Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Уравнение Бернулли и следствия из него





Выделим в стационарно текущей идеаль­ной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения) труб­ку тока, ограниченную сечениями S1и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S1 ско­рость течения v1, давление р1и высота, на которой это сечение расположено, h1. Ана­логично, в месте сечения S2скорость течения v2, давление p2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жид­кость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям S′1 и S′2.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W2– W1 идеаль­ной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемеще­нию массы т жидкости:

W2– W1= A, (6.3)

где W1и W2 - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S1и S2соответ­ственно.

С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жид­кости, заключенной между сечениями S1и S2,за рассматриваемый малый проме­жуток времени Δt. Для перенесения массы т от S1 до S'1жидкость должна переме­ститься на расстояние l1 = υ1Δt и от S2 до S'2- на расстояние l2 = υ2Δt. Отметим, что l1и l2настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, припи­сывают постоянные значения скоро­сти υ, давления р и высоты h. Следова­тельно,

А = F1l1 + F2l2, (6.4)

где F1 = p1S1и F2 = - p2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противопо­ложную течению жидкости; рис.6.3).

Полные энергии W1и W2будут склады­ваться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:

W1 = mυ12/2 + mgh1, (6.5)

W2= mυ22/2 + mgh2. (6.6)

Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим

12/2 + mgh1 + p1S1υ1Δt = mυ22/2 + mgh2 + p2S2υ2Δt . (6.7)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается посто­янным, т. е.



ΔV = S1υ1Δt = S2υ2Δt.

Разделив выражение (6.5) на ΔV, по­лучим

ρυ12/2 + ρgh1 + p1 = ρυ22/2 + ρgh2 + p2,

где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то мо­жем записать

ρυ2/2 + ρgh + p = const. (6.8)

Выражение (6.8) называется уравне­нием Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к уста­новившемуся течению идеальной жидко­сти. Оно хорошо выполняется и для реаль­ных жидкостей, внутреннее трение кото­рых не очень велико.

Величина р в формуле (6.8) называ­ется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ2/2 - динамическим давлением.Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет со­бой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h1= h2) выражение (6.8) принимает вид

ρυ2/2 + p = const, (6.9)

где p + ρυ2/2называется полным давле­нием.

Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а ста­тическое давление больше в более широ­ких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, устано­вив вдоль трубы ряд манометров(рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в мано­метрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связа­но со скоростью движения жидкости (га­за), то уравнение Бернулли позволяет из­мерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, про­тивоположные концы которых присоедине­ны к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой - статическое (р). Ма­нометром измеряется разность давлений:

р0 – p = ρ0gh, (6.10)

где ρ0- плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статическо­го давлений равна динамическому давле­нию:

р0 – p = ρυ2/2 . (6.11)

Из формул (6.10) и (6.11) получаем иско­мую скорость потока жидкости:

υ = . (6.12)

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно ат­мосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоро­стью. В этом месте давление меньше ат­мосферного. Это давление устанавливает­ся и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекаю­щей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст.

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид­костью, в боковой стенке которого на не­которой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7).

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

ρυ12/2 + ρgh1 + p1 = ρυ22/2 + ρgh2 + p2.

Так как давления р1и р2в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p1 = p2, то уравнение будет иметь вид
υ12/2 + gh1 = υ22/2 + gh2.

Из уравнения неразрывности (6.2) следу­ет, что υ2/υ1 =S1/S2, где S1и S2 - площа­ди поперечных сечений сосуда и отвер­стия. Если S1>> S2, то членом υ12/2 можно пренебречь и

υ22= 2g(h1 – h2) = 2gh,

υ2 = . (6.13)

Это выражение получило название форму­лы Торричелли.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.