Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ





Пусть имеется физическая система S с дискретными состояниями:

S1,S2,...,Sn,

в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Граф состояний показан на рис. 23.

Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводя­щих систему из состояния в состояние, постоянны:

lij = const,

другими словами, все потоки событий – простейшие (стационарные . пуассоновские) потоки.

Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим вероятности состояний, как функции времени, т. е. n функций:

p1(t), p2(t),…,pn(t),

при любом t дающих в сумме единицу: .

Поставим теперь следующий вопрос: что будет происходить с сис­темой S при t®¥? Будут ли функции p1(t), p2(t),…,pn(t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными (или «финальными») вероятностями состояний.

Можно доказать следующее общее положение. Если число состоя­ний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности со­стояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

 

На рис. 24 показан граф состояний, удовлетворяющий постав­ленному условию: из любого состояния система может рано или позд­но перейти в любое другое. Напротив, для системы, граф состояний которой показан на рис. 25, условие не выполнено. Очевидно, что если начальное состояние такой системы S1 то, например, состояние S6 при t®¥ может быть достигнуто, а если начальное состояние S2 – не может.

 

Предположим, что поставленное условие выполнено, и предель­ные вероятности существуют:



(i = 1, 2,..., n). (6.1)

Предельные вероятности мы будем обозначать теми же буквами р1, р2, … рn, что и сами вероятности состояний, разумея подними на этот раз не переменные величины (функции времени), а постоянные числа.

Очевидно, предельные вероятности состоянии, так же как и допредельные, в сумме должны давать единицу:

Таким образом, при t®¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим: он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний осу­ществляется с некоторой постоянной вероятностью. Каков смысл этой вероятности? Она представляет собой не что иное, как сред­нее относительное время пребывания си­стемы в данном состоянии. Например, если у системы S три возможных состояния: S1,S2 и S3, причем их предельные вероят­ности равны 0,2, 0,3 и 0,5, это означает, что после перехода к устано­вившемуся режиму система S в среднем две десятых времени будет находиться в состоянии S1 три десятых – в состоянии S2 и полови­ну времени – в состоянии S3. Возникает вопрос: как вычислить пре­дельные вероятности состояний р1, р2, … рn?

Оказывается, для этого в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые час­ти (производные) равными нулю.

Действительно, в предельном (установившемся) режиме все вероят­ности состояний постоянны, значит, их производные равны нулю.

Если все левые части уравнений Колмогорова для вероятностей состояний положить разными нулю, то система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгеб­раических уравнений. Совместно с условием

(7.2)

(так называемым «нормировочным условием») эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности

р1, р2, … рn

 

Пример 1. Физическая система S имеет возможные состояния: Sl, S2, S3, S4, размеченный граф которых дан на рис. 26 (у каждой стрелки поставлено численное значение соответствующей интенсивности). Вычислить предельные ве­роятности состояний: р1, р2, р3, р4.

Решение. Пишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

(6.3)

Полагая левые части равными нулю, получим систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний:

(6.4)

Уравнения (6.4) – так называемые однородные уравнения (без свободного члена). Как известно из алгебры, эти уравнения определяют величины р1, р2, р3, р4 только с точностью до постоянного множителя. К счастью, у нас есть нор­мировочное условие:

p1 + p2 + p3 + p4 = 1, (6.5)

которое, совместно с уравнениями (64), дает возможность найти все неизвест­ные вероятности.

 

Действительно, выразим из (6.4) все неизвестные вероятности через одну из них, например, через p1. Из первого уравнения:

p3 = 5p1

Подставляя во второе уравнение, получим:

р2 = 2 p1 + 2р3 = 12 p1.

Четвертое уравнение дает:

p4 = 1/2p2 = 6 p1.

Подставляя все эти выражения вместо р2, р3, р4 в нормировочное условие (6.5), получим

p1 + 12p1 + 5 p1 + 6 p1 = 1.

Отсюда

24 p1 = 1, p1 = 1/24, p2 =12p1 = 1/2.

p3 = 5p1 = 5/24. p4 = 6 p1 = 1/4.

Таким образом, предельные вероятности состояний получены, они равны;

p1 = 1/24, p2 = 1/2, p3 = 5/24, p4 = 1/4 (6.6)

Это значит, что в предельном, установившемся режиме система S будет проводить в состоянии S1 в среднем одну двадцать четвертую часть времени, в состоянии S2 – половину времени, в состоянии S3 – пять двадцать четвертых и в состоянии S4 – одну четверть времени.

 

Заметим, что решая эту задачу, мы совсем не пользовались одним из уравнений (6.4) – третьим. Нетрудно убедиться, что оно является следствием трех остальных: складывая все четыре уравнения, мы получим тождественный нуль. С равным успехом, решая систему, мы могли бы отбросить любое из четырех уравнений (6.4).

Примененный нами способ составления алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний сводился к следующему: сперва написать дифференциальные уравнения, а затем положить в них левые части равными ну­лю Однако можно записать алгебраические уравнения для предельных вероят­ностей и непосредственно, не проходя через этап дифференциальных. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 2. Граф состоянии системы показан на рис. 27. Написать ал­гебраические уравнения для предельных вероятностей состояний.

Решение. Не записывая дифференциальных уравнений, прямо пишем соот­ветствующие правые части и приравниваем их нулю; чтобы не иметь дела с от­рицательными членами, сразу переносим их в другую часть, меняя знак:

(6.7)

 

Чтобы в дальнейшем сразу же писать такие уравнения, полезно запом­нить следующее мнемоническое правило: «что втекает, то и вытекает», то есть для каждого состояния сумма членов, соответствующих входящим стрелкам, рав­на сумме членов, соответствующих выходящим; каждый член равен интенсивнос­ти потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.

В дальнейшем мы во всех случаях будем пользоваться именно этим кратчай­шим способом записи уравнений для предельных вероятностей.

Пример 3. Написать алгебраические уравнения для предельных вероят­ностей состояний системы S, граф состояний которой дан на рис. 28. Решить эти уравнения.

Решение.Пишем алгебраические уравнения для предельных вероятно­стей состояний;

(6.8)

Нормировочное условие;

p1 + p2 + p3 = 1. (6.9)

Выразим с помощью первых двух уравнений (6.8) р2 и р3 через р1:

(6.10)

Подставим их в нормировочное условие (6.9):

,

откуда .

Далее, из (6.10) получим

; .

 

 









Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.