|
|
Повторные независимые испытания. Испытания по схеме Бернулли.На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события Пусть производится В зависимости от значений · Если
где · Если
где Значения · Если
где Функция Пример 1. Вероятность появления события Решение. По условию Искомая вероятность:
Пример 2. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не более определенного количества литров в сутки) равна р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход воды будет нормальным любые трое суток. Решение. Используем формулу Бернулли
3.5.2 Случайные величины Случайной величиной называют такую величину, которая в результате испытания может принять только одно числовое значение из своих возможных значений, заранее неизвестно какое именно, и обусловленное случайными причинами. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Обозначают случайные величины прописными буквами: X, Y, Z,…, а их возможные значения строчными буквами, например, Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные изолированные значения, которые можно пересчитать, с соответствующими вероятностями. Число значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Например, дискретная случайная величина Х – число попаданий при трех выстрелах, имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2, 3. Случайная величина называется непрерывной,если ее возможные значения заполняют некоторый интервал полностью. Например, рост человека, вес человека и т.п. Законом распределения случайной величины называется любое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Эту зависимость можно задать таблично, аналитически или графически. Если случайная величина Х – дискретная с конечным множеством возможных значений, то ее закон распределения обычно задают в виде таблицы, в первой строке которой указывают все возможные значения случайной величины, расположенные по возрастанию, во второй строке – вероятности, с которыми она их принимает:
В этом случае группа событий Закон распределения дискретной случайной величины можно задать графически в виде многоугольника распределения, если на плоскости построить точки с координатами (x i, p i) и соединить их ломаной линией. Закон распределения непрерывной случайной величины задается интегральной или дифференциальной функциями распределения. Интегральной функцией распределения F (x) называется функция одного переменного x, определенная на всей числовой оси и для каждого x значение функции F (x) = P (X<x). Свойства функции F (x): 1) 2) F (x) – неубывающая функция; 3) 4) Вероятность попадания значений случайной величины Х в заданный интервал (а; b) определяется по формуле Р (а<Х<b) =F (b) -F (а). Дифференциальной функцией распределения или плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х называется Свойства плотности f (x): 1) 2) 3) 4) Числовые характеристики случайной величины Х: Математическое ожидание М (Х) случайной величины Х характеризует среднее значение величины Х или среднее ожидаемое значение, или центр распределения случайной величины Х. Для дискретной случайной величины Х: Для непрерывной случайной величины Х: Свойства М (Х): 1. М (С) = С; С = сonst; 2. М (СХ) = С∙М (Х); 3. М (Х+У) = М (Х)+ М (У); 4. М (Х∙У) = М (Х)∙ М (У), если Х и У независимые случайные величины. Дисперсия D (X) случайной величины Х – мера рассеивания возможных значений Х относительно центра распределения М (Х). D (X) равна математическому ожиданию квадрата отклонения значений Х от М (Х):
Свойства D (X): 1. 2. D (C) = 0, C = const. 3. D (CX) = C 2∙ D (X); 4. Для дискретной случайной величины Х расчетная формула дисперсии:
для непрерывной величины:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х равно корню квадратному из D (X): Пример 1. На пути движения автомобиля 4 светофора, каждый из которых с вероятностью р = 0,5 разрешает или запрещает движение автомобиля. Составить закон распределения величины Х – количества светофоров, которые автомобиль минует без остановки. Найти числовые характеристики М, D, Решение. Возможные значения величины Х: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений найдем по формуле Бернулли при n = 4, p = 0,5 и q = 0,5.
Таким образом, закон распределения величины Х:
Найдем числовые характеристики дискретной случайной величины Х.
Построим многоугольник распределения:
Рис.4. Многоугольник распределения Построим функцию распределения F (x): 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Рис.5. График функции Задания типа 51-60   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события 
в результате определенного количества испытаний.
в каждом испытании постоянна.
, называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события 
постоянна и равна 
. Требуется найти вероятность 
того, что при 
повторных испытаниях событие 
произойдет 
раз.
и 
задача предложенного типа решается по различным формулам.
, то используют формулу Бернулли:
,
– вероятность не наступления события 
в каждом испытании.
и 
, то используют локальную теорему Лапласа:
,
, 
.
находят по таблице приложения А, Функция 
четная, т.е. 
, таблица содержит значения функции 
лишь для 
; при 
можно принять 
.
и 
(либо 
), то используют формулу Пуассона:
,
.
протабулирована.
в каждом из 7 независимых испытаний постоянна и равна 
. Определить вероятность того, что событие 
наступит ровно 5 раз.
; 
, 
, 
. Т.е. для решения задачи используют формулу Бернулли.
.
, где 
, 
.
.
.
- есть полная группа событий и 
.
;
.
. График функции f (x) называется кривой распределения.
, т. к. f (x) есть производная неубывающей функции F (x);
, т. к. событие 
есть достоверное событие;
;
.
;
.
.
для любой случайной величины;
.
;
.
.
величины Х, построить график F (x) и многоугольник распределения.
;
;
;
;
. Проверка: 
.
;
.
;
;
;
;
;
