|
Уравнение Бернулли и следствия из негоВыделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S 1и S 2, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S 1 скорость течения v 1, давление р 1и высота, на которой это сечение расположено, h 1. Аналогично, в месте сечения S 2скорость течения v2, давление p 2 и высота сечения h 2. За малый промежуток времени Δ t жидкость перемещается от сечений S 1 и S 2 к сечениям S′ 1 и S′ 2. Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W 2 – W 1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости: W 2 – W 1= A, (6.3) где W 1и W 2 - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S 1и S 2соответственно. С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S 1и S 2,за рассматриваемый малый промежуток времени Δ t. Для перенесения массы т от S 1 до S' 1жидкость должна переместиться на расстояние l 1 = υ 1Δ t и от S 2 до S' 2 - на расстояние l 2 = υ 2Δ t. Отметим, что l 1и l 2настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно, А = F 1 l 1 + F 2 l 2, (6.4) где F 1 = p 1 S 1и F 2 = - p 2 S 2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.6.3). Полные энергии W 1и W 2будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости: W 1 = mυ 12/2 + mgh 1, (6.5) W 2 = mυ 22/2 + mgh 2. (6.6) Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим mυ 12/2 + mgh 1 + p 1 S 1 υ 1Δ t = mυ 22/2 + mgh 2 + p 2 S 2 υ 2Δ t. (6.7) Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е. Δ V = S 1 υ 1Δ t = S 2 υ 2Δ t. Разделив выражение (6.5) на Δ V, получим ρυ 12/2 + ρgh 1 + p 1 = ρυ 22/2 + ρgh 2 + p 2, где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать ρυ 2/2 + ρgh + p = const. (6.8) Выражение (6.8) называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико. Величина р в формуле (6.8) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ 2/2 - динамическим давлением. Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет собой гидростатическое давление. Для горизонтальной трубки тока (h 1= h2) выражение (6.8) принимает вид ρυ 2/2 + p = const, (6.9) где p + ρυ 2/2называется полным давлением. Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы. Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р 0), с помощью другой - статическое (р). Манометром измеряется разность давлений: р 0 – p = ρ 0 gh, (6.10) где ρ 0 - плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению: р 0 – p = ρυ 2/2. (6.11) Из формул (6.10) и (6.11) получаем искомую скорость потока жидкости: υ = . (6.12) Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст. Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7). Рассмотрим два сечения (на уровне h 1 свободной поверхности жидкости в сосуде на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли: ρυ 12/2 + ρgh 1 + p 1 = ρυ 22/2 + ρgh2 + p 2. Так как давления р 1и р 2в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p 1 = p 2, то уравнение будет иметь вид Из уравнения неразрывности (6.2) следует, что υ 2/ υ 1 =S 1/ S 2, где S 1и S 2 - площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S 1 >> S 2, то членом υ 12/2 можно пренебречь и υ 22 = 2g(h 1 – h 2 ) = 2 gh, υ 2 = . (6.13) Это выражение получило название формулы Торричелли. Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|