ГЛАВНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Касательные напряжения в наклонных площадках, если тен­зор напряжений дан в главных компонентах, выражаются урав­нением (3.11)

Выясним, в каких площадках касательные напряжения полу­чают экстремальные значения. Из условия

. (а)

имеем, например,

Подставляя в выражение (3.11), получим

Дифференцируем по и приравниваем частотную производ­ную нулю для нахождения экстремума:

.

Сокращаем на 2 () и выносим a_t за скобки:

.

.

Меняем знак, выносим за скобки и и делим на 2:

. (б)

Аналогичным образом, дифференцируя уравнение по и приравнивая частную производную нулю, получим

. (в)

Решениями уравнений (б) и (в) прежде всего, являются = 0; = 0. Подставляя = = 0 в условие (а), найдем а₃ = ±1 и, таким образом, получаем первую группу значений направляющих косинусов, при которых имеет экстремум:

. .

Далее, приняв из уравнения (в), получим , а при этих значениях и из условия (а) определим соответ­ствующее значение ,и следовательно, получим вто­рую группу значений определяющую экстремум для :

.

Наконец, подставляя = 0 в уравнение (б), получим , а по этим значениям из уравнения (а) определим и в результате найдем третью группу значений при которых имеет экстремум:

; ; .

Далее из условия выражаем и , под­ставляем их значения в формулу (3.11) и производим аналогич­ные выкладки.

В результате получим следующие шесть групп значений направляющих косинусов, при которых касательные напряжения получают экстремальные значения:

 

Направляющие косинусы	Группы значений направляющих косинусов
			±1
		±1
	±1

Первые три группы значений направляющих косинусов опре­деляют координатные плоскости, которые при рассмотрении дан­ного вопроса приняты за главные и в которых касательные напря­жения равны нулю. Следовательно, вторые три группы значений определяют плоскости, в которых касательные напряжения дости­гают максимальных значений (абсолютных), поскольку нахожде­ние экстремальных значений проводилось для по уравне­нию (3.11).

Легко видеть, что каждая из этих групп значений выражает плоскости, параллельные одной из координатных плоскостей и составляющие углы 45° с каждой из двух других, или, что то же самое, плоскости, проходящие через одну координатную ось и делящие угол между двумя другими пополам. Таким образом, всего получим (рис. 3.3) три пары (а, б и в) взаимно перпенди­кулярных площадок, в которых касательные напряжения дости­гают максимальных абсолютных значений. Из шести этих пло­щадок и шести им параллельных можно составить фигуру ром­бического додекаэдра (двенадцатигранника) согласно рис. 3.4.

 

Рис. 3.3. Площадки действия максимальных касательных напряжений

Подставляя в уравнение (3.11) полученные значения направ­ляющих косинусов, найдем значения максимальных касатель­ных напряжений:

;

(3.19)

;

Рис.3.4. Ромбический додекаэдр

Индексы при означают, полу­разность каких главных напряжений равна данному и к каким осям плоскость действия т наклонена под углом 45° (см. рис. 3.3). Эти каса­тельные напряжения называют так­же главными. касатель­ными напряжениями. Таким образом, главные касатель­ные напряжения равны полуразно­стям соответствующих главных нор­мальных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение равно полуразности алгеброически наибольшего и наименьшего главных нормальных на­пряжений.

Если все три главные нормальные напряжения равны между собой, то их полуразности и, следовательно, все касательные напряжения обращаются в нуль, т. е. отсутствуют. Этот резуль­тат мы получили и раньше при рассмотрении эллипсоида напря­жений и шарового тензора (3.18).

Направления главных касательных напряжений на площад­ках их действия параллельны той главной координатной пло­скости, к которой данная площадка является нормальной (см. рис. 3.3). Вместе с тем направления главных касательных напря­жений (на рис. 3.4 показаны стрелками) образуют ребра пра­вильного октаэдра с вершинами ABC на главных осях.

Как видно из уравнения (3.19), сумма трех главных касатель­ных напряжений равна нулю:

= 0. (3.20)

Из этого уравнения следует, что знак наибольшего по абсо­лютной величине главного касательного напряжения противо­положен знаку двух других.

Это условие необходимо соблюдать при назначении знаков главных касательных напряжений в каждой конкретной задаче.

На гранях додекаэдра (см. рис. 3.4), пересекающихся в точке D, т. е. в точке, расположенной в первом октанте, направления, по которым главные касательные напряжения положительны, указаны стрелками.

Определим значение нормальных напряжений в площадках, по которым действуют главные касательные напряжения, для чего подставляем значения направляющих косинусов в уравне­ние (3.10):

. (3.21)

т. е. нормальные напряжения, действующие в площадках главных касательных, равны полусуммам главных нормальных напряжений.

Из выражений (3.19) главных касательных напряжений также видно, что при увеличении или уменьшении главных нормальных напряжений на одну и ту же величину значения главных каса­тельных напряжений не изменятся, т. е. добавление к напря­женному состоянию равномерного растяжения или сжатия не изменяет величины касательных напряжений. Это дает возмож­ность всегда представить тензор напряжений в виде суммы двух тензоров.

Обозначим среднее нормальное напряжение через , тогда

(3. 22)

т. е. среднее нормальное напряжение равно одной трети первого инварианта тензора напряжений (3.15). Составим шаровой тензор (3.18):

. (3.18 a)

Вычтем этот тензор из тензора напряженного состояния точки, что изображается так:

=

= = (3.23)

ИЛИ

(3.24)

Тензор называется девиатором напряжений. Таким образом, в общем случае тензор напряженного состояния определяется суммой шарового тензора и девиатора напряжений.

Легко видеть, что сумма компонент девиатора напряжений по главной диагонали равна нулю:

= 0. (3.25)

Напряженное состояние, определяемое шаровым тензором, представляет собой всесторон­нее равномерное сжатие (о отрицательно) или всестороннее рав­номерное растяжение. Такое напряженное состояние не может вызвать изменения формы тела — возможно лишь изменение объема (при упругой деформации) и разрушение. Если же напря­женное состояние, в котором находится какое-либо тело, опре­деляется девиатором, то тело изменяет форму без изменения объема даже при упругом деформировании.

Разложение тензора напряжений на два — шаровой и девиатор — представляет прежде всего математическую операцию, которой не следует придавать безоговорочно физического смысла, т. е. например, считать, что тело находится под одновременным или последовательным действием двух независимых систем напря­жений, эффекты которых складываются.

Вопрос о физическом смысле тензорных представлений в тео­рии напряженного состояния подробно рассматривал И. М. Пав­лов [2].

ОК.ТАЭДРИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Определим напряжения в площадках, одинаково наклонен­ных к главным осям. В этом случае

.

откуда

.. (3.26)

Таких площадок четыре. С четырьмя им параллельными они образуют фигуру октаэдра. Поэтому их называют октаэдрическими, и так же называют напряжения, которые действуют в этих площадках (рис. 3.5).

Нормальное октаэдрическое напряжение

. (3.27)

Нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему нор­мальному напряжению или одной трети первого инварианта тензора напряжений.

Касательное октаэдрическое напряжение определится из вы­ражения (3.11):

.

или после раскрытия скобок

(3.28)

откуда

(3.29)

или, если учесть значения главных касательных напряжений по уравне­ниям (3.20),

. (3.29, а)

Таким образом, касательное ок­таэдрическое напряжение равно одной трети корня квадратного из суммы квадратов разностей главных нор­мальных напряжений или двум тре­тям корня квадратного из суммы квадратов главных касательных на­пряжений.

Возьмем квадрат первого инварианта (3.14) тензора напря­жений, выраженного в главных нормальных напряжениях:

, (3.30)

и второй инвариант (3.15), выраженный также в главных напря­жениях:

.. (3.31)

Рис.3.5. Октаэдр

Сравнивая уравнения (3.30) и (3.31) с уравнением (3.28), видим, что

(3.28,а)

откуда получаем возможность определить октаэдрическое каса­тельное напряжение через компоненты напряжений, действующих по случайным (не главным) ортогональным площадкам, исполь­зуя выражения для первого и второго инвариантов тензора напря­жений (3.14) и (3.15):

После преобразования получим

' (3.28 б)

Определим, используя выражение (3.15), второй инвариант девиатора напряжений (3.24):

+

или, учитывая (3.23),

. (3.32а)

Отсюда видно, что квадрат октаэдрического касательного напряжения равен двум третям второго инварианта девиатора напряжений, взятого с обратным знаком:

(3.296)

или

. (3.30в)

Октаэдрическое касательное напряжение близко по величине к наибольшему касательному напряжению для той же точки и находится в пределах 0,941 > > 0,816.

Касательное напряжение, выражаемое уравнениями (3.30), принимая интерпретацию М. Роша и А. Эйхингера, называют также интенсивностью касательных напря­жений [1]. Другие авторы интенсивность касательных напряжений ,согласно Г. Генки, определяют выражением [3]

(3.30г)

отличающимся от уравнения (3.29) постоянным коэффициентом. Квадрат правой части этого выражения в точности равен второму инварианту девиатора напряжений, взятому с обратным знаком. В отличие от октаэдрического касательного напряжения по равенству (3.29) интенсивность касательных напряжений по урав­нению (3.30г) является величиной скалярной.

Величина интенсивности касательных напряжений изме­няется в зависимости от вида напряженного состояния (соотно­шений между компонентами тензора напряжений) в пределах

= (1 — 1,155) ,

где — максимальное по абсолютной величине главное каса­тельное напряжение.

От интенсивности касательных напряжений следует отличать интенсивность напряжений или обобщен­ное напряжение , которое в главных напряжениях выражается

. (3.33)

Интенсивность напряжений на произвольных площадках найдем по формуле

Величина так же, как и по формуле (3.30г), представ­ляет собой величину скалярную.

В ряде работ интенсивность касательных напряжений сдвига обозначают так .

В главных напряжениях определяется по формуле (3.30 г), а в напряжениях на произвольных площадках –– по формуле

Интенсивность касательных напряжений сдвига и интенсивность напряжений связаны очевидной зависимостью

.

Величина интенсивности напряжений в зависимости от вида напряженного состояния изменяется в пределах

где и — соответственно алгебраически максимальное и минимальное главное нормальное напряжение.

Легко определить, что для линейного напряженного состоя­ния (линейного растяжения или сжатия), когда два из трех главных напряжений равны нулю, интенсивность напряжений по величине совпадает с главным нормальным напряжением, растя­гивающим или сжимающим.

На основании ранее сказанного о напряженном состоянии точки можно отметить следующие характерные площадки, про­ходящие через нее:

а) три главные площадки, на которые действуют главные нормальные напряжения, а касательные отсутствуют;

б) шесть площадок, по которым действуют главные каса­тельные напряжения;

в) четыре площадки действия одинаковых по величине октаэдрических напряжений.

Таким образом, всего есть 13 характерных площадок.

3.9. Д ИАГРАММА НАПРЯЖЕНИЙ МОРА

Диаграмма напряжений по О. Мору (или круги Мора) дает графическое представление о совокупности векторов напряжений нормального и касательного , действующих в различных наклонных площадках, рассматриваемых в системе главных осей. Диаграмму эту строят, откладывая величины нормальных напряжений по оси абсцисс, а корреспондирующих им каса­тельных напряжений — по оси ординат.

Нормальное напряжение в наклонной площадке определяется выражением (3.10):

Вместе с тем из уравнений (3.11) и (3.10) следует

(3.34)

Кроме того, напишем известное условие для направляющих косинусов в виде

1 = . (3.35)

Умножим обе части уравнения (3.10) на ( + ), затем почленно вычтем результат из уравнения (3.34) и прибавим сюда почленно уравнение (3.35), предварительно умножив обе части его на . Таким образом, получим

(a)

Прибавляя к обеим частям уравнения (а) по , после элементарных преобразований получим

(3.36а)

Применяя ту же методику, выведем еще два аналогичных уравнения

(3.36б)

(3..36в)

Из сравнения полученных уравнений (3.36а, б и в) с извест­ным из аналитической геометрии уравнением окружности

можно заключить, что уравнения системы (3.36) также опреде­ляют окружности. Центры их расположены на оси абсцисс (на оси ) и отстоят от начала координат соответственно для урав­нений (а), (б) и (в) на расстояния

; и

В правых частях уравнений (3.36), представляющих собой квадрат радиуса R окружности, есть изменяемый параметр ( и ). Поэтому каждое из уравнений (3.36) является уравне­нием семейства концентрических окружностей.

Уравнения (3.10), (3.34) и (3.35) определяют корреспонди­рующие значения напряжений и для заданных условий. При математическом преобразовании этих уравнений в систему (3.36) физический смысл остается неизменным.

Таким образом, первое уравнение системы (3.36) определяет в виде окружности геометрическое место точек и для того или иного заданного значения направляющего косинуса . То же справедливо и для двух других уравнений системы.

Следовательно, для заданной возможной [т. е. удовлетворяю­щей уравнению (3.35)] группы значений направляющих косину­сов и величины и определяются (рис. 3.6) точками Р пересечения трех окружностей.

Выясним далее, в какой зоне могут быть расположены эти точки. Примем условие , т. е. индексом 1 обозначим наибольшее (алгебраически) по величине главное нормальное минимальное, а индексом 2 — среднее, промежуточ­ное.

Рис. 3.6. Графический метод определения и

Это условие всегда можно соблюсти, посколь­ку оси координат равно­правны.

Определим величины радиусов Rl, R2 и R3 ок­ружностей, заданных уравнениями (а), (б) и (в)системы (3.36) при значе­ниях направляющих коси­нусов соответственно

;

cos и

,

т. е. для углов = 90°

(при ); (3.37а)

(при ); (3.37б)

(при ); (3.37в)

Как видно из уравнений (3.36а) и (3.36в), при увеличении значений и радиусы соответствующих окружностей уве­личиваются. А это значит, что возможные пары значений и находятся на самих окружностях радиусов при и при или вне их, но не могут располагаться внутри.

Если же увеличивается значение , то радиус умень­шается, поскольку разность отрицательна согласно при­нятому выше соотношению главных напряжений, и, следовательно, значения и располагаются внутри окружности радиуса при = 0.

Проведя окружности радиусами (при ), (при ) и (при ), по уравнениям (3.37) из ранее указанных центров получим диаг­рамму Мора (рис. 3.7). Пары корреспондирующих значений а_н и т лежат внутри заштрихованных криволинейных треугольни­ков, ограниченных проведенными окружностями — «главными кругами» Мора. На рис. 3.7 также отмечены характерные точки (А, В, С, D, E, F) диаграммы.

Из формул (3.37) видно, что радиусы кругов численно равны величинам главных касательных напряжений.

При помощи построения, показанного на рис. 3.8, по задан­ным углам и можно определить значения и в наклонной площадке, а также ре­шить обратную задачу. Знак касательного напря­жения по диаграмме Мора в общем случае определить нельзя.

Легко заметить, что уве­личение или уменьшение напряжений , и на одну и ту же величину не изменяет радиусов глав­ных кругов и взаимных расстояний между их цент­рами. Изменяется лишь положение оси . Если ось сдвинуть в сторону фигуры (в случае, пока­занном на рис. 3.7, —вправо) на величину среднего нормального напряжения [формула (3.23)], то получим отображение девиатора напряже­ний (рис. 3.9). Ось т в этом случае всегда пересекает фигуру. Ее можно провести при помощи построения, показанного на рис. 3.9, не вычисляя .

Шаровой тензор напряжений отобразится на диаграмме Мора окружностью нулевого радиуса (точкой О'), расположенной на расстоянии от начала координат.

Рис. 3.7. Диаграмма Мора

Рис. 3.8. Определение и на наклонной площадке

Рис. 3.9. Отображение девиатора напряжений

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: