НАПРЯЖЕНИЯ В КООРДИНАТНЫХ ПЛОЩАДКАХ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Тело, подвергающееся действию сил, находится в напряжен­ном состоянии. Внешние силы, действующие на тело, бывают двух основных видов: поверхностные и объемные (массовые). [4]

К поверхностным силам относят силы, прило­женные к поверхности тела. Они могут быть сосредоточенными и распределенными.

К объемным силам относят силы, действующие на все материальные точки тела и пропорциональные их массам, например силы тяжести, силы инерции и др. В дальнейшем дей­ствие объемных сил рассматривать не будем.

При изучении напряженного состояния принимаем, что тело однородно, изотропно и представляет собой систему непрерыв­ных материальных точек. Если система точек находится в равно­весии, то принимается, что внешние силы уравновешиваются так, как если бы система отвердела. Это так называемый принцип отвердения.

При упругом состоянии равновесие может существовать при разных соотношениях внешних сил.

При пластическом равновесии соотношения и величины сил должны быть вполне определенны, как это будет показано в гл. 5.

Под действием внешних сил в теле возникают внутренние усилия. Предел отношения внутреннего усилия , действующего на какую-либо элементарную площадку, выделенную в рассма­триваемой точке тела, к ее площади при неограниченном уменьшении последней называется напряжением S:

Каждая точка в напряженном теле находится под действием всех ее окружающих точек, а поэтому в любой плоскости, прове­денной через данную точку, на нее будет действовать напряжение, характеризуемое определенной величиной и направлением.

Полное напряжение по правилу параллелепипеда всегда можно разложить на три: одно нормальное и два касательных. В равной мере полное напряжение можно разложить на три по направле­ниям осей координат.

НАПРЯЖЕНИЯ В КООРДИНАТНЫХ ПЛОЩАДКАХ

Проведем через напряженную точку А (рис. 3.1) три плоско­сти, параллельные плоскостям координат. Для того чтобы иметь возможность обозначить на чертеже напряжения, действующие на точку в этих плоскостях, построим параллелепипед, ребра которого примем бесконечно малыми, неограниченно прибли­жающимися к точке. Тогда на гранях такого элементарного параллелепипеда, проходящих через точку А, можно изобразить векторы напряжений, действующих на точку в трех взаимно пер­пендикулярных плоскостях (координатных площадках). При этом напряжение в каждой площадке разложим на три: одно нормальное и два касательных, которые направим параллельно осям координат. Таким образом, всего получим три нормальных и шесть касательных напряжений.

Нормальные напряжения в координатных площадках обозна­чим о, касательные т. Примем индексы из двух букв. Первая буква будет указывать ту координатную ось, по направлению которой действует напряжение, а вторая—ту координатную ось, которая нормальна (перпендикулярна) той площадке (внешняя нормаль), к которой напряжение приложено (адрес напря­жения). Например, — касательное напряжение, действую­щее параллельно оси х на площадку, перпендикулярную к оси у, т. е. на площадку, параллельную плоскости хг. Поскольку для нормальных напряжений направление и адрес совпадают, при­меним для их обозначения индекс из одной буквы, например вместо .

Напряжения, действующие в точке по площадкам, параллель­ным плоскостям координат, геометрически изображены на рис 3.1 стрелками.

Рис.3.1. Напряженное состояние в точке (прямоугольная система координат)

Нормальные напряжения считают положительными, если они стремятся вызвать растяжение.

Знак касательных напряже­ний зависит от знака и направле­ния нормального напряжения в рассматриваемой грани элемен­тарного параллелепипеда.

Касательные напряжения, на­правления которых совпадают с положительными направления­ми координатных осей, считают положительными при условии, если направление растягивающего нормального напряжения по той же координатной площадке сов­падает с положительным на­правлением соответствующей ко­ординатной оси (или если ежи мающее нормальное напряжение направлено по отрицательному направлению координатной оси).

Если направления нормальных напряжений противоположны указанным, то касательные напряжения следует считать поло­жительными, когда их направления совпадают с отрицательными направлениями соответствующих координатных осей.

На рис. 3.1 все напряжения являются положительными. Запишем напряжения в точке по трем координатным площадкам в форме матрицы

			–направление x
			–направление y
			–направление z
адрес x –	адрес y –	адрес z –

(3.1)

В каждой горизонтальной строчке записаны напряжения одного направления в последовательности адресов

х, у и z. В каж­дом вертикальном столбике записаны напряжения одного адреса в последовательности направлений х, у, z.

В трех взаимно перпендикулярных площадках можно пред­ставить девять напряжений: три нормальных и шесть касатель­ных. Однако вследствие парности касательных напряжений раз­личные значения могут быть только у шести напряжений: трех нормальных и трех касательных, так как

(3.2)

(касательные напряжения с индексами из двух одинаковых букв равны между собой независимо от порядка расположения букв в индексе).

Если учесть равенства (3.2), то легко установить, что каса­тельные напряжения, расположенные в матрице симметрично относительно главной диагонали, попарно равны между собой. Учитывая это, матрицу можно переписать сокращенно

(3.1 а)

Указания направления и адреса в индексах касательных напряжений можно было бы поменять местами, т. е. первый индекс считать за указание адреса, второй — за указание направ­ления. Все выводимые далее выражения и формулы при такой перестановке индексов останутся без изменения. Такое заклю­чение можно, например, сделать на основании равенств (3.2).

Рис. 3.2. Напряжения на наклонной площадке

Ho

F_X = Fa_x;

F_y = Fa_y;

F_Z = Fa_z.

Поэтому

(3.3)

Суммируя компоненты напряжения S по правилу параллелепипеда, легко получить и само полное напряжение S:

(3.4)

Нормальное напряжение в наклонной площадке опреде­лится как сумма проекций компонент S_x, S_y, S₂ на нормаль к площадке:

(3.5)

а подставляя значения из уравнения (3.3), получим

(3.5а)

Полное касательное напряжение в наклонной площадке т найдем по правилу параллелограмма:

(3.6)

По полученным формулам можно определить напряжение в любой наклонной площадке. Таким образом, если даны шесть напряжений, действующих в точке по трем взаимно перпенди­кулярным площадкам, то ее напряженное состояние вполне определено.

3.4. Г ЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Исследуем полученное выражение (3.5а) для . Отложим от начала координат по направлению нормали N (рис. 3.2) к ка­кой-нибудь наклонной площадке некоторый вектор , величина которого определяется выражением

,

т. е. примем

,

где А — некоторая произвольная постоянная, определяющая масштаб.

Координаты конца вектора запишутся

,

а следовательно,

Подставляя эти значения а в уравнение (3.5а) и сокращая на г, получим

. (3.7)

Из аналитической геометрии известно, что полученное урав­нение представляет собой поверхность второго порядка, отнесен­ную центру (отсутствуют х, у, z в первой степени).

С изменением положения наклонной площадки изменятся на­правление и координаты х,y,z конца вектора г, но конец его всегда будет лежать на поверхности, определяемой уравне­нием (3.7). Отсюда следует, что эта поверхность полностью определяется напряженным состоянием точки. Она носит название поверхности напряжений Коши.

При изменении положения координатных осей, т. е. при отне­сении указанной поверхности к другим координатным осям, сама поверхность останется неизменной, а изменятся лишь коэффи­циенты уравнения, т. е. величины напряжений в координатных площадках, поскольку эти площадки станут другими.

Из аналитической геометрии известно, что если поверхность второго порядка отнести не только к центру, но и к сопряженным диаметрам, т. е. к осям, то коэффициенты при произведениях координат обратятся в нуль. Так же можно поступить и с поверх­ностью, определяемой уравнением (3.7). А это значит, что через точку, находящуюся в напряженном состоянии, всегда можно провести такие три взаимно перпендикулярные плоскости, в кото­рых касательных напряжений не будет и останутся только три нормальных напряжения. Эти три напряжения называют глав­ными нормальными напряжениями, их направ­ления — главными и плоскости, на которых они действуют, — главными плоскостями. Таким образом, если оси координат выбраны параллельно главным направлениям (главные оси), то в соответствующих координатных плоскостях (главных) дей­ствуют только нормальные напряжения — главные.

Отсюда следует, что напряженное состояние точки вполне определяется, если даны направления трех главных осей и вели­чины трех главных нормальных напряжений, которые обозна­чим индексами 1, 2, 3 вместо индексов х, у, z: .

Такими же индексами 1, 2, 3 будем в дальнейшем отмечать и главные оси, а также направляющие косинусы площадок, наклонных к этим осям, и соответствующие углы .

Если напряженное состояние точки задано главными напря­жениями, то напряжения в наклонных площадках выразятся на основании формул (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) весьма просто. Ком­поненты по осям координат

; S₂ = ; S₃ = .(3.8)

Полное напряжение

(3.9)

Нормальное напряжение

(3.10)

Касательное напряжение

(3.11)

ЭЛЛИПСОИД НАПРЯЖЕНИЙ

Выразим компоненты напряжений в наклонной площадке формулами (3.8)

.

откуда

но

.

Подставляя в последнее уравнение значения а² из предыду­щих выражений, имеем

(3.17)

и для каждого данного напряженного состояния являются постоянными. Уравнение (3.17) является уравнением трехосного эллипсоида, полуоси которого представляют собой главные на­пряжения в данной точке, а координаты точек поверхности— проекции полного напряжения S для различных наклонных площадок. Следовательно, длина любого отрезка от центра до пересечения с поверхностью эллипсоида (радиуса-вектора) представляет собой полное напряжение S в какой-то наклонной пло­щадке. Эллипсоид этот называется эллипсоидом напряжений (эллипсоидом Ламе) и как бы отражает геометрически тензор напряжений.

Поскольку длина радиус-векторов эллипсоида ограничена длиной его большой полуоси с одной стороны и малой — с дру­гой, постольку полные напряжения S в различных площадках данной точки по абсолютной величине всегда меньше наибольшего (по абсолютной величине) главного напряжения и больше наи­меньшего.

Если два из трех главных нормальных напряжений равны между собой по абсолютной величине, то эллипсоид напряжений превращается в эллипсоид вращения.

Если все три главных нормальных напряжения равны между собой и одинаковы по знаку, то эллипсоид обращается в шар и любые три взаимно перпендикулярные оси становятся глав­ными. В этом случае во всех наклонных к осям координат пло­щадках действуют одинаковые равные между собой нормальные напряжения, а касательные отсутствуют [5], поскольку любая плоскость — главная. Иначе говоря, точка находится в состоя­нии равномерного всестороннего растяжения или сжатия. Тен­зор напряжений будет

(3.18)

этот тензор напряжений носит название шарового тензора. Он ин­вариантен к выбору системы координат.

Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоид превращается в эллипс и объемное напряженное состояние пре­вращается в плоское. Наконец, если два главных напряжения равны нулю, эллипсоид превращается в отрезок прямой линии, что соответствует линейному напряженному состоянию.

Рис. 3.3. Площадки действия максимальных касательных напряжений

Подставляя в уравнение (3.11) полученные значения направ­ляющих косинусов, найдем значения максимальных касатель­ных напряжений:

;

(3.19)

;

Рис.3.4. Ромбический додекаэдр

Индексы при означают, полу­разность каких главных напряжений равна данному и к каким осям плоскость действия т наклонена под углом 45° (см. рис. 3.3). Эти каса­тельные напряжения называют так­же главными. касатель­ными напряжениями. Таким образом, главные касатель­ные напряжения равны полуразно­стям соответствующих главных нор­мальных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение равно полуразности алгеброически наибольшего и наименьшего главных нормальных на­пряжений.

Если все три главные нормальные напряжения равны между собой, то их полуразности и, следовательно, все касательные напряжения обращаются в нуль, т. е. отсутствуют. Этот резуль­тат мы получили и раньше при рассмотрении эллипсоида напря­жений и шарового тензора (3.18).

Направления главных касательных напряжений на площад­ках их действия параллельны той главной координатной пло­скости, к которой данная площадка является нормальной (см. рис. 3.3). Вместе с тем направления главных касательных напря­жений (на рис. 3.4 показаны стрелками) образуют ребра пра­вильного октаэдра с вершинами ABC на главных осях.

Как видно из уравнения (3.19), сумма трех главных касатель­ных напряжений равна нулю:

= 0. (3.20)

Из этого уравнения следует, что знак наибольшего по абсо­лютной величине главного касательного напряжения противо­положен знаку двух других.

Это условие необходимо соблюдать при назначении знаков главных касательных напряжений в каждой конкретной задаче.

На гранях додекаэдра (см. рис. 3.4), пересекающихся в точке D, т. е. в точке, расположенной в первом октанте, направления, по которым главные касательные напряжения положительны, указаны стрелками.

Определим значение нормальных напряжений в площадках, по которым действуют главные касательные напряжения, для чего подставляем значения направляющих косинусов в уравне­ние (3.10):

. (3.21)

т. е. нормальные напряжения, действующие в площадках главных касательных, равны полусуммам главных нормальных напряжений.

Из выражений (3.19) главных касательных напряжений также видно, что при увеличении или уменьшении главных нормальных напряжений на одну и ту же величину значения главных каса­тельных напряжений не изменятся, т. е. добавление к напря­женному состоянию равномерного растяжения или сжатия не изменяет величины касательных напряжений. Это дает возмож­ность всегда представить тензор напряжений в виде суммы двух тензоров.

Обозначим среднее нормальное напряжение через , тогда

(3. 22)

т. е. среднее нормальное напряжение равно одной трети первого инварианта тензора напряжений (3.15). Составим шаровой тензор (3.18):

. (3.18 a)

Вычтем этот тензор из тензора напряженного состояния точки, что изображается так:

=

= = (3.23)

ИЛИ

(3.24)

Тензор называется девиатором напряжений. Таким образом, в общем случае тензор напряженного состояния определяется суммой шарового тензора и девиатора напряжений.

Легко видеть, что сумма компонент девиатора напряжений по главной диагонали равна нулю:

= 0. (3.25)

Напряженное состояние, определяемое шаровым тензором, представляет собой всесторон­нее равномерное сжатие (о отрицательно) или всестороннее рав­номерное растяжение. Такое напряженное состояние не может вызвать изменения формы тела — возможно лишь изменение объема (при упругой деформации) и разрушение. Если же напря­женное состояние, в котором находится какое-либо тело, опре­деляется девиатором, то тело изменяет форму без изменения объема даже при упругом деформировании.

Разложение тензора напряжений на два — шаровой и девиатор — представляет прежде всего математическую операцию, которой не следует придавать безоговорочно физического смысла, т. е. например, считать, что тело находится под одновременным или последовательным действием двух независимых систем напря­жений, эффекты которых складываются.

Вопрос о физическом смысле тензорных представлений в тео­рии напряженного состояния подробно рассматривал И. М. Пав­лов [2].

ОК.ТАЭДРИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Определим напряжения в площадках, одинаково наклонен­ных к главным осям. В этом случае

.

откуда

.. (3.26)

Таких площадок четыре. С четырьмя им параллельными они образуют фигуру октаэдра. Поэтому их называют октаэдрическими, и так же называют напряжения, которые действуют в этих площадках (рис. 3.5).

Нормальное октаэдрическое напряжение

. (3.27)

Нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему нор­мальному напряжению или одной трети первого инварианта тензора напряжений.

Касательное октаэдрическое напряжение определится из вы­ражения (3.11):

.

или после раскрытия скобок

(3.28)

откуда

(3.29)

или, если учесть значения главных касательных напряжений по уравне­ниям (3.20),

. (3.29, а)

Таким образом, касательное ок­таэдрическое напряжение равно одной трети корня квадратного из суммы квадратов разностей главных нор­мальных напряжений или двум тре­тям корня квадратного из суммы квадратов главных касательных на­пряжений.

Возьмем квадрат первого инварианта (3.14) тензора напря­жений, выраженного в главных нормальных напряжениях:

, (3.30)

и второй инвариант (3.15), выраженный также в главных напря­жениях:

.. (3.31)

Рис.3.5. Октаэдр

Сравнивая уравнения (3.30) и (3.31) с уравнением (3.28), видим, что

(3.28,а)

откуда получаем возможность определить октаэдрическое каса­тельное напряжение через компоненты напряжений, действующих по случайным (не главным) ортогональным площадкам, исполь­зуя выражения для первого и второго инвариантов тензора напря­жений (3.14) и (3.15):

После преобразования получим

' (3.28 б)

Определим, используя выражение (3.15), второй инвариант девиатора напряжений (3.24):

+

или, учитывая (3.23),

. (3.32а)

Отсюда видно, что квадрат октаэдрического касательного напряжения равен двум третям второго инварианта девиатора напряжений, взятого с обратным знаком:

(3.296)

или

. (3.30в)

Октаэдрическое касательное напряжение близко по величине к наибольшему касательному напряжению для той же точки и находится в пределах 0,941 > > 0,816.

Касательное напряжение, выражаемое уравнениями (3.30), принимая интерпретацию М. Роша и А. Эйхингера, называют также интенсивностью касательных напря­жений [1]. Другие авторы интенсивность касательных напряжений ,согласно Г. Генки, определяют выражением [3]

(3.30г)

отличающимся от уравнения (3.29) постоянным коэффициентом. Квадрат правой части этого выражения в точности равен второму инварианту девиатора напряжений, взятому с обратным знаком. В отличие от октаэдрического касательного напряжения по равенству (3.29) интенсивность касательных напряжений по урав­нению (3.30г) является величиной скалярной.

Величина интенсивности касательных напряжений изме­няется в зависимости от вида напряженного состояния (соотно­шений между компонентами тензора напряжений) в пределах

= (1 — 1,155) ,

где — максимальное по абсолютной величине главное каса­тельное напряжение.

От интенсивности касательных напряжений следует отличать интенсивность напряжений или обобщен­ное напряжение , которое в главных напряжениях выражается

. (3.33)

Интенсивность напряжений на произвольных площадках найдем по формуле

Величина так же, как и по формуле (3.30г), представ­ляет собой величину скалярную.

В ряде работ интенсивность касательных напряжений сдвига обозначают так .

В главных напряжениях определяется по формуле (3.30 г), а в напряжениях на произвольных площадках –– по формуле

Интенсивность касательных напряжений сдвига и интенсивность напряжений связаны очевидной зависимостью

.

Величина интенсивности напряжений в зависимости от вида напряженного состояния изменяется в пределах

где и — соответственно алгебраически максимальное и минимальное главное нормальное напряжение.

Легко определить, что для линейного напряженного состоя­ния (линейного растяжения или сжатия), когда два из трех главных напряжений равны нулю, интенсивность напряжений по величине совпадает с главным нормальным напряжением, растя­гивающим или сжимающим.

На основании ранее сказанного о напряженном состоянии точки можно отметить следующие характерные площадки, про­ходящие через нее:

а) три главные площадки, на которые действуют главные нормальные напряжения, а касательные отсутствуют;

б) шесть площадок, по которым действуют главные каса­тельные напряжения;

в) четыре площадки действия одинаковых по величине октаэдрических напряжений.

Таким образом, всего есть 13 характерных площадок.

3.9. Д ИАГРАММА НАПРЯЖЕНИЙ МОРА

Диаграмма напряжений по О. Мору (или круги Мора) дает графическое представление о совокупности векторов напряжений нормального и касательного , действующих в различных наклонных площадках, рассматриваемых в системе главных осей. Диаграмму эту строят, откладывая величины нормальных напряжений по оси абсцисс, а корреспондирующих им каса­тельных напряжений — по оси ординат.

Нормальное напряжение в наклонной площадке определяется выражением (3.10):

Вместе с тем из уравнений (3.11) и (3.10) следует

(3.34)

Кроме того, напишем известное условие для направляющих косинусов в виде

1 = . (3.35)

Умножим обе части уравнения (3.10) на ( + ), затем почленно вычтем результат из уравнения (3.34) и прибавим сюда почленно уравнение (3.35), предварительно умножив обе части его на . Таким образом, получим

(a)

Прибавляя к обеим частям уравнения (а) по , после элементарных преобразований получим

(3.36а)

Применяя ту же методику, выведем еще два аналогичных уравнения

(3.36б)

(3..36в)

Из сравнения полученных уравнений (3.36а, б и в) с извест­ным из аналитической геометрии уравнением окружности

можно заключить, что уравнения системы (3.36) также опреде­ляют окружности. Центры их расположены на оси абсцисс (на оси ) и отстоят от начала координат соответственно для урав­нений (а), (б) и (в) на расстояния

; и

В правых частях уравнений (3.36), представляющих собой квадрат радиуса R окружности, есть изменяемый параметр ( и ). Поэтому каждое из уравнений (3.36) является уравне­нием семейства концентрических окружностей.

Уравнения (3.10), (3.34) и (3.35) определяют корреспонди­рующие значения напряжений и для заданных условий. При математическом преобразовании этих уравнений в систему (3.36) физический смысл остается неизменным.

Таким образом, первое уравнение системы (3.36) определяет в виде окружности геометрическое место точек и для того или иного заданного значения направляющего косинуса . То же справедливо и для двух других уравнений системы.

Следовательно, для заданной возможной [т. е. удовлетворяю­щей уравнению (3.35)] группы значений направляющих косину­сов и величины и определяются (рис. 3.6) точками Р пересечения трех окружностей.

Выясним далее, в какой зоне могут быть расположены эти точки. Примем условие , т. е. индексом 1 обозначим наибольшее (алгебраически) по величине главное нормальное минимальное, а индексом 2 — среднее, промежуточ­ное.

Рис. 3.6. Графический метод определения и

Это условие всегда можно соблюсти, посколь­ку оси координат равно­правны.

Определим величины радиусов Rl, R2 и R3 ок­ружностей, заданных уравнениями (а), (б) и (в)системы (3.36) при значе­ниях направляющих коси­нусов соответственно

;

cos и

,

т. е. для углов = 90°

(при ); (3.37а)

(при ); (3.37б)

(при ); (3.37в)

Как видно из уравнений (3.36а) и (3.36в), при увеличении значений и радиусы соответствующих окружностей уве­личиваются. А это значит, что возможные пары значений и находятся на самих окружностях радиусов при и при или вне их, но не могут располагаться внутри.

Если же увеличивается значение , то радиус умень­шается, поскольку разность отрицательна согласно при­нятому выше соотношению главных напряжений, и, следовательно, значения и располагаются внутри окружности радиуса при = 0.

Проведя окружности радиусами (при ), (при ) и (при ), по уравнениям (3.37) из ранее указанных центров получим диаг­рамму Мора (рис. 3.7). Пары корреспондирующих значений а_н и т лежат внутри заштрихованных криволинейных треугольни­ков, ограниченных проведенными окружностями — «главными кругами» Мора. На рис. 3.7 также отмечены характерные точки (А, В, С, D, E, F) диаграммы.

Из формул (3.37) видно, что радиусы кругов численно равны величинам главных касательных напряжений.

При помощи построения, показанного на рис. 3.8, по задан­ным углам и можно определить значения и в наклонной площадке, а также ре­шить обратную задачу. Знак касательного напря­жения по диаграмме Мора в общем случае определить нельзя.

Легко заметить, что уве­личение или уменьшение напряжений , и на одну и ту же величину не изменяет радиусов глав­ных кругов и взаимных расстояний между их цент­рами. Изменяется лишь положение оси . Если ось сдвинуть в сторону фигуры (в случае, пока­занном на рис. 3.7, —вправо) на величину среднего нормального напряжения [формула (3.23)], то получим отображение девиатора напряже­ний (рис. 3.9). Ось т в этом случае всегда пересекает фигуру. Ее можно провести при помощи построения, показанного на рис. 3.9, не вычисляя .

Шаровой тензор напряжений отобразится на диаграмме Мора окружностью нулевого радиуса (точкой О'), расположенной на расстоянии от начала координат.

Рис. 3.7. Диаграмма Мора

Рис. 3.8. Определение ((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228467']=__lxGc__['s']['_228467']||{'b':{}})['b']['_699615']={'i':__lxGc__.b++};

123456Следующая ⇒

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: