|
|
Равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники1. Назовём многоугольник равноугольным, если у него все углы равны. Например, равноугольный четырёхугольник – это прямоугольник. У него равны противоположные стороны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равноугольного шести угольника? 2. Назовём многоугольник равносторонним, если у него равны все стороны. Например, равносторонний четырёхугольник – это ромб. У него равны противоположные углы, диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равностороннего шести угольника? Класс: >=8 (свойства четырёхугольников) Раздел: геометрия Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: комментарий
Полуправильные шестиугольники Шестиугольник называется полуправильным, если у него стороны равны через одну и углы равны через один. Найдите и докажите свойства полуправильных шестиугольников. (Полуправильный четырёхугольник – это параллелограмм, у него много интересных свойств.) Класс: >=8 (свойства четырёхугольников) Раздел: геометрия Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: комментарий
Замечательные точки Пусть в плоскости даны две точки O и H, и ∆ обозначает любой треугольник, для которого точка O является центром его описанной окружности, а точка H — его ортоцентром. Где могут находиться вершины треугольника ∆? Класс: >=9 (прямая Эйлера) Раздел: геометрия Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: комментарий, обобщение, ссылка Сложение фигур Пусть заданы две фигуры F и G. Назовём полусуммой этих фигур множество всех середин отрезков, один конец которых принадлежит F, а другой – G. Какие фигуры могут быть полусуммами многоугольников? Класс: >=9 (векторы) Раздел: геометрия Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: комментарий, ссылка, обобщение
КОМБИНАТОРИКА В этом разделе очень трудно указывать классы, на которые рассчитаны задачи. Почти все задачи по формулировкам и начальным ходам доступны младшеклассникам, а вот полное решение обычно требует некоторой математической культуры. Поэтому можно сказать, что это задачи на вырост – ученику полезно встречаться с ними несколько раз на разном уровне строгости и обобщения.
Разрезы На сколько частей можно разбить плоскость n прямыми? Укажите наибольшее и наименьшее число частей. Как надо резать? Класс: >=3 Раздел: комбинаторика, геометрия Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: комментарий, обобщения
Раскраски Сколькими способами можно раскрасить шесть граней одинаковых кубиков шестью красками по одной на грани так, чтобы никакие два из получившихся раскрашенных кубиков не были одинаковыми (не переходили один в другой при каком-то вращении)? Класс: >=5 Раздел: комбинаторика Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: комментарий, обобщение, ссылка Сколько всего прямоугольников? На клетчатой бумаге обведён прямоугольник размером 3*4 клетки. Сколько на этой картинке квадратов? А сколько прямоугольников? Те же вопросы для прямоугольника размерами n*m. Класс: >=5 Раздел: комбинаторика, алгебра Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: комментарий
Зам о к
На рисунке изображён кодовый замок. Компания-производитель утверждает, что он очень надёжен, поскольку существует "несколько тысяч комбинаций". Правда ли это? Комбинацией является последовательность нажатий. При этом: одновременно можно нажать любое количество кнопок от 0 до 5, кнопки можно нажимать не более одного раза (можно ни разу). Примеры: {1, 2, 3}, {4, 5} - сначала нажали вместе 1, 2, 3, потом вместе 4 и 5; {4, 5}, {1, 2, 3} - это другая комбинация, потому что порядок поменялся; {1}, {3},{4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} (все кнопки сразу) {1}, {3}, {2}, {5}, {4} (все кнопки по одной) {} (ничего не нажали; дверь не заперта). Класс: >=7 (формулы перестановок) Раздел: комбинаторика, алгебра Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: ссылка Число турниров В турнире «на кубок» участвуют n команд, и проигравший выбывает, а после n – 1 игры остаётся победитель. Расписание турнира можно записать в виде символа вроде ((a, (b, c)), d) - b играет с c, победитель с a, победитель с d. Сколько разных расписаний, если команд 10? Класс: >=7 (формулы перестановок) Раздел: комбинаторика Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: комментарий Подсчёт деревьев Соедините n точек 1, 2, 3, …, n отрезками так, чтобы получилось дерево (т.е. граф, в котором есть путь из любой вершины в любую, но нет циклов – замкнутых путей; отрезков должно быть n -1). Сколько разных деревьев можно получить? Класс: >=7 (формула перестановок) Раздел: комбинаторика, геометрия Пошаговость: средняя Методическое сопровождение: работа (с. …)
Число циклов Рассмотрим перестановку шести чисел:
(эта запись означает, что каждое число из верхней строчки переходит в стоящее под ним число нижней: 1 переходит в 2, 2 – в 1, 3 – в 3, и так далее). Будем производить перестановку многократно и проследим за судьбой каждого числа: 1-> 2 -> 1 -> 2 -> 1 -> 2 -> … Получился цикл длины 2. 3 -> 3-> 3 -> … Получился неподвижный элемент или цикл длины 1. 4-> 6 -> 5 -> 4 -> 6-> 5 -> … Получился цикл длины 3. Задача: изучить все перестановки данных шести чисел и подсчитать общее количество циклов длины 1, 2, 3, …, 6 в этих перестановках. Обобщить на перестановку n чисел. Класс: >=7 Раздел: комбинаторика Пошаговость: средняя   Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
