Исследовательские задачи на уроках: начало

Введение

В течение 5 сезонов КЛШ (Красноярской летней школы, 1998-2001, 2003) я организовывал работу со школьниками по так называемым «проектам». В этой работе в качестве преподавателей участвовало около 20 сотрудников. Ряд школьников, работавших по проектам, стали сотрудниками школы. Практически все отчеты школьников сохранены. Этот текст – попытка суммировать накопленный опыт. В нём объясняется, что понимается под проектом, в чем особенности проектной работы, а также даются методические указания для будущих руководителей проектных курсов и отдельных проектных групп.

Часть 1. Работа над проектами.

§1. Общие сведения.

1.1 Что мы называем проектной работой. Основной цикл.

Проектная работа – это модель научно-исследовательской работы ученого. Включение такой работы в учебный процесс преследует несколько целей:

- познакомить школьника с одним из наиболее мощных и традиционных способов познания окружающего мира;

- дать школьнику почувствовать радость от успешно решенной трудной (для него) задачи;

- дать школьнику опыт письменного изложения результатов своей работы, а также устного представления этих результатов сверстникам и взрослым.

Так как работа над проектом (как и научно-исследовательская работа), как правило, ведется группой, то школьник приобретает еще один ценный опыт – опыт работы в группе.

Не претендуя на полноту, перечислим существенные для нас черты научно-исследовательской работы и моделирующей ее проектной работы:

1) относительная длительность (в условиях КЛШ это 10 -14 дней);

2) самостоятельное и свободное «блуждание» в пространстве, заданном условиями задачи;

3) относительная методичность блуждания («метод проб и ошибок»):

- проведение экспериментов, количество и содержание которых, а также форма представления результатов определяются самим исполнителем (в наших проектах эксперименты были численными и проводились вручную либо с помощью несложных компьютерных программ);

- формулирование гипотез на основе результатов проведенных экспериментов, проверка этих гипотез с помощью новых экспериментов и, если нужно, корректировка гипотезы; доказательство гипотезы, согласующейся с экспериментами;

4) уточнение и расширение исходной постановки задачи по ходу работы;

5) необходимость подготовки письменного отчета и устного сообщения.

Отметим, что «блуждание в материале» является неотъемлемой чертой всякой творческой (исследовательской) деятельности. Научно- исследовательская деятельность отличается выработанными веками специфическими методами исследования. Предлагаемые школьникам проектные задания (см. ниже) облегчают и делают естественным применение экспериментального подхода к исследуемой проблеме.

Таким образом, основу работы исполнителей над проектом составляет такой цикл (ниже называемый основным): [4]

1) проведение численных экспериментов (без использования или с использованием компьютера);

2) анализ полученных экспериментальных данных; выдвижение гипотез, описывающих накопленные данные;

3) проверка предсказательной силы гипотез с помощью новых численных экспериментов, уточнение гипотез;

4) доказательство гипотезы, которая согласуется с экспериментом.

Выполнению описанного основного цикла предшествует понимание постановки задачи. После завершения цикла происходит переход к работе над отчетом, при условии, что доказанная гипотеза полностью отвечает на исходный вопрос. Если же доказана промежуточная гипотеза, то происходит уточнение и/или расширение исходной постановки задачи, после чего снова выполняется основной цикл. Таким образом, в ходе работы над проектом основной цикл может быть выполнен не один раз.

Конечно, эта схема не всегда в точности выдерживается. Например, исполнитель проекта (как и работающий ученый) может отложить работу над одной гипотезой и взяться за другую, а потом снова вернуться к исходной гипотезе. Если исполнителей несколько, они могут параллельно работать над несколькими гипотезами, начинать готовить отчет, не дожидаясь проработки всех деталей решения. Некоторые особенности схемы, например, формальное доказательство гипотез, специфичны именно для «зкспериментально-математических» проектов, с которыми мы работали и которые описаны в следующем разделе. Однако в целом эта схема работает.

Замечание для искушенных читателей. Учащиеся КЛШ, как правило, не имели опыта решения математических задач и, кроме того, были загружены другой деятельностью – как учебной (курс физики, факультативы), так и неучебной. Поэтому по-настоящему трудных математических задач ни разу не предлагалось. Темы выбирались так, чтобы работа в режиме основного цикла возникала естественно. Обучение методичной исследовательской работе само по себе рассматривалось как, возможно, главный результат работы (школьники, конечно, вряд ли явно осознавали, что они научились какой-то «методике», для них главным было выполнение проекта и рассказ об этом). Этим проектная работа, проводившаяся в КЛШ, отличается от проектной работы, проводимой в аналогичных условиях с «сильными» школьниками, например, в рамках Турнира городов. В последнем случае учащиеся уже имеют методический опыт, и смысл работы – в решении достаточно трудных математических задач.

1.2. Экспериментальная математика.

Все проекты, которые мы проводили в КЛШ, можно отнести к так называемым проектам по экспериментальной математике (термин Г.Б. Шабата). В этих проектах школьник исследует формально описанную абстрактную (математическую или логическую) ситуацию, говоря точнее, - семейство однотипных ситуаций, зависящих от некоторого целочисленного ведущего параметра. Ведущим параметром может быть, например, размер игрового поля; степень уравнения; порядковый номер корня уравнения, для которого нужно найти все решения и т.п. В проектах по экспериментальной математике (ЭМ-проектах) есть две важные для нас особенности.

Во-первых (математичность), школьник имеет дело с формально и строго описанной ситуацией. Поэтому он самостоятельно может определить – является ли то, что он придумал, решением поставленной задачи, или нет. Это учит школьника научной (и не только) честности и выгодно отличает ЭМ-проекты от так называемых «креативных» заданий («придумать модель города будущего»), которые, как правило, приводят к безответственному и некритичному прожектерству.

Во-вторых (экспериментальность), в простейших случаях (при малых значениях ведущего параметра) ситуация может быть исследована простым перебором вариантов – вручную или с помощью несложной компьютерной программы. Такая заложенная в проект возможность проведения численных экспериментов дает школьнику «методику блуждания в поле исследования». Именно возможность экспериментирования отличает работу по ЭМ-проектам от традиционных математических заданий (докажи теорему, реши уравнение) и даже для наиболее слабых, т.е. в наименьшей степени способных к математическим догадкам, учеников делает ее осмысленной и доступной. Отметим, что эта методика (идти от простого к сложному, выделяя в простых случаях черты, существенные для ситуации в целом) – один из основных принципов научного метода исследования. Другая аналогия – важность исследования критических режимов для понимания сути процесса.

1.3. Групповая работа.

Работу над проектом ведет группа учеников. Каждая рабочая группа формируется самими учениками. Группе придается консультант-куратор. Он назначается с учетом компетентности в данном проекте и знакомства с группой исполнителей. Пожелания школьников по выбору куратора (если таковые возникнут) естественно учитывать.

Оптимальный количественный состав группы – 2-3 человека. Группы, состоящие из одного человека или более трех человек, не запрещаются. Отметим, что группы из 4 и даже 5 человек образуются достаточно регулярно. При работе над проектом группа, в которой больше 3 исполнителей, как правило, распадается на две – либо за счет выделения подпроектов в исходном проекте, либо из-за того, что часть группы перестает работать в полную силу. Поэтому такой «большой» группе нужно давать проект, легко допускающий распараллеливание работ, либо просто давать 2 проекта.

Равно-активная работа всех членов группы в течение всего времени работы над проектом – вещь достаточно редкая и куратору не стоит ставить достижение такой равномерности в качестве своей цели. Существенно, чтобы каждый участник группы играл свою роль в работе и не испытывал дискомфорта от этой роли. Такой ролью может быть, например, фиксация полученных промежуточных результатов и дотошное требование всё понятно объяснить. Тем не менее, независимо от роли в ходе работы над проектом, в итоге каждый из исполнителей должен понимать полученные группой результаты и уметь их объяснить куратору или другим слушателям.

1.4. Как протекает работа над проектом. Роль кураторов.

Полный срок работы над проектами в КЛШ составлял 10 – 14 дней, что включало 7 – 10 занятий, как правило – по одному занятию в день (1 ч 20 мин, общих перерывов обычно не делалось). При этом оформление результатов работы (набивка текстов отчетов, рисование плакатов) часто проводилось вне рамок учебных занятий.

Это время использовалось примерно так.

· Запуск работы (формирование групп, распределение проектов между группами) – 1 занятие.

· Освоение проекта, первые эксперименты, первые гипотезы – 1-3 занятий.

· Проверка гипотез, их уточнение, новые эксперименты – 1-3 занятия.

· Доказательство окончательной гипотезы – 1-2 занятия (возможно, с технической помощью куратора).

· Оформление результатов – 2-3 дня (не только во время занятий).

· Итоговая сессия – 1-2 занятия.

Большую часть времени школьники работают самостоятельно. Однако роль кураторов при выполнении проектов чрезвычайно важна. Основные ситуации, когда требуется участие куратора, перечислены в разделе §3. В каждом конкретном случае участие куратора может свестись к одной фразе (или даже взгляду), а может потребовать длительного разговора, выдачи промежуточных и дополнительных заданий и т.п. - в зависимости от уровня подготовки группы и успешности выполнения проекта. Мы, естественно, не можем дать рекомендации на все случаи жизни, но постараемся привести примеры возможных действий куратора в некоторых относительно стандартных ситуациях.

В идеале - группа должна максимально самостоятельно выполнить максимально большую часть задания. Эти цели, очевидно, противоречат друг другу. Выбрать оптимальный для каждого конкретного случая компромисс - предмет искусства куратора и помогающего ему руководителя проектного курса.

Запуск проектной работы.

2.1. Подготовка проектов.

Для работы необходимо подготовить описания проектов в двух видах - для школьников и для кураторов. В описание проекта для школьников входит только постановка задачи и, возможно, некоторые дополнительные сведения. Примеры таких сведений:

- тип проекта (например, «игра»);

- оценка сложности проекта;

- знания (сверх школьной программы), которые понадобятся исполнителям.

В тексте для куратора полезно описать, например:

- что необходимо разъяснить школьникам на этапе понимания ими постановки задачи,

- варианты ожидаемых от школьников решений;

- возможные трудности и развилки по ходу работы над проектом;

- знания, которыми должен владеть куратор.

2.2. Предварительная подготовка школьников.

Подготовка к групповой работе в КЛШ проводилась нами в рамках занятий по основному курсу - на этих занятиях ученики тоже работали в группах, за которыми были закреплены кураторы. Начало работы по проектам происходило после 2-3 занятий основного курса. Такой способ подготовки хорош, когда в школе уже существует традиция проектной работы, а школьники и кураторы успели привыкнуть к групповой работе.

В первые годы ведения проектов, когда эта традиция ещё не сложилась, мы проводили специальные «разгоночные» занятия. На разгоночном занятии с учениками, которые работают в группах под руководством кураторов, следует разобрать несколько (два - три - четыре) пробных проектов. Группы просто соответствуют тому, как сидят школьники, состав групп на этом этапе не очень важен. Цель - познакомить школьников с групповой работой, помочь им более осмысленно сформировать группы для основной проектной работы.

Пробный проект должен быть рассчитан на быстрое продвижение. В ходе этого продвижения проект может быть сделан лидерами практически полностью («Полоска», «Числа с заданным числом делителей», см. сс.). Другой хороший вариант - полностью выполняется упрощенный вариант проекта, а проект в полном объеме затем выбирается заинтересовавшимися как основной проект («НИМ», см. с.).

В конце разгоночного занятия или занятия по основному курсу, предшествующего раздаче проектов, ученикам нужно сообщить, что со следующего занятия начнется работа над проектами. Вот что они должны усвоить из этого сообщения:

1. Примерно представлять себе, что такое проект.

2. Сколько времени будет отведено на работу над проектами. Как это время разумно распределить между исследовательской и оформительской частями работы.

3. Проект выполняется группой учеников, оптимальный состав группы - 2-3 человека.

4. У каждой группы будет консультант-куратор.

5. Школьники должны сами разбиться на группы.

2.3. Первое занятие. Распределение проектов.

Первое занятие играет большую роль при проектной работе. Группа исполнителей должна выбрать и «присвоить» проект, начать «вживаться» в этот проект и работать над ним, происходит предварительное распределение ролей внутри группы. Поэтому способ формирования групп исполнителей, распределение по группам проектов и кураторов играют большую роль. При этом весьма уместен и плодотворен игровой элемент. За 5 лет проведения проектной работы в КЛШ мы пробовали разные формы проведения первого занятия. Приведу один из них.

До начала занятия школьники самостоятельно разбиваются на группы. Для каждой группы должно быть подготовлено рабочее место (стол со стульями или просто группа стоящих в кружок стульев). Рабочие места должны быть изолированы друг от друга, чтобы подчеркнуть независимость групп и дать им возможность работать, не мешая друг другу. Готовя аудиторию к занятию, нужно предусмотреть несколько запасных рабочих мест - чтобы слишком большие группы можно было безболезненно разделить на более мелкие.

В начале занятия группы занимают рабочие места по своему выбору. Каждой группе можно предложить придумать название.

Распределение проектов происходит в два этапа. На первом этапе школьники владеют лишь неполной информацией о проектах, например, им выдают список названий. К названию, в принципе, можно добавить указание типа проекта, уровня сложности, предполагаемого куратора (если они заранее распределены по проектам), что-нибудь еще - например, первые и/или последние слова постановки задачи. Список названий включал 12 проектов (см. …), начальное количество групп школьников - 6. Школьники должны были на этом этапе выбрать 3 проекта.

Затем каждая группа получала полный список всех постановок задач, чтобы выбрать один проект из предварительно отобранных трех. В принципе, не запрещалось выбрать и какой-то из других проектов, но это рассматривалось как ЧП и в реальности не происходило. На этом этапе кураторы могут подключаться к обсуждению, давать советы.

«Тройки предпочтения» различных групп могут пересекаться, окончательный выбор группы проводят независимо друг от друга. Если две группы выбирают один и тот же проект, преимущество имеет та, которая заявила о своем выборе первой. Руководитель может предложить «обездоленной» группе проект по своему выбору. Общая идея: проект должен в максимальной степени восприниматься школьником, как его собственный выбор.

После того, как группа выбрала проект и ей «выдан» куратор, группе вручается дневник - тонкая тетрадь (в 12 или 18 листов). В этой тетради записывается состав группы, название проекта и куратор. В дальнейшем группы должны будут записывать в дневник итог каждого занятия - а также всё, что они пожелают. (Замечание. Дневник - это голубая мечта, так ни разу и не реализованная.)

В ходе первого занятия может происходить распад «больших» групп на части. Уже после того, как проект выбран, школьник может сообразить, что этот проект ему не подходит и пожелать присоединиться к другому проекту. На первом занятии (и даже в начале второго) это нормально. Перекройка групп на более поздних стадиях нежелательна.

Аналогично, на первых занятиях иногда может произойти перераспределение кураторов между группами. Например, несколько кураторов могут взять под опеку несколько групп и по ходу работы уточнить распределение усилий. Важно, чтобы в каждый момент было известно, кто из взрослых за эту группу отвечает. Руководитель курса страхует ситуацию в целом.

2.4. Первое занятие. Начало работы над проектами.

Задача группы на первом занятии - понять постановку задачи и начать работу над проектом. При этом неявно происходит распределение обязанностей между исполнителями.

Задача куратора при этом - убедиться, что группа правильно поняла постановку задачи и владеет необходимыми знаниями. Если каких-то знаний группе не хватает (например, выбран проект «Симметрические многочлены» (см. с.), а группа не знает, что такое треугольник Паскаля), нужно дать необходимые пояснения. На этой стадии куратор работает в режиме обычного преподавателя - самостоятельная работа школьников над проектом начинается только после того, как понята постановка задачи.

После этого группу стоит на какое-то время оставить в покое. В хорошем случае группа начнет делать какие-то эксперименты (например, играть друг с другом в исследуемую игру). В худшем случае группа может «зависнуть», не понимая, чем конкретно им стоит заняться. В любом случае за 10-15 минут до конца занятия (если группа сама не обратится за помощью раньше) стоит подойти к группе и выяснить, что происходит.

Цель куратора - чтобы группа поняла следующее:

- что нужно экспериментировать;

- что экспериментировать нужно систематически, начиная с простейших случаев (наименьших значений ведущего параметра);

- что результаты экспериментов нужно представлять аккуратно и в удобной для просмотра форме.

В конце занятия нужно напомнить школьникам о необходимости зафиксировать итоги дня в дневнике и помочь сделать это.

Решение задачи.

3.1. Организация работы на занятиях. Роль куратора.

После того, как школьники поняли постановку задачи и получили необходимые дополнительные сведения, они переходят к следующему этапу выполнения проекта - собственно к решению поставленной задачи. За ним последует заключительный этап - подготовка отчета.

На этапе решения задачи школьники работают самостоятельно, соответственно организованы и занятия. В начале занятия школьники занимают свои рабочие места. Руководитель курса проверяет, на месте ли школьники и кураторы, если нужно, - делает объявления (например, о дисциплине использования компьютеров). Кураторам рекомендуется подойти к своим группам в начале занятия и в конце (минут за 10 до «звонка») - чтобы быть в курсе происходящего и проследить за ведением дневника. Всё остальное время куратор (теоретически) предается медитации. На практике все обстоит несколько иначе.

В прошедших сезонах встречались две модели поведения куратора. В первой модели куратор, по возможности, находился на расстоянии от школьников. Во второй - куратор почти все время находится рядом со школьниками и непосредственно наблюдает их работу. Плюсы и минусы обеих моделей понятны и здесь обсуждаться не будут. Я предпочитаю первую модель. Вторая модель больше подходит кураторам, чей возраст не сильно отличается от школьников. При этом важно удерживаться от неоправданного вмешательства в работу школьников.

Когда же такое вмешательство бывает оправданным? Один случай - обсуждавшийся выше процесс понимания постановки задачи. Другие случаи связаны

(а) с трудностями, возникающими у школьников;

(б) с желанием предложить новые вопросы, расширяющие исходную постановку задачи;

(в) с тем, что у школьников возникли интересные «ходы», возможно, не имеющие отношения к решению исходно поставленной задачи.

Замечание 1. Если работа сделана, а время осталось, лучше сначала предложить школьникам самим сформулировать новые вопросы. Затем обсудить эти вопросы, - и сообща сформулировать новую задачу. В принципе, модно предложить новый проект никак не связанный с исходным, но на это обычно не хватает времени.

Замечание 2. Если есть красивый ход - можно отказаться от исходной темы и переключиться на углубленное исследование неожиданной находки. Кстати, в реальной жизни это тоже бывает. Отработка таких ситуаций всегда требует от куратора импровизации и мастерства и приносит большое удовольствие всем - и школьникам, и преподавателям.

Замечание 3. Часто разумной реакцией на «зависание» школьников является реакция «неспецифическая» - просто подбадривание и тормошение. Ниже это всюду подразумевается, а описываются именно специфические реакции.

3.2. Некоторые типичные трудности

Трудность 1: начало работы. От группы ожидается начало экспериментальной работы - проведение пробных экспериментов, выработка плана экспериментальной работы (часто явно не формулируемого), постепенная выработка формы записи результатов. Типичные трудности, возникающие у школьников на этом шаге:

- зависание, т.е. длительное «обдумывание» задачи без осознанных промежуточных целей; непонимание возможности (полезности) эксперимента;

- бессистемность; непонимание того, что нужно начинать с простейших случаев;

- неумение выделить ведущий параметр и, следовательно, понять, что такое «простейшие случаи».

Что может сделать куратор? Во-первых, диагностировать ситуацию. Ниже приводятся типичные признаки, помогающие при диагностике. Конечно, они не абсолютны и возможны интересные исключения (например, вроде бы зависшие школьники могут находиться в состоянии плодотворного размышления, но не могут или не хотят объяснить это куратору). Дело кураторов эти исключения распознать.

Признаком зависания служит ответ «Думаем» на вопрос «Ну и что вы делаете?». При этом на вопрос «Над чем думаете?» ответа либо не дается, либо следует что-то вроде «Над задачей». В случае зависания стоит предложить что-то вроде: «А давай начнем с простейших случаев» - и раскрыть эту фразу в соответствии со спецификой разбираемого проекта. Например, «Кто победит, если в полоске только 1 клетка?», «Две клетки?» (проект «Полоска», с. …); «Попробуйте подобрать какие-нибудь корни уравнения» (проект «Диофантово уравнение», с. …). Получаемые от школьников ответы нужно фиксировать в удобной и естественной для школьников форме - этим задается норма проведения экспериментов.

Школьники (особенно в игровых проектах) часто пытаются начать исследование с достаточно сложных («реальных») случаев. Иногда при этом они схватывают ключевую закономерность или какую-то часть ее, но достаточно часто это заводит в тупик. Определить, является ли работа над трудными случаями (минуя простые) действительно плодотворной, непросто. Если вы (наблюдая со стороны) решили, что пора вмешаться, можно поступить, например, так. Спросить у школьников «Над чем работаете?». Выяснив, что разбираются довольно трудные случаи, спросить - «А что будет в ситуациях попроще?». Полезно попросить школьников самим описать самый простой случай. Это часто вызывает трудности - школьники неосознанно исключают очевидные (но вполне корректные) случаи из анализа. В то же время рассмотрение именно этих случаев бывает плодотворным. Постепенно повышая трудность случаев (в наших проектах это почти всегда означает последовательное увеличение ведущего параметра) нужно дойти со школьниками до уровня, который вызовет у них затруднения. К этому моменту школьники обычно понимают, что значит последовательно увеличивать сложность задачи и подготовлены к дальнейшей самостоятельной работе. В частности, вместе с куратором они выработали адекватную форму записи результатов экспериментов.

Относительно редко бывает, что проблема школьников в том, что они не могут выделить ведущий параметр. Обычно ведущий параметр выделяется естественно и школьников нужно просто «ткнуть» в этот параметр. Такая ситуация, по существу, аналогична рассмотренной в предыдущем абзаце.

Замечание. Бывают проекты, когда ведущий параметр можно выделить несколькими способами (например, проект «Обезьяна и кокосы», с. …). И именно выделение правильного ведущего параметра составляет существенную часть догадки - того, ради чего и происходит работа над проектом. Движение же по неправильному параметру значительно затрудняет (делает невозможным) обнаружение. Этот случай рассмотрен ниже.

Трудность 2: выдвижение первой гипотезы.

Школьники плодотворно и относительно долго (около одного занятия) проводили эксперименты. Накоплен (относительно) большой экспериментальный материал и одновременно у школьников накопилась усталость от однотипной работы и ощущение, что новые эксперименты ничего нового не дадут. Настало время перейти к следующему шагу основного цикла - осмыслению экспериментальных данных и выдвижению гипотез. Конечно, осмысление результатов (осознанное и неосознанное) идет всё время в течение выполнения экспериментов. Однако, наступает время, когда проведение дальнейших экспериментов без выдвижения какой-то обобщающей гипотезы становится неплодотворным. А гипотез - нет.

Признаком такой ситуации служит утрата интереса школьников к проведению экспериментов. Она происходит неравномерно - сначала выпадает слабое звено; более сильные при этом могут продолжать работать. Мы говорим о проблемах группы как целого.

Оговоримся сразу: помощь куратора на этом шаге означает, что полученный школьниками результат не может считаться полученным совершенно самостоятельно. Искусство куратора состоит в том, что и как подсказать. С одной стороны, подсказка должна быть минимальной по содержанию и максимально стимулирующей для школьников. С другой стороны, она не должна создавать у школьников иллюзию полностью самостоятельного решения. Можно руководствоваться таким правилом (ср. с «зоной ближайшего развития» Л.С. Выготского):

Подсказывать можно то, что школьники (по крайней мере некоторые) уже и сами поняли, но не могут выразить словами.

Конечно, догадаться, что школьники поняли, а что нет, - вопрос искусства. Обычно о правильности догадки можно судить по реакции школьников на подсказку.

Другая идея - предлагать на выбор несколько «естественных» вариантов действий, где наряду с оптимальным будут и неоптимальные и даже тупиковые. Можно сознательно предложить «неправильный» вариант.

Помощь куратора на определенном моменте работы (особенно, если это помощь, в основном, методическая) не отменяет творческой работы школьников. Просто школьники должны уметь отделить то, что они придумали сами (и чем могут по праву гордиться), от того, что им было объяснено. И это умение - еще один побочный (но важный) результат проектной работы.