|
|
ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЕ НАПРЯЖЕНИЙРанее было установлено, что напряженное состояние точки выражается поверхностью (3.7). Это значит, что напряженное состояние есть величина тензорная в отличие от скалярной (определяемой числом) и векторной (определяемой числом и направлением). Эта поверхность, а вместе с ней и напряженное состояние определяются девятью напряжениями в координатных площадках. Поэтому можно дать особый смысл матрице (3.1), которой были представлены эти напряжения, а именно записать
Правая часть равенства представляет собой с точки зрения тензорного анализа симметричный тензор 2-го ранга. Эту запись можно понимать так: напряженное состояние
Если даны главные напряжения, то тензор напряжений запишется так:
С тензором можно производить различные математические действия, изучаемые в тензорном анализе, в частности тензоры можно вычитать и складывать, с чем мы встретимся дальше. Выясним теперь, можно ли определить величину главных напряжений и положение главных плоскостей по тензору напряжений, данному в произвольных координатных осях. Пусть в какой-то, пока неизвестной, наклонной площадке действует только нормальное напряжение Пользуясь известными выражениями (3.3), можно написать
Преобразуем написанные уравнения так:
Полученная система уравнений относительно ах, ау, az является линейной и однородной (свободные члены равны нулю). Так как ах, ау и аг не могут быть все три одновременно равны нулю, то, как известно из теории уравнений, определитель этой системы должен быть равен нулю, т. е.
Развертывая определитель и производя преобразования, получим кубическое уравнение относительно
или
Из курса высшей алгебры и тензорного исчисления известно, что если тензор второго ранга симметричен, что в нашем случае имеет место, то корни кубического уравнения (3.13, б) вещественны. Обозначим эти корни соответственно через Главные направления можно выбрать за направления осей координат. В дальнейшем эти координаты будем обозначать индексами 1, 2 и 3. Так как существование главных направлений не зависит от выбора системы координат, то коэффициенты в уравнении (3.13, б) должны быть инвариантами, т. е. величинами, не зависящими от выбора системы отсчета. Поэтому, если выбрать в качестве системы отсчета главные координаты, то получим следующую связь между инвариантами:
В теории упругости и пластичности полученные выше инварианты играют важную роль. Корни кубического уравнения (3.13, б), являющиеся главными напряжениями могут быть вычислены по формулам
Значение угла
Подставляя последовательно каждый из трех корней уравнения (3.13, б) в уравнения а и решая затем эту систему уравнений относительно неизвестных
ЭЛЛИПСОИД НАПРЯЖЕНИЙ Выразим компоненты напряжений в наклонной площадке формулами (3.8)
откуда но
Подставляя в последнее уравнение значения а2 из предыдущих выражений, имеем
Поскольку длина радиус-векторов эллипсоида ограничена длиной его большой полуоси с одной стороны и малой — с другой, постольку полные напряжения S в различных площадках данной точки по абсолютной величине всегда меньше наибольшего (по абсолютной величине) главного напряжения и больше наименьшего. Если два из трех главных нормальных напряжений равны между собой по абсолютной величине, то эллипсоид напряжений превращается в эллипсоид вращения. Если все три главных нормальных напряжения равны между собой и одинаковы по знаку, то эллипсоид обращается в шар и любые три взаимно перпендикулярные оси становятся главными. В этом случае во всех наклонных к осям координат площадках действуют одинаковые равные между собой нормальные напряжения, а касательные отсутствуют [5], поскольку любая плоскость — главная. Иначе говоря, точка находится в состоянии равномерного всестороннего растяжения или сжатия. Тензор напряжений будет
этот тензор напряжений носит название шарового тензора. Он инвариантен к выбору системы координат. Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоид превращается в эллипс и объемное напряженное состояние превращается в плоское. Наконец, если два главных напряжения равны нулю, эллипсоид превращается в отрезок прямой линии, что соответствует линейному напряженному состоянию.
  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. (3.12)
данной точки равно тензору напряжений с такими-то компонентами (
и 
являются компонентами тензора напряжений). Так как касательные напряжения попарно равны между собой и равные касательные напряжения располагаются в матрице симметрично относительно главной диагонали (ах, аи, аг), то возможна сокращенная запись
. (3.12,а)
. (3.12,б)
по отношению к взятой системе координат. Тогда компоненты напряжения 
(а)
;
;
(3.13)
(3.13, а)
(3.13, б)
, 
и 
. Каждому корню 
соответствует своя система решений относительно косинусов 
где i=l, 2, 3. Тем самым доказано, что в любой точке деформированного тела существуют три взаимно перпендикулярных направления, по которым действуют только нормальные напряжения. Такие направления называются главными, а соответствующие им компоненты напряжения 
(3.14)
(3.15)
(3.16)
найдем из выражения
Значения направляющих косинусов площадок действия главных напряжений определим из системы уравнений а и уравнения
и 
, мы получаем значения направляющих косинусов трех взаимно-перпендикулярных прямых, которые называются главными осями напряженного состояния рассматриваемой частицы деформируемого тела.
.
.
(3.17)
(3.18)