|
|
Уравнение Бернулли и следствия из него
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S 1и S 2, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S 1 скорость течения v 1, давление р 1и высота, на которой это сечение расположено, h 1. Аналогично, в месте сечения S 2скорость течения v2, давление p 2 и высота сечения h 2. За малый промежуток времени Δ t жидкость перемещается от сечений S 1 и S 2 к сечениям S′ 1 и S′ 2. Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W 2 – W 1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости: W 2 – W 1= A, (6.3) где W 1и W 2 - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S 1и S 2соответственно. С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S 1и S 2,за рассматриваемый малый промежуток времени Δ t. Для перенесения массы т от S 1 до S' 1жидкость должна переместиться на расстояние l 1 = υ 1Δ t и от S 2 до S' 2 - на расстояние l 2 = υ 2Δ t. Отметим, что l 1и l 2настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно, А = F 1 l 1 + F 2 l 2, (6.4) где F 1 = p 1 S 1и F 2 = - p 2 S 2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.6.3). Полные энергии W 1и W 2будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости: W 1 = mυ 12/2 + mgh 1, (6.5) W 2 = mυ 22/2 + mgh 2. (6.6) Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим mυ 12/2 + mgh 1 + p 1 S 1 υ 1Δ t = mυ 22/2 + mgh 2 + p 2 S 2 υ 2Δ t. (6.7) Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е. Δ V = S 1 υ 1Δ t = S 2 υ 2Δ t. Разделив выражение (6.5) на Δ V, получим ρυ 12/2 + ρgh 1 + p 1 = ρυ 22/2 + ρgh 2 + p 2, где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать ρυ 2/2 + ρgh + p = const. (6.8) Выражение (6.8) называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
Для горизонтальной трубки тока (h 1= h2) выражение (6.8) принимает вид ρυ 2/2 + p = const, (6.9) где p + ρυ 2/2называется полным давлением. Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.
р 0 – p = ρ 0 gh, (6.10)
р 0 – p = ρυ 2/2. (6.11) Из формул (6.10) и (6.11) получаем искомую скорость потока жидкости: υ = Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст. Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7). Рассмотрим два сечения (на уровне h 1 свободной поверхности жидкости в сосуде ρυ 12/2 + ρgh 1 + p 1 = ρυ 22/2 + ρgh2 + p 2. Так как давления р 1и р 2в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p 1 = p 2, то уравнение будет иметь вид Из уравнения неразрывности (6.2) следует, что υ 2/ υ 1 =S 1/ S 2, где S 1и S 2 - площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S 1 >> S 2, то членом υ 12/2 можно пренебречь и υ 22 = 2g(h 1 – h 2 ) = 2 gh, υ 2 = Это выражение получило название формулы Торричелли.   Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Величина р в формуле (6.8) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ 2/2 - динамическим давлением. Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет собой гидростатическое давление.
Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р 0), с помощью другой - статическое (р). Манометром измеряется разность давлений:
где ρ 0 - плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:
. (6.12)
на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:
. (6.13)