекает из аксиомы откладывания отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется следую щим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность радиусом, равным отрезку АВ. Точку пересечения окружности с прямой а обозначаем D. Получаем отрезок СD, равный АВ. 2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Пусть даны угол А и полупрямая с начальной точкой О. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла (рис. а). Точки пересечения окружности со сторонами угла обозначим В и С. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О (рис. б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В'. Опишем окружность с центром В' и радиусом ВС. Точка С' пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Построенный угол В'ОС' равен углу ВАС, так как это соответствующие углы равных треугольников АВС и В'ОС.
3. Найти середину отрезка. Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности одного радиуса с центрами А и В (рис.). Они пересекаются в точках С и С', лежащих в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Проведем прямую СС'. Она пересечет прямую АВ в точке О. Эта точка и есть середина отрезка АВ. Действительно, треугольники САС' и СВС' равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов А СО и ОСВ. Значит, отрезок СО -биссектриса равнобедренного треугольника АСВ и, следовательно, его медиана, т.е. точка О - середина отрезка АВ.
4. Построить биссектрису данного угла. Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис.). Пусть В и С- точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С описываем окружности одного радиуса. Пусть В - точка их пересечения, отличная от А. Тогда полупрямая АО и есть биссектриса угла А. Докажем это. Для этого рассмотрим треугольники АВD и АСВ. Они равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство соответствующих углов DАВ и ВАС, т.е. луч АD делит угол ВАС пополам и, следовательно, является биссектрисой. 5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой. Пусть даны точка О и прямая а. Возможны два случая:
1) точка О лежит на прямой а; 2) точка О не лежит на прямой а. В первом случае построение выполняется так же, как и в задаче 4, потому что перпендикуляр из точки О, лежащей на прямой, - это биссектриса развернутого угла (рис.). Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а (рис.), а затем из точек А и В тем же радиусом проводим еще две окружности. Пусть О' - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая 00' и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и 00'. Треугольники АОВ и АО'В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О'АС и, значит, треугольники ОАС и О'АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда их углы АСО и АСО' равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а. 6. Через данную точку провести прямую, параллельную данной. Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой (рис.). Возьмем на прямой а какую-нибудь точку В и соединим ее с точкой А. Через точку А проведем прямую с, образующую с АВ такой же угол, какой АВ образует с данной прямой а, но на противоположной стороне от АВ. Построенная прямая будет параллельна прямой а, что следует из равенства накрест лежащих углов, образованных при пересечении прямых а и с секущей АВ. Упражнения
1. Постройте с помощью циркуля и линейки сумму и разность двух данных: а) отрезков; б) углов. 2. Разделите данный угол на 4 равных части. 3. Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему, треугольник АВD. 4. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|