Розподіл швидкості по горизонтальному перерізу труби

Розглянемо ламінарний рух рідини у трубопроводі (рис. 21 а), в якому: r₀ – повний радіус, r – поточний радіус, t – дотична напруга, v – вектор швидкості, N – вектор підрахунку, який починається від стінки трубопроводу.

Рис. 21. До виведення рівняння розподілу швидкості рідини по горизонтальному перерізу труби

Виділимо з рівняння рівномірного руху (2.25) дотичну напругу

® t ₀ = rgJR

і з рівняння Ньютона для в’язкої рідини (1.27)

®

Прирівнявши праві частини цих рівнянь і замінивши dN на dr, отримаємо

(2.26)

Оскільки для труби круглого перерізу гідравлічний радіус R = r /2, (2.26) можна записати у вигляді:

(2.27)

Поділимо перемінні інтегрування й запишемо диференціальне рівняння:

(2.28)

і, проінтегрувавши по радіусу і швидкості, отримаємо:

, звідки (2.29)

Для визначення сталої інтегрування С необхідно, щоб функція швидкості дорівнювала нулю. При цьому r=r₀.

(2.30)

Підставивши (2.30) у (2.29), отримаємо формулу швидкості при ламінарному русі рідини:

(2.31)

При r = r₀, тобто у центрі потоку, швидкість набуває максимального значення

(2.32)

Якщо порівняти вираження з (2.31) і (2.32), то отримаємо

(2.33)

(2.33) – математичне вираження закону Стокса, який характеризує розподіл швидкостей у перерізі трубопроводу при ламінарному русі.

Середня швидкість при ламінарному русі

Для практичних розрахунків необхідно знати середнє значення швидкості. Напишемо вираження для елементарної витрати рідини dQ, що проходить через елементарну площинку dS кільцевого перерізу з поточним радіусом r (рис. 21, б)

dQ = w_rdS=w_r× 2 prdr (2.34)

Підставляючи у (2.34) вираження (2.31), отримаємо:

(2.35)

Інтегруючи це рівняння по усій площі живого перерізу потоку, отримаємо повну витрату

(2.36)

Середня швидкість

(2.37)

Порівнюючи (2.37) з (2.32), бачимо, що при ламінарному русі рідини в круглій трубі середня швидкість складає половину від максимальної, тобто w _сер = 0,5 w _макс.

Формула (2.36) була вперше отримана доктором медицини Пуазейлем у 1840 р.

Втрати напору при русі рідини

Враховуючи, що J = Dh: l, вираження (2.37) запишемо у вигляді:

(2.38)

З розгляду залежності (2.38) випливає, що у випадку ламінарного руху втрати напору Dh_l прямо пропорційні середній швидкості w у першій степені.

Опор руху рідини в каналах при ламінарномурусі розраховують за рівнянням, яке можна отримати шляхом перетворення основного рівняння ламінарного руху рідини (2.38), помноживши та поділивши його праву частину на 2 w.

звідки втрата напору на тертя для каналу круглого перерізу

(2.39)

Позначимо - коефіцієнт тертя, який враховує втрату напору на тертя по довжині трубопроводу будь-якого перерізу. Коефіцієнт А характеризує форму перерізу каналу: для круглого перерізу А =64, квадратного А =57, кільцевого А=96.

Формулу (2.39) можна записати з урахуванням коефіцієнта тертя в такому вигляді:

(2.40)

Ця формула носить назву Дарси-Вейсбаха.

Турбулентний рух

Закони турбулентногоруху рідини досліджувалися вченими Прандтлем, Нікурадзе та ін. Встановлено, що при русі рідини біля твердих тіл на поверхні останніх утворюється тонка плівка рідини. Рух рідини в межах цієї плівки завжди ламінарний, незважаючи на те, що в основному потоці (у ядрі течії) рух має турбулентний характер. Товщина ламінарної плівки дуже мала і залежить від швидкості, в’язкості рідини та розмірів потоку. Товщину ламінарної плівки можна підрахувати за одним із рівнянь

(2.41)

або

(2.42)

При використанні рівняння (2.42) спочатку коефіцієнтом тертя задаються (в межах від 0,05 до 0,02) а потім його значення уточнюють.

Значення коефіцієнта тертя залежить від абсолютної шорсткості стінки, тобто середньої висоти виступів e і товщини ламінарної плівки δ (див. рис.22 а і б).

а б

Рис.22. Висота виступів на стінках труби і товщина ламінарної плівки: а – гідравлічно гладка труба; б – “шорстка” труба

Якщо δ> e, труба розглядається як “гідравлічно гладка” (рис. 22 а). Якщо δ< e – труба вважається “шорсткою” (рис 22 б). В останньому випадку за інших рівних умов коефіцієнт тертя λ, а отже, і втрата напору по довжині труби, буде значно більшими. При невеликих значеннях чисел Рейнольдса труби вважаються гладкими, при збільшенні швидкості (числа Рейнольдса) - стають шорсткими, внаслідок чого втрати напору по довжині значно зростають.

Коефіцієнт тертя “гідравлічно гладких” трубах в межах Re=15000÷100000 підраховується за рівнянням Бласіуса

(2.43)

Характеристиками шорстких труб, як вже відмічалось, є абсолютна геометрична шорсткість e - висота виступів (мм) і відносна шорсткість e. .

Для характеристики шорсткості використовують також величину .

Для розрахунку коефіцієнту тертя в шорстких трубах використовують рівняння:

(2.44)

Для турбулентного руху і для будь-яких режимів користуються залежністю (рис. 23)

(2.45)

Рис. 23. До визначення коефіцієнту тертя

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: