Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Уравнение Бернулли и следствия из него





Выделим в стационарно текущей идеаль­ной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения) труб­ку тока, ограниченную сечениями S 1и S 2, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S 1 ско­рость течения v 1, давление р 1и высота, на которой это сечение расположено, h 1. Ана­логично, в месте сечения S 2скорость течения v2, давление p 2 и высота сечения h 2. За малый промежуток времени Δ t жид­кость перемещается от сечений S 1 и S 2 к сечениям S′ 1 и S′ 2.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W 2 – W 1 идеаль­ной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемеще­нию массы т жидкости:

W 2 – W 1= A, (6.3)

где W 1и W 2 - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S 1и S 2соответ­ственно.

С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жид­кости, заключенной между сечениями S 1и S 2,за рассматриваемый малый проме­жуток времени Δ t. Для перенесения массы т от S 1 до S' 1жидкость должна переме­ститься на расстояние l 1 = υ 1Δ t и от S 2 до S' 2 - на расстояние l 2 = υ 2Δ t. Отметим, что l 1и l 2настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, припи­сывают постоянные значения скоро­сти υ, давления р и высоты h. Следова­тельно,

А = F 1 l 1 + F 2 l 2, (6.4)

где F 1 = p 1 S 1и F 2 = - p 2 S 2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противопо­ложную течению жидкости; рис.6.3).

Полные энергии W 1и W 2будут склады­ваться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:

W 1 = mυ 12/2 + mgh 1, (6.5)

W 2 = mυ 22/2 + mgh 2. (6.6)

Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим

12/2 + mgh 1 + p 1 S 1 υ 1Δ t = mυ 22/2 + mgh 2 + p 2 S 2 υ 2Δ t. (6.7)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается посто­янным, т. е.

Δ V = S 1 υ 1Δ t = S 2 υ 2Δ t.

Разделив выражение (6.5) на Δ V, по­лучим

ρυ 12/2 + ρgh 1 + p 1 = ρυ 22/2 + ρgh 2 + p 2,

где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то мо­жем записать

ρυ 2/2 + ρgh + p = const. (6.8)

Выражение (6.8) называется уравне­нием Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к уста­новившемуся течению идеальной жидко­сти. Оно хорошо выполняется и для реаль­ных жидкостей, внутреннее трение кото­рых не очень велико.

Величина р в формуле (6.8) называ­ется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ 2/2 - динамическим давлением. Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет со­бой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h 1= h2) выражение (6.8) принимает вид

ρυ 2/2 + p = const, (6.9)

где p + ρυ 2/2называется полным давле­нием.

Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а ста­тическое давление больше в более широ­ких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, устано­вив вдоль трубы ряд манометров (рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в мано­метрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связа­но со скоростью движения жидкости (га­за), то уравнение Бернулли позволяет из­мерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, про­тивоположные концы которых присоедине­ны к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р 0), с помощью другой - статическое (р). Ма­нометром измеряется разность давлений:

р 0 – p = ρ 0 gh, (6.10)

где ρ 0 - плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статическо­го давлений равна динамическому давле­нию:

р 0 – p = ρυ 2/2. (6.11)

Из формул (6.10) и (6.11) получаем иско­мую скорость потока жидкости:

υ = . (6.12)

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно ат­мосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоро­стью. В этом месте давление меньше ат­мосферного. Это давление устанавливает­ся и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекаю­щей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст.

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид­костью, в боковой стенке которого на не­которой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7).

Рассмотрим два сечения (на уровне h 1 свободной поверхности жидкости в сосуде на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

ρυ 12/2 + ρgh 1 + p 1 = ρυ 22/2 + ρgh2 + p 2.

Так как давления р 1и р 2в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p 1 = p 2, то уравнение будет иметь вид
υ 12/2 + gh 1 = υ 22/2 + gh 2.

Из уравнения неразрывности (6.2) следу­ет, что υ 2/ υ 1 =S 1/ S 2, где S 1и S 2 - площа­ди поперечных сечений сосуда и отвер­стия. Если S 1 >> S 2, то членом υ 12/2 можно пренебречь и

υ 22 = 2g(h 1 – h 2 ) = 2 gh,

υ 2 = . (6.13)

Это выражение получило название форму­лы Торричелли.







Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.