ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ

Пусть имеется физическая система S с дискретными состояниями:

S₁,S₂,...,S_n,

в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Граф состояний показан на рис. 23.

Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводя­щих систему из состояния в состояние, постоянны:

l_ij = const,

другими словами, все потоки событий – простейшие (стационарные. пуассоновские) потоки.

Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим вероятности состояний, как функции времени, т. е. n функций:

p₁(t), p₂(t),…,p_n(t),

при любом t дающих в сумме единицу: .

Поставим теперь следующий вопрос: что будет происходить с сис­темой S при t®¥? Будут ли функции p₁(t), p₂(t),…,p_n(t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными (или «финальными») вероятностями состояний.

Можно доказать следующее общее положение. Если число состоя­ний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности со­стояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

На рис. 24 показан граф состояний, удовлетворяющий постав­ленному условию: из любого состояния система может рано или позд­но перейти в любое другое. Напротив, для системы, граф состояний которой показан на рис. 25, условие не выполнено. Очевидно, что если начальное состояние такой системы S₁ то, например, состояние S₆ при t®¥ может быть достигнуто, а если начальное состояние S₂ – не может.

Предположим, что поставленное условие выполнено, и предель­ные вероятности существуют:

(i = 1, 2,..., n). (6.1)

Предельные вероятности мы будем обозначать теми же буквами р₁, р₂, … р_n, что и сами вероятности состояний, разумея подними на этот раз не переменные величины (функции времени), а постоянные числа.

Очевидно, предельные вероятности состоянии, так же как и допредельные, в сумме должны давать единицу:

Таким образом, при t®¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим: он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний осу­ществляется с некоторой постоянной вероятностью. Каков смысл этой вероятности? Она представляет собой не что иное, как сред­нее относительное время пребывания си­стемы в данном состоянии. Например, если у системы S три возможных состояния: S₁,S₂ и S₃, причем их предельные вероят­ности равны 0,2, 0,3 и 0,5, это означает, что после перехода к устано­вившемуся режиму система S в среднем две десятых времени будет находиться в состоянии S₁ три десятых – в состоянии S₂ и полови­ну времени – в состоянии S₃. Возникает вопрос: как вычислить пре­дельные вероятности состояний р₁, р₂, … р_n?

Оказывается, для этого в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые час­ти (производные) равными нулю.

Действительно, в предельном (установившемся) режиме все вероят­ности состояний постоянны, значит, их производные равны нулю.

Если все левые части уравнений Колмогорова для вероятностей состояний положить разными нулю, то система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгеб­раических уравнений. Совместно с условием

(7.2)

(так называемым «нормировочным условием») эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности

р₁, р₂, … р_n

Пример 1. Физическая система S имеет возможные состояния: S_l, S₂, S₃, S₄, размеченный граф которых дан на рис. 26 (у каждой стрелки поставлено численное значение соответствующей интенсивности). Вычислить предельные ве­роятности состояний: р₁, р₂, р₃, р₄.

Решение. Пишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

(6.3)

Полагая левые части равными нулю, получим систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний:

(6.4)

Уравнения (6.4) – так называемые однородные уравнения (без свободного члена). Как известно из алгебры, эти уравнения определяют величины р₁, р₂, р₃, р₄ только с точностью до постоянного множителя. К счастью, у нас есть нор­мировочное условие:

p₁ + p₂ + p₃ + p₄ = 1, (6.5)

которое, совместно с уравнениями (64), дает возможность найти все неизвест­ные вероятности.

Действительно, выразим из (6.4) все неизвестные вероятности через одну из них, например, через p₁. Из первого уравнения:

p₃ = 5p₁

Подставляя во второе уравнение, получим:

р₂ = 2 p₁ + 2р₃ = 12 p₁.

Четвертое уравнение дает:

p₄ = 1/2p₂ = 6 p₁.

Подставляя все эти выражения вместо р₂, р₃, р₄ в нормировочное условие (6.5), получим

p₁ + 12p₁ + 5 p₁ + 6 p₁ = 1.

Отсюда

24 p₁ = 1, p₁ = 1/24, p₂ =12p₁ = 1/2.

p₃ = 5p₁ = 5/24. p₄ = 6 p₁ = 1/4.

Таким образом, предельные вероятности состояний получены, они равны;

p₁ = 1/24, p₂ = 1/2, p₃ = 5/24, p₄ = 1/4 (6.6)

Это значит, что в предельном, установившемся режиме система S будет проводить в состоянии S₁ в среднем одну двадцать четвертую часть времени, в состоянии S₂ – половину времени, в состоянии S₃ – пять двадцать четвертых и в состоянии S₄ – одну четверть времени.

Заметим, что решая эту задачу, мы совсем не пользовались одним из уравнений (6.4) – третьим. Нетрудно убедиться, что оно является следствием трех остальных: складывая все четыре уравнения, мы получим тождественный нуль. С равным успехом, решая систему, мы могли бы отбросить любое из четырех уравнений (6.4).

Примененный нами способ составления алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний сводился к следующему: сперва написать дифференциальные уравнения, а затем положить в них левые части равными ну­лю Однако можно записать алгебраические уравнения для предельных вероят­ностей и непосредственно, не проходя через этап дифференциальных. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 2. Граф состоянии системы показан на рис. 27. Написать ал­гебраические уравнения для предельных вероятностей состояний.

Решение. Не записывая дифференциальных уравнений, прямо пишем соот­ветствующие правые части и приравниваем их нулю; чтобы не иметь дела с от­рицательными членами, сразу переносим их в другую часть, меняя знак:

(6.7)

Чтобы в дальнейшем сразу же писать такие уравнения, полезно запом­нить следующее мнемоническое правило: «что втекает, то и вытекает», то есть для каждого состояния сумма членов, соответствующих входящим стрелкам, рав­на сумме членов, соответствующих выходящим; каждый член равен интенсивнос­ти потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.

В дальнейшем мы во всех случаях будем пользоваться именно этим кратчай­шим способом записи уравнений для предельных вероятностей.

Пример 3. Написать алгебраические уравнения для предельных вероят­ностей состояний системы S, граф состояний которой дан на рис. 28. Решить эти уравнения.

Решение. Пишем алгебраические уравнения для предельных вероятно­стей состояний;

(6.8)

Нормировочное условие;

p₁ + p₂ + p₃ = 1. (6.9)

Выразим с помощью первых двух уравнений (6.8) р₂ и р₃ через р₁:

(6.10)

Подставим их в нормировочное условие (6.9):

,

откуда .

Далее, из (6.10) получим

; .

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: