О формулировках задач и подсказках

Когда ученик не может справиться с задачей, ему помогают. Традиционно помощь состоит в чётком формулировании конечного или промежуточного результата («докажи, что…», «найди то-то…»). Но помощь может быть гораздо разнообразнее [статья 2], например, можно:

· задать вопрос («какой длины может быть строчка?»),

· обратить внимание школьника на какую-то закономерность («смотри, разности соседних чисел всегда нечётные»),

· указать процесс или конструкцию, которые помогут ему прийти к результату или идее решения («проведи две медианы и отметь их середины / подсчитай количество солдат, которые смотрят налево, для каждой секунды»).

Для исследовательских задач такая открытая помощь предпочтительнее: она помогает ученику «вжиться» в новый мир, но не навязывает результатов, к которым «надо» прийти. Поэтому в наших задачах нет готовых формулировок.

К большинству задач приведены комментарии разной степени подробности – от кратких указаний до полного описания решения. Они адресованы руководителю (а не школьнику!) и помогают ему быстро сориентироваться в теме, литературе, связях с «большой» математикой. Однако важно помнить, что комментарий никоим образом не заменяет самостоятельного продумывания задачи, а только помогает экономить учительское время. Детям видеть комментарии неполезно – по крайней мере, прежде сколько-нибудь продолжительных самостоятельных размышлений.

Комментарии бывают нескольких видов – математический, исторический, педагогический. Комментарии не претендуют на полноту, а лишь показывают возможные подходы, отмечают интересные факты, и т.д. Автор будет признателен за любые дополнения.

К некоторым темам приводятся обобщения – возможное направление развития темы, и ссылка на литературу, по которой можно продолжить знакомство с темой.

Если задача достаточно сложна, и закономерности не поддаются непосредственному экспериментальному угадыванию, то учитель может превратить её в последовательность более простых задач и вопросов, т.е. составить план исследования. План кратко передаёт некоторое объективное содержание задачи. Такой план – хороший способ передачи другому учителю опыта работы с задачей. Если ученик работает самостоятельно, то такой план часто – единственная возможность ощутить вкус исследования. Много таких планов содержится в книгах [К3, К6, К7] и в материалах конференций [Конф1, конф2]. Но, разумеется, никакой план не заменит ученику живого общения с руководителем. Опытный учитель, познакомившись с таким планом (а ещё лучше – наметив свой) реализует его в форме регулярных обсуждений текущих результатов ученика.

Авторство большинства задач установить вряд ли возможно. Даже если известен сборник, в котором задача была напечатана, скорее всего, это не первая её публикация. Для единообразия мы не стали указывать автора и в тех редких случаях, когда он был нам известен.

Арифметика – царица математики, и подходящие задачи найдёт для себя каждый – от первоклассника до академика.

Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр. Например, число 1 замечательное, потому что оно самое маленькое из чисел 1, 10, 100, 1000 и так далее. 1 – это первое замечательное число. Найдите второе замечательное число. Опишите все числа, у которых сумма цифр такая же. То же для третьего, десятого, 2010-го замечательного числа.

Найдите самое большое двузначное замечательное число. Какой у него номер?

На клетчатой бумаге нарисуйте все прямоугольники, у которых площадь равна 24 клеткам. (Стороны должны идти по границам клеток.) Сколько получится таких прямоугольников?

Для каких площадей бывает только один прямоугольник? Для каких – два разных прямоугольника? Три разных прямоугольника? Как зависит количество вариантов от площади?

Найдите из всех прямоугольников с одинаковой площадью тот, у которого периметр наименьший.

Класс: >=3 (площадь, периметр), <=5 (простые и составные числа)

Методическое сопровождение: комментарий, обобщение

Число 15 можно тремя способами представить в виде суммы последовательных натуральных чисел: 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. А сколько таких способов для числа 115? Как найти количество способов для произвольного числа?

Суперкомпьютер умеет выполнять только одну операцию- операцию смешивания двух чисел: из чисел m, n компьютер получает число (m+n) /2. Если m+n – нечетное, то компьютер зависает. Все полученные числа хранятся в памяти. Пусть нам даны три числа, одно из которых ноль, а два другие натуральные и не равны друг другу. Для каких чисел m и n на суперкомпьютере можно получить единицу?

На листе бумаги в клеточку обвели прямоугольник размером 199 х 991 клеток. Через сколько узлов (т.е. вершин клеточек) проходит диагональ? Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника? Попробуйте дать ответ для произвольного размера прямоугольника – размером M x N клеток.

Примечание. Диагональ пересекает клетку, если она заходит «внутрь» этой клетки, а не просто проходит через вершину.

Какие суммы можно уплатить монетами по 3 и 5 рублей? Обобщение: какие числа выражаются комбинацией ax+by, где a и b – данные натуральные числа, x и y – произвольные целые неотрицательные числа.

Методическое сопровождение: комментарий, работа (с. …)

Скл а дные числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число. Например:

«Пятью пять – двадцать пять», «шестью шесть – тридцать шесть».

Найдите как можно больше складных чисел; найдите способ нахождения всех таких чисел.

Методическое сопровождение: комментарий, ссылка

Поиск чисел с заданным количеством делителей

Для данного натурального числа N опишите все натуральные числа, имеющие ровно N делителей.

Подробнее. Есть только одно число, имеющее ровно один делитель, - это единица. Ровно два делителя имеют все простые числа. Ровно три делителя имеют, например, числа 4 и 9, являющиеся квадратами простых чисел. Все ли числа, имеющие ровно три делителя, обладают этим свойством? Каким может быть вид числа, имеющего ровно 4 делителя? 5 делителей? N делителей?

Для числа 1/7 разложение в десятичную дробь периодично и состоит из шести цифр, а для 2/7, 3/7, …, 6/7 — из тех же шести цифр в другом порядке (проверьте!). А вот для числа 1/13 и 2/13 наборы цифр разные. Исследуйте разложения этих чисел и чисел вида 1/p, 2/p, …, (p-1)/p, для p = 17, 19, 41, 47 и другим простым числам, и разберитесь, какие бывают циклы.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: