НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННОЙ ПЛОЩАДКЕ

Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимно пер­пендикулярных площадках, проходящих через данную точку, то ее напряженное состояние вполне определено. Проведем пло­скость наклонно к осям координат (рис. 3.2). В результате полу­чим фигуру тетраэдра Oabc, сливающегося с точкой О при бес­конечном убывании величины его граней. Пусть N — нормаль к наклонной грани тетраэдра. Положение ее определится направ­ляющими косинусами,

;

.

Пусть площадь наклонной грани будет , а площади осталь­ных граней, т. е. треугольников ОВС, ОАС и ОАВ, соответственно F_X, F_y и F_Z. Считаем, что на наклонную грань действует какое-то напряжение S (полное). Напряжения по координатным площадкам также даны. Проекции напряжения S на направления осей координат, или, что то же, компоненты напряжения S по осям координат, обозначаем S_x, S_y и S_z.

Тетраэдр должен находиться в равновесии. Пишем условия равновесия, проецируя все действующие по его граням силы на оси координат:

;

Рис. 3.2. Напряжения на наклонной площадке

Ho

F_X = Fa_x;

F_y = Fa_y;

F_Z = Fa_z.

Поэтому

(3.3)

Суммируя компоненты напряжения S по правилу параллелепипеда, легко получить и само полное напряжение S:

(3.4)

Нормальное напряжение в наклонной площадке опреде­лится как сумма проекций компонент S_x, S_y, S₂ на нормаль к площадке:

(3.5)

а подставляя значения из уравнения (3.3), получим

(3.5а)

Полное касательное напряжение в наклонной площадке т найдем по правилу параллелограмма:

(3.6)

По полученным формулам можно определить напряжение в любой наклонной площадке. Таким образом, если даны шесть напряжений, действующих в точке по трем взаимно перпенди­кулярным площадкам, то ее напряженное состояние вполне определено.

3.4. Г ЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Исследуем полученное выражение (3.5а) для . Отложим от начала координат по направлению нормали N (рис. 3.2) к ка­кой-нибудь наклонной площадке некоторый вектор , величина которого определяется выражением

,

т. е. примем

,

где А — некоторая произвольная постоянная, определяющая масштаб.

Координаты конца вектора запишутся

,

а следовательно,

Подставляя эти значения а в уравнение (3.5а) и сокращая на г, получим

. (3.7)

Из аналитической геометрии известно, что полученное урав­нение представляет собой поверхность второго порядка, отнесен­ную центру (отсутствуют х, у, z в первой степени).

С изменением положения наклонной площадки изменятся на­правление и координаты х,y,z конца вектора г, но конец его всегда будет лежать на поверхности, определяемой уравне­нием (3.7). Отсюда следует, что эта поверхность полностью определяется напряженным состоянием точки. Она носит название поверхности напряжений Коши.

При изменении положения координатных осей, т. е. при отне­сении указанной поверхности к другим координатным осям, сама поверхность останется неизменной, а изменятся лишь коэффи­циенты уравнения, т. е. величины напряжений в координатных площадках, поскольку эти площадки станут другими.

Из аналитической геометрии известно, что если поверхность второго порядка отнести не только к центру, но и к сопряженным диаметрам, т. е. к осям, то коэффициенты при произведениях координат обратятся в нуль. Так же можно поступить и с поверх­ностью, определяемой уравнением (3.7). А это значит, что через точку, находящуюся в напряженном состоянии, всегда можно провести такие три взаимно перпендикулярные плоскости, в кото­рых касательных напряжений не будет и останутся только три нормальных напряжения. Эти три напряжения называют глав­ными нормальными напряжениями, их направ­ления — главными и плоскости, на которых они действуют, — главными плоскостями. Таким образом, если оси координат выбраны параллельно главным направлениям (главные оси), то в соответствующих координатных плоскостях (главных) дей­ствуют только нормальные напряжения — главные.

Отсюда следует, что напряженное состояние точки вполне определяется, если даны направления трех главных осей и вели­чины трех главных нормальных напряжений, которые обозна­чим индексами 1, 2, 3 вместо индексов х, у, z: .

Такими же индексами 1, 2, 3 будем в дальнейшем отмечать и главные оси, а также направляющие косинусы площадок, наклонных к этим осям, и соответствующие углы .

Если напряженное состояние точки задано главными напря­жениями, то напряжения в наклонных площадках выразятся на основании формул (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) весьма просто. Ком­поненты по осям координат

; S₂ = ; S₃ = .(3.8)

Полное напряжение

(3.9)

Нормальное напряжение

(3.10)

Касательное напряжение

(3.11)

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: