Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S₁и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S₁ скорость течения v₁, давление р₁и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Аналогично, в месте сечения S₂скорость течения v₂, давление p₂ и высота сечения h₂. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечений S₁ и S₂ к сечениям S′₁ и S′₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W₂– W₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости:

где W₁и W₂ - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S₁и S₂соответственно.

С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁и S₂,за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы т от S₁ до S'₁жидкость должна переместиться на расстояние l₁ = υ₁Δt и от S₂ до S'₂- на расстояние l₂ = υ₂Δt. Отметим, что l₁и l₂настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно,

где F₁ = p₁S₁и F₂ = - p₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.6.3).

Полные энергии W₁и W₂будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:

Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим

mυ₁²/2 + mgh₁ + p₁S₁υ₁Δt = mυ₂²/2 + mgh₂ + p₂S₂υ₂Δt . (6.7)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

Выражение (6.8) называется уравнением Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (6.8) называется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ²/2 - динамическим давлением.Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁= h₂) выражение (6.8) принимает вид

Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров(рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р₀), с помощью другой - статическое (р). Манометром измеряется разность давлений:

где ρ₀- плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

Из формул (6.10) и (6.11) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст.

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7).

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде

на уровне h₂ выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

Так как давления р₁и р₂в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p₁ = p_2, то уравнение будет иметь вид
υ₁²/2 + gh₁ = υ₂²/2 + gh₂.

Из уравнения неразрывности (6.2) следует, что υ₂/υ₁ =S₁/S₂, где S₁и S₂ - площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S₁>> S₂, то членом υ₁²/2 можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: