ПОТОКИ ПОДІЙ ТА ЇХ ПАРАМЕТРИ

Поняття та різновиди потоків

Під потоком подій розуміють послідовність подій, які відбуваються одна за одною у будь-які моменти часу. Такий потік можна подати у вигляді ряду точок Т₁, Т₂.... Т_n на числовій осі Т, які відповідають моментам появи подій 1, 2,.. n (рис. 4.1).

Приклади потоків подій: моменти прибуття поїздів, моменти завершення обробки, моменти закінчення розпуску.

У транспортних системах зустрічаються різні види потоків.

Регулярний потік – у якому події відбуваються з визначеними, суворо сталими, однаковими інтервалами I ₁ = I ₂ = I _n.

Регулярні потоки у транспортних системах дуже рідкісні. Близькими до них є потоки поїздів метрополітену, і то на протязі деякого часу, а не протягом доби.

Потоки подій, у яких інтервали відрізняються між собою, у загальному випадку називають випадковими. Серед різноманітніх випадкових потоків окремо виділяють потік, який називають найпростішим, і який має наступні властивості: стаціонарність, ординарність, відсутність післядії.

Стаціонарність – ймовірність появи m подій за час t залежить від величини t і не залежить від того, де на числовій осі Т розташований відрізок t. Зверніть увагу, що постійна не кількість подій m, а ймовірність появи цієї кількості, тобто Р _m(t) =const.

Розглянемо процес прибуття поїздів на станцію. В окремі періоди більше пасажирських, менше вантажних, отже на протязі доби умова стаціонарності не дотримується. З цього приводу відомий вчений Вентцель Е.С. висловлюється: „Так обстоит дело со всеми физическими процессами, которые называют стационарными: в действительности они стационарны на отдельных отрезках времени. Распространение этого участка до бесконечности – лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения анализа”.

Ординарність – ймовірність здійснення 2-х і більше подій за елементарний проміжок часу D t ®0 зневажливо мала порівняно з ймовірністю здійснення однієї події. Це означає, що події здійснюються поодиноко, тобто Р (m>1) _t®0=0.

Чи може на станцію за годину прибути більше двох поїздів? Очевидно, що може, отже потік не ординарний? А за 1 хвилину? Може, але дуже рідко. А за 1 сек? Можливо, але ймовірність така мала (навіть з декілька підходів), що нею можна зневажати, тобто вважати потік ординарним. А можливі і неординарні потоки, наприклад, потік вагонів на сортувальні колії (в один момент може на окрему колію поступити у відчепі більше двох вагонів. Отже цей потік вже неординарний, а потік відчепів на сортувальні колії – ординарний, тому що два або більше відчепи за малий проміжок часу поступити на колію не може.

Відсутність післядії – події відбуваються незалежно одна від одної. Ймовірність здійснення m подій за деякий час t ₂ не залежить від того, скільки подій відбулося за попередній відрізок часу t ₁. І навпаки – якщо кількість подій у майбутньому (за відрізок часу t ₂) залежить від того, скільки подій відбулося у попередній відрізок часу t ₁ – це наявність післядії m₂=F(m₁).

Якщо розглядати прибуття поїздів на станцію з одного напрямку, то такий потік володіє деякою післядією - після прибуття поїзда протягом мінімального інтервалу попутного слідування (t = I _min) поїздів не буде. Зникла випадковість, з¢явилась деяка (обмежена у часі) закономірність. А після (I _min) процес знову набирає випадковий характер.

Потоки, у яких не витримується хоча б одна з вказаних властивостей – це складні випадкові потоки. Потрібно ще раз підкреслити, що найпростіший – це випадковий потік. А назва його походить від того, що його математичний опис – найпростіший серед довільних випадкових. Розглянуті вище окремі приклади транспортних потоків показують, що в транспортних системах можуть бути як найпростіші так і інші випадкові потоки.

Параметри потоків

Потоки можуть характеризуватися як моментами здійснення подій так і інтервалами між суміжними подіями (І, на рис. 4.1). Для регулярного потоку основним параметром є величина інтервалу між подіями I =const. На базі цього інтервалу можна визначити інший параметр потоку – інтенсивність, тобто кількість подій в одиницю часу, який розраховується

.

Наприклад, величина інтервалу у регулярному потоці становить I =15 хв = 0.25 год. Тоді l=1/15=0.0667 поїздів/хв, або l=1/0.25=4 поїзда/год.

Знаючи параметри такого потоку, маємо можливість виконати розрахунки:

- моменту звершення будь-якої події: Т_n=T₁ + (n-1)I;

- кількості подій за деякий час t: m = t/I = lt.

Запитання. Здійснюється одна подія за добу в моменти часу: вчора - о 10-й год, сьогодні - об 11-й год, завтра - о 12-й год і т.д. Потік цих подій регулярний, чи ні? Інтервали між подіями є постійними і становлять 25 годин, отже потік регулярний.

У випадкових потоків інтервали між подіями є випадковими величинами, тому для характеристики і математичного опису випадкових потоків використовують параметри розподілу випадкових величин. З використанням даних статистичних спостережень ці параметри розраховують наступним чином:

- математичне очікування інтервалу між подіями ; (4.1)

- дисперсія інтервалів або ; (4.2)

- середнє квадратичне відхилення інтервалів ; (4.3)

- коефіцієнт варіації інтервалів (вхідного потоку) ; (4.4)

- середня інтенсивність потоку . (4.5)

Для випадкових потоків, окрім параметрів розподілу інтервалів, визначають закон їх розподілу, від якого залежать показники функціонування системи. Закони розподілу наведені в спеціальній літературі і тут не розглядаються. Одним з таких законів є „показниковий” або експоненціальний, який має характерну особливість: . Як наслідок, коефіцієнт варіації вхідного потоку у випадку експоненціального закону розподілу інтервалів дорівнює

.

Теоретично доведено, що у найпростішому потоці інтервали між подіями розподілені за експоненціальним законом, тому такий потік має υ_вх = 1,0. Отже, при вирішенні задач, належить звертати увагу на умови задачі. Якщо сказано в умові, що вхідний потік найпростіший, або інтервали у випадковому вхідному потоці розподілені за експоненціальним (показниковим) законом, це свідчить, що υ_вх = 1,0. Справедливе і зворотне твердження: якщо інтервали у потоці мають коефіцієнт варіації υ_вх = 1,0, то вхідний потік – найпростіший.

І навпаки, у випадку регулярного потоку, коли усі інтервали становлять однакову величину, середнє квадратичне відхилення становить , тоді коефіцієнт варіації дорівнює

.

Таким чином, знаючи коефіцієнт варіації вхідного потоку, можна робити наступні висновки: υ_вх= 0 ­– потік регулярний, υ_вх= 1 – потік найпростіший, 0< υ_вх <1 – потік випадковий довільний.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: