Квадраты на клетчатой бумаге

Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1.

Их площадь найти легко: это квадраты длин их сторон, а стороны равны целому числу клеток. Площади прямых квадратов – это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.

Впишем наш «косой» квадрат в «прямой» (рис. 1)

Чтобы найти площадь S «косого» квадрата, надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые.

А теперь передвинем прямоугольные треугольники внутри большого квадрата так, чтобы получилось два «прямых» квадрата, как показано на рис. 2.

Площадь одного квадрата равна a², а второго ─ b². Сумма их площадей как раз равна площади «косого» квадрата, потому что это площадь большого «прямого» квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников.

Если сторону «косого» квадрата обозначить через c, то его площадь S = c². Поэтому c² = a² + b². Так мы пришли к теореме Пифагора для закрашенных прямоугольных треугольников.

Какими же числами может выражаться площадь «косого» квадрата с вершинами в узлах сетки? Это такие числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. Например,

А, например, квадрата с вершинами в узлах сетки и площадью, равной 31, не существует, потому что

т.е. 31 не разбивается на сумму двух квадратов целых чисел.

Задача выросла из упражнения из замечательной книжки И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия. 5-6 классы», М., Дрофа, 2008: построить на клетчатой бумаги квадраты с вершинами в узлах сетки площадью 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, … клеток. Пятиклассники с удовольствием решали её на уроке. Потом я сказал, что интересно исследовать, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя. Через несколько месяцев Саша принесла готовое решение (делала дома, помогали родственники, понимающие в математике). Получилась симпатичная работа.

1) Какие именно целые числа представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел (назовём их двуквадратными)? Оказывается, простые двуквадратные числа при делении на 4 имеют остаток 1 или 2. Этот результат легко пронаблюдать экспериментально. Некоторые его части не трудно доказать.

2) Произведение двуквадратных чисел также является двуквадратным числом. Это следует из формулы (a² + b²)(c²+d²) = (ac+bd)² + (ad-bc)².

Интересно исследовать аналогичные вопросы на треугольной и на шестиугольной решётках.

Цель нашей работы – установить, какие суммы можно получить из неограниченного количества монет достоинства x и y.

1) Сначала мы рассмотрели случай, когда достоинства наших монет взаимно просты. Мы сформулировали и доказали лемму:

Если можно получить интервал от (х-1)(у-1) до (х-1)(у-1) + min(x,y) – 1, то можно получить все числа, большие (х-1)(у-1).

Если числа х и у взаимно просты, то можно получить все числа, начиная с (х-1)(у-1).

Эту гипотезу мы попытались доказать по этапам:

а) Можно получить все числа от (х-1)(у-1) до (х-1)(у-1) + min(х,у) – 1.

б) Ни при каких значениях х и у не получается числа (х-1)(у-1) – 1.

Подпункт а) мы доказали, а подпункт б) не смогли.

2) Потом мы рассмотрели случай, когда достоинства наших монет не взаимно просты и выдвинули гипотезу 2:

Пусть х и у - числа вида х = dn и у = dm, где m и n – взаимно простые числа, тогда мы сможем получать только числа, делящиеся на d, начиная с d(n-1)(m-1).

Мы доказали эту гипотезу (свели её к гипотезе 1).

В дальнейшем мы надеемся доказать те части гипотезы 1, которые ещё не доказали.

Работа выполнена на Летней школе «Интеллектуал» в 2009 году. Дети работали 5 полуторачасовых занятий аудиторного времени. Видимо, этого всё же маловато для подобных задач – многие не успели закончить работу.

Постановка задачи. Дана кучка камней. Играющие (их двое) по очереди берут камни, причём игрок не может пропускать ход (не брать камни), и может взять не больше половины камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Требуется понять, какие числа выигрышные, а какие – проигрышные.

Комментарий. Позиция называется выигрышной, если игрок, попавший на эту позицию, при правильной игре победит (как бы ни играл соперник). Позиция называется проигрышной, если игрок, попавший на эту позицию, проиграет при правильной игре соперника (как бы он сам ни играл).

А. Числа, большие Х и меньшие 2Х+1 – выигрышные;

1. Единица – первое проигрышное число, так как в этом случае нельзя сделать ход.

2.А. Пусть Х – проигрышное число, N – число, причем

Поэтому можно отнять N-X камней и получить проигрышное число Х.

Докажем от противного: Пусть 2Х+1 – выигрышное число. Тогда ходящий игрок (назовем его Первым) может за один ход оставить в кучке проигрышное число камней. По условию задачи он не может брать больше половины, т.е. больше Х камней. Значит, после хода Первого игрока останется Y камней, где

По доказанному, все такие числа – выигрышные. Противоречие.

А. Все числа вида Х_n= 2ⁿ-1, где n – любое натуральное число, – проигрышные.

А. Доказательство проводится методом математической индукции.

X₁= 2-1 = 1 – проигрышное число. Пусть Х_n – проигрышное число.

По теореме 1, если Х –проигрышное число, то и 2Х+1 –проигрышное число.

следовательно Х_n₊₁= 2Х_n+1 = 2(2ⁿ-1)+1= 2*2ⁿ-1= 2ⁿ⁺¹-1 - проигрышное число.

Б. Пусть Y не число вида 2ⁿ-1. Тогда для некоторого числа n выполнено:

Очевидно, Y - 2ⁿ≤ Y/2, значит, из Y можно получить проигрышное число камней 2ⁿ- 1. Т.е. Y – выигрышное число.

Комментарий. Работавыполнена в Красноярской летней школе в 2000 году. Данные о возрасте участников не сохранились.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: