Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную или дифференциал. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная ее производную (или дифференциал ), т.е. найти такую функцию , производная которой равнялась бы .

Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство

или .

Например, первообразной функции , , является функция , т.к. . Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С - константа, т.к. .

- подынтегральная функция; - подынтегральное выражение;

х – переменная интегрирования; - знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная интеграла равна подынтегральной функции , .

2. - неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной;

3. (где с - константа, ) – постоянный множитель можно выносит за знак интеграла.

4. - неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

5. Инвариантность формулы интегрирования. Если , то , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную. То есть, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1.

2. (). В частности .

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11

14. . В частности .

16. . В частности .

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Примеры:

1.

2.

3.

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ а; b ]. Разобьем этот отрезок на n частей произвольным образом точками х ₀ = а < x ₁ < x ₂ < …< x _n = b.

Пусть – длина i -го частичного отрезка. На каждом элементарном отрезке выберем произвольную точку с_i, вычислим значение функции в этой точке f (с_i), умножим это значение на длину частичного отрезка f (с_i) . Сложив полученные произведения, получим сумму, которая называется интегральной

Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [ а; b ] называется предел последовательности интегральных сумм при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков стремится к нулю, этот предел существует и не зависит от разбиения [ а; b ] на части и от выбора с_i в них:

Если f (x) ≥ 0 на отрезке [ а; b ], то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, ограниченной линией у = f (x), осью ОХ и прямыми и (рис. 1).

Свойства определенного интеграла

1.	2.
3.
4. А = const	5.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Определенный интеграл от непрерывной функции f (x) равен разности значений ее первообразной F (x) при х=b и х=а, где а и b нижний и верхний пределы интегрирования, т.е. имеет место формула

где - одна из первообразных функции f (x).

Пример: .

Вычисление площади плоской фигуры

Если на отрезке [ а; b ] функция f (x) ≥ 0, то согласно геометрическому смыслу определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x), осью ОХ и прямыми х = а и х=b, определяется по формуле

.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ; у = 0; х = 0; х = 3.

Решение. Построим фигуру, площадь которой надо найти. Графиком функции является парабола, симметричная относительно оси ОУ с вершиной в точке В (0;1) (рис. 2).

Тогда:

.

Если фигура ограничена линиями у = f ₁(x) и у = f ₂(x), где f ₂(x) ≥ f ₁(x), и прямыми х=а и х= b, то ее площадь определяется по формуле

.

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

, у = 1 – х.

Решение. Построим данную фигуру. Графиком первой функции является парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси ОУ; ветвь параболы направлена вниз (рис.3). Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ: ; ; ; ; . Найдем точки пересечения параболы с ОУ: при х = 0 у = – 5. Построим прямую у = 1 – х: при х = 0 у = 1; при у = 0 х = 1. Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Рис. 3

Решим уравнение:

; .

Тогда ; . Точки пересечения А (1: 0); В (6; -5).

Задания типа 41-50

Основы теории вероятностей

Математическая наука, которая изучает закономерности массовых событий, называется теорией вероятности.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Науку, которая использует теорию вероятностей для обработки численных единиц информации как результатов эксперимента, называют математической статистикой.

Последовательность операций, выполняемых с соблюдением конкретного комплекса условий, называют экспериментом или испытанием.

Результат испытания называют событием.

Пример. Брошена монета – испытание; появление герба – событие.

Наблюдаемые нами события можно подразделить на следующие три вида: достоверные; невозможные; случайные.

Достовернымназывают событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти в зависимости от действия многочисленных факторов, учесть которые исследователь не в силах. Случайные события обозначают символами А, В, С.

Пример. В урне находятся 10 одинаковых шаров, пронумерованных от 1 до 10. Наугад берется один шар. Возможны следующие события:

1) появление шара с номером от 1 до 10 – событие достоверное;

2) появление шара с номером 12 – событие невозможное;

3) появление шара с номером 2 – событие случайное.

Виды случайных событий.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называют совместными, если появление одного из них не исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называют единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

События называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Совокупность всех единственно возможных событий испытания называют полной группой событий.

Пример. Стрелок произвел 2 выстрела.

Полная группа событий: ; где

Событие – промах;

Событие – одно попадание;

Событие – два попадания.

Противоположныминазывают два единственно возможных события образующих полную группу событий.

Обозначение: и ;

Пример. Монета брошена 1 раз. События: – выпал герб и – выпала решка – противоположные.

Брошена игральная кость. События: – выпало четное число очков и – выпало нечетное число очков – противоположные.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: