Разбиение многоугольника на равновеликие треугольники

Начнём с самого простого случая - n = 3. В треугольнике эта точка известна, существует и единственна для любого треугольника. Интересно исследовать, перенесутся ли какие-то из её свойств на четырёхугольник и т.д. Разбор случая n = 4 можно начать с квадрата и постепенно ослаблять условия (параллелограмм, трапеция, произвольный четырёхугольник).

1. Восстановить треугольник по серединам сторон (простая).

2. Восстановить пятиугольник по серединам сторон (посложнее).

1) Число сторон нечётно. Тогда решение существует и единственно для любого расположения исходных точек. Если исходные точки образуют многоугольник, то решение невырождено.

2) Число сторон чётно. Тогда либо решение не существует, либо их бесконечно много (в зависимости от расположения исходных точек).

При решении можно использовать и теорему Вариньона, и метод координат, и программу «Живая геометрия».

Обобщение. Отметили точки, делящие стороны в отношении 1: a.

Равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники

Исследование удобно проводить в программе «Живая геометрия» (построить в ней требуемую фигуру уже является интересной «подзадачей»). Окажется, что у равностороннего шестиугольника никаких интересных свойств нет, т.е. требование равенства всех сторон слишком слабое. Можно спросить, а что надо задать ещё, чтобы какие-то свойства появились. Найти свойства равноугольного шестиугольника помогает следующая конструкция: продлим стороны до пересечения через одну, получим два правильных треугольника.

Сильным классам можно рекомендовать исследовать эту задачу на уроках после темы «Четырёхугольники». Вот что нашла (экспериментально) углублённая группа 8 класса школы «Интеллектуал» в 2007/08 учебном году:

В) Сумма двух смежных сторон равна сумме двух противоположных смежных сторон.

Г) Три средние линии пересекаются в одной точке. (А что у четырёхугольников? А верно ли обратное утверждение? Не делятся ли средние линии пополам? В каких случаях делятся?)

Д) Середины больших диагоналей являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

Е) Точки пересечения малых диагоналей находятся на средних линиях.

Можно искать свойства полуправильных шестиугольников, аналогичные свойствам параллелограмма. У параллелограмма диагонали делят друг друга пополам. У вписанного параллелограмма углы равны и диагонали равны. У описанного параллелограмма стороны равны и диагонали взаимно перпендикулярны. Какие из этих свойств есть у полуправильных шестиугольников? (Про диагонали надо ещё понять, какие именно брать и пересекаются ли они в одной точке.)

По двум данным замечательным точкам O и H по теореме Эйлера восстанавливается третья – точка пересечения медиан G. Если в произвольном месте выбрать вершину треугольника A, то нетрудно произвести построения, дающие вершины B и С (если вершины существуют). Теперь можно провести эксперимент в программе «Живая геометрия» – найти множество точек A, при которых точки B и С существуют. В силу равноправия вершин т о же множество точек будет ответом и для вершин В и С.

Обобщение. 1. Изучите углы треугольника ABC в зависимости от положения вершины A. 2. Решите аналогичную задачу для данных центра вписанной окружности и точки пересечения медиан; для других пар замечательных точек.

3. Рассмотрите аналогичную задачу в пространстве (тетраэдры вместо треугольников).

4. Вообще, можно придумать много аналогичных задач, выбирая различные замечательные точки.

Ссылка. В. Вавилов. «О математических исследованиях учащихся школы им. А.Н. Колмогорова» / «Математика». 2007. N 12. С. 27. Сформулированы результаты исследования (задача взята оттуда же).

Полезно начать с простых фигур: две точки, точка и отрезок, два отрезка.

Обобщение. Суммой Минковского фигур F и G назовём множество точек K, определяемых равенством

, где

, O – данная точка. Исследуйте свойства этой операции. Что можно сказать о площади суммы двух фигур?

1. Н.Васильев. «Сложение фигур». Квант. 1976. N 4. Сс. 22-29. Содержит ряд задач – фактически план исследования, и приложения полученных методов к сложным задачам.

2. Г.Ю. Панина. «Алгебра многогранников». Математическое просвещение. 2006. N 10. С. 109-131. Продолжение этого сюжета в современной науке.

Это одна из классических задач, на которых учат доказывать методом математической индукции. Но мы следуем принципу Пойа: «сначала угадай, потом докажи». Поскольку задача хорошо подходит для математического эксперимента, то подумать над ней полезно и школьнику, не владеющему методом математической индукции. Наименьшее число частей угадывается легко, с наибольшим бывает непросто сформулировать условия разрезания (так называемые прямые общего положения) и доказательства их оптимальности. Помочь может следующее замечание: вопросы «Сколько частей добавляет данная прямая» и «На сколько частей данную прямую делят предыдущие» - равносильны. См. также с. …

1. Все ли промежуточные значения встречаются? Нет: например, 3 прямые могут делить плоскость только на 4, 6 и 7 частей (а на 5 не могут). Какие именно значения встречаются при произвольном n, наука знает не полностью, см. В.И. Арнольд «На сколько частей делят плоскость n прямых?» / Математическое просвещение. Третья серия. Выпуск 12. 2008. С. 95-104.

2. На сколько частей делят пространство n плоскостей общего положения? [K7], сс. 65-73, 76.

3. На сколько частей делят плоскость n попарно пересекающихся окружностей общего положения?

Задача имеет длинное «счётное» решение и короткое идейное. Чтобы изобрести второе, надо придумать такой способ раскрашивания, при котором разные последовательности действий приводят к разным раскраскам, а затем посчитать количество последовательностей. Например, можно зафиксировать порядок граней, а менять порядок цветов: в первый цвет закрасить любую грань, во второй – противоположную ей (5 вариантов), в третий – любую из боковых, в четвёртый – следующую за ней по часовой стрелке (3 варианта), в пятый – следующую (2 варианта), в шестой – последнюю (1 вариант). (Идея взята из работы семиклассницы.) Придумать такой способ можно, формулируя алгоритм, как понять, одинаковые или разные раскраски у двух данных кубиков.

С младшими детьми можно изготовить модели всех таких кубиков.

Ссылка. М. Гарднер "Математические досуги". М., Мир, 1972. С. 34 и далее. Приведён набор всех таких кубиков и дано обсуждение их свойств.

1. Та же задача для других правильных многогранников. Может быть, стоит начать с правильного тетраэдра.

2. Можно раскрашивать не грани, а рёбра или вершины.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: