|
|
Уравнение Бернулли и следствия из него
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1, давление р1и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2скорость течения v2, давление p2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям S′1 и S′2. Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W2– W1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости: W2– W1= A, (6.3) где W1и W2 - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S1и S2соответственно. С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1и S2,за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы т от S1 до S'1жидкость должна переместиться на расстояние l1 = υ1Δt и от S2 до S'2- на расстояние l2 = υ2Δt. Отметим, что l1и l2настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно, А = F1l1 + F2l2, (6.4) где F1 = p1S1и F2 = - p2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.6.3). Полные энергии W1и W2будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости: W1 = mυ12/2 + mgh1, (6.5) W2= mυ22/2 + mgh2. (6.6) Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим mυ12/2 + mgh1 + p1S1υ1Δt = mυ22/2 + mgh2 + p2S2υ2Δt . (6.7) Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е. ΔV = S1υ1Δt = S2υ2Δt. Разделив выражение (6.5) на ΔV, получим ρυ12/2 + ρgh1 + p1 = ρυ22/2 + ρgh2 + p2, где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать ρυ2/2 + ρgh + p = const. (6.8) Выражение (6.8) называется уравнением Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
Для горизонтальной трубки тока (h1= h2) выражение (6.8) принимает вид ρυ2/2 + p = const, (6.9) где p + ρυ2/2называется полным давлением. Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров(рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.
р0 – p = ρ0gh, (6.10)
р0 – p = ρυ2/2 . (6.11) Из формул (6.10) и (6.11) получаем искомую скорость потока жидкости: υ = Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст. Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7). Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде ρυ12/2 + ρgh1 + p1 = ρυ22/2 + ρgh2 + p2. Так как давления р1и р2в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p1 = p2, то уравнение будет иметь вид Из уравнения неразрывности (6.2) следует, что υ2/υ1 =S1/S2, где S1и S2 - площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>> S2, то членом υ12/2 можно пренебречь и υ22= 2g(h1 – h2) = 2gh, υ2 = Это выражение получило название формулы Торричелли.  Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Величина р в формуле (6.8) называется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ2/2 - динамическим давлением.Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет собой гидростатическое давление.
Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой - статическое (р). Манометром измеряется разность давлений:
где ρ0- плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:
. (6.12)
на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:
. (6.13)