|
Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.Для возбуждения в контуре колебаний предварительно заряжают конденсатор, сообщая его обкладкам заряд ±q. Тогда в начальный момент времени t= 0 (рис. 19, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, конденсатор начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. Когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля конденсатора полностью перейдет в энергию магнитного поля катушки (рис. 19, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать, и, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, тогда в ней согласно закону Фарадея индуцируется ток, который течет в соответствии с правилом Ленца в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 19, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 19, г), и система к моменту времени t=Т (Т – период колебаний) придет в первоначальное состояние (рис. 19, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора, то есть начнутся периодические незатухающие колебания величины заряда q на обкладках конденсатора, напряжения UC на конденсаторе и силы тока I, текущего через катушку индуктивности. Согласно закону Фарадея напряжение UC на конденсаторе определяется скоростью изменения силы тока в катушке индуктивности идеального контура, то есть: . Исходя из того, что UC=q/C, а I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора: или . Решением этого дифференциального уравнения является функция q (t), то есть уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора: , где q (t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t; q 0 – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора; – круговая (или циклическая) частота колебаний (); =2 / T (T – период колебаний, – формула Томсона); – фаза колебаний в момент времени t; – начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в момент времени t =0. Уравнение свободных затухающих гармонических колебаний. В реальном колебательном контуре учитывается, что кроме катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С, в цепи также имеется резистор сопротивлением R,отличным от нуля, что является причиной затухания колебаний в реальном колебательном контуре. Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Для цепи реального колебательного контура напряжения на последовательно включенных конденсаторе емкостью С и резисторе сопротивлением R складываются. Тогда с учетом закона Фарадея для цепи реального колебательного контура можно записать: , где – электродвижущая сила самоиндукции в катушке; UC – напряжение на конденсаторе (UC =q/C); IR – напряжения на резисторе. Исходя из того, что I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора: или , где – коэффициент затухания колебаний (), . Решением полученного дифференциального уравнения является функция q (t), то есть уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора: , где q (t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t; – амплитуда затухающих колебаний заряда в момент времени t; q 0 – начальная амплитуда затухающих колебаний заряда; – круговая (или циклическая) частота колебаний (); – фаза затухающих колебаний в момент времени t; – начальная фаза затухающих колебаний. Период свободных затухающих колебаний в реальном колебательном контуре: . Вынужденные электромагнитные колебания. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо в процессе колебаний компенсировать потери энергии. Такая компенсация в реальном колебательном контуре возможна с помощью внешнего периодически изменяющегося по гармоническому закону переменного напряжения U (t): . В этом случае дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний примет вид: или . Решением полученного дифференциального уравнения является функция q (t): . В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими, а амплитуда и фаза колебаний определяются следующими выражениями: ; . Отсюда следует, что амплитуда колебаний величины заряда имеет максимум при резонансной частоте внешнего источника : . Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к частоте, близкой частоте , называется резонансом.
Тема 10. Электромагнитные волны Согласно теории Максвелла электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость распространения которых определяется выражением: , где и – соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды, с – скорость света в вакууме (). В вакууме (e = 1, m = l) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света(с), что согласуется с теорией Максвелла о том, что свет представляет собой электромагнитные волны. По теории Максвелла электромагнитные волны являются поперечными, то есть векторы и напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны, причем векторы , и образуют правовинтовую систему (рис. 20).
Из теории Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и колеблются в одинаковых фазах (рис. 20), то есть значения напряженностей Е и Н электрического и магнитного полей одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, причем мгновенные значения Е и Н связаны соотношением: . Уравнение плоской монохроматической электромагнитной волны (индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей в соответствии с рис. 20):
, ,
где E 0 и Н 0– соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей, w – круговая частота волны, (T – период колебаний), k – волновое число, ( – длина волны), j – начальная фаза колебаний (начальная фаза колебаний j имеет одинаковое значение как для колебания электрического, так и магнитного векторов, так как в электромагнитной волне эти колебания происходят в одинаковых фазах). Энергия электромагнитных волн. Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей wэл электрического и wм магнитного полей: . Учитывая выражение связи между величинами Е и Н, можно получить, что суммарная плотность энергии электрического и магнитного полей: . Умножив плотность энергии w на скорость распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии: . Tax как векторы и взаимно перпендикулярны, то произведение EH совпадает с модулем вектора ( – векторное произведение векторов и ). Кроме того, направление вектора совпадает с направлением распространения волны, то есть с направлением переноса энергии, что позволило ввести в ектор , равныйвекторному произведению , как вектор плотности потока электромагнитной энергии, называемый вектором Умова – Пойнтинга: . Итак, вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|